Math.an.II (532678), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

7. Точка минимума функции.§10. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функцииТеорема (необходимое условие существования экстремума). Если функция y  f ( x) ,дифференцируемая в точке x0 , имеет в этой точке экстремум, то ее производная в этойточке равна нулю:f ( x0 )  044Рис. 8. Точка локального максимума.Доказательство. Пусть, для определенности, x0 - точка максимума (рис. 8).Обозначим через x приращение аргумента в точке x0 , а через y - соответствующееприращение функции.Рассмотрим два случая.1) Пусть x  0 . Т.к. x0 – точка максимума, то f ( x0  x)  f ( x0 ) иyyy  f ( x0  x )  f ( x0 )  0  0  lim0.x0xx2) Пусть x  0 .

Т.к. x0 – точка максимума, то по-прежнемуyyf ( x0  x)  f ( x0 )  y  f ( x0  x )  f ( x0 )  0  0  lim0.x 0  xxПоскольку, по условию теоремы, функция f ( x ) имеет (конечную) производную в точкеx0 , то существует двусторонний пределyy '( x0 )  lim,x  0  xно, как известно, это возможно только в том случае, если существуют обасоответствующих односторонних предела и они равны. При этом двусторонний пределравен односторонним:yyylim lim lim.x  0   xx  0   xx 0 xОднако, из полученных неравенств для односторонних пределов очевидно, что они могутбыть равны тогда и только тогда, когда они оба равны нулю. Следовательно, нулю равени двусторонний предел, т.е.

y '( x0 ) :yy '( x0 )  lim 0.x 0 xВ случае, когда x0 – точка минимума, доказательство проводится аналогично.Теорема доказана.Пример. Рассмотрим функцию y  x 2 . Очевидно, точка x  0 является точкойминимума данной функции (рис. 9). При этом y '  2 x и y '(0)  0 .45Рис. 9. График функции y  x 2 .Замечание. Доказанная теорема является необходимым, но не достаточным условиемэкстремума дифференцируемой функции: из того что f ( x0 )  0 еще не следует, что x0 –точка экстремума.Пример. y  x3 , y   3 x 2 ; y (0)  0 , но точка x  0 , очевидно не является точкойэкстремума данной функции (рис. 10).Рис.

10. График функции y  x3 .Опр. Точки, в которых производная функции обращается в ноль называютсястационарными точками данной функции (для данной функции).§11. Экстремумы функции в точках недифференцируемости.Итак, дифференцируемая в точке x0 функция может иметь в этой точке экстремумтолько в том случае, если f ( x0 )  0 . Однако, функция может иметь экстремум в точке x046и в том случае, если она недифференцируема в этой точке (т.е. не имеет в нейпроизводной).Пример.

Рассмотрим функцию y  x . График этой функции представлен на рис. 11.Очевидно, что точка x  0 – точка минимума. Однако, в этой точке не существует никонечной, ни бесконечной производной функции y '(0)  1 , y '(0)  1 , т.е.y '(0)  y '(0) .Рис. 11. График функции y  x .Пример. Функция y  x 2 /3 , очевидно, имеет минимум в точке x  0 (рис. 12).2Производная этой функции y '  x 1/3 и y '(0)   .3Рис.

12. График функции y  x 2 /3 .Итак, функция y  f ( x) может иметь экстремум в точке x0 только в 2-х случаях:1) f ( x0 )  02) f ( x0 )   (в частности, f ( x0 )   ).В первом случае, график функции в точке экстремума гладкий (рис. 9) и касательная кнему параллельна оси абсцисс, либо совпадает с ней (гладкий экстремум). Во втором47случае (рис. 11, 12), график в точке экстремума не гладкий (острый экстремум), причем,если f ( x0 )   , то касательная к нему параллельна оси ординат, либо совпадает с ней(рис. 12).Однако выполнение одного из приведенных условий еще не значит, что в точке x0имеется экстремум (это необходимые условия, а не достаточные). Пример отсутствияэкстремума для случая f ( x0 )  0 был рассмотрен выше (рис.

10). Рассмотрим примеротсутствия экстремума в случае, когда f ( x0 )   .Рис. 13. График функции y  3 x .Пример. Функция y  3 x , очевидно, не имеет экстремума в точке x  0 (рис. 13).1Однако ее производная в этой точке не существует: y '  x 2 /3 , y '(0)   .3Опр.

Точки, в которых производная функции f ( x ) равна нулю или не существует,называется критическим точками этой функции.§12. Первый достаточный признак локального экстремума.Теорема. Пусть функция y  f ( x ) дифференцируема в проколотой окрестностиu ( x0 ) точки x0 и непрерывна в u ( x0 ) . Тогда, если производная данной функции меняетзнак при прохождении через точку x0 , то x0 – точка экстремума, причем:1) если при x  x0 f '( x)  0 , а при x  x0 f '( x)  0 , то x0 – точка максимума;2) если при x  x0 f '( x)  0 , а при x  x0 f '( x)  0 , то x0 – точка минимума.Доказательство.

Проведем доказательство для точки максимума. В случае точкиминимума оно аналогично. Рассмотрим два случая.1) Пусть x  x0 (рис. 14).48Рис. 14. Диаграмма знакопостоянства производной f '( x) .На  x0 , x выполняются условия теоремы Лагранжа. По теореме Лагранжаc   x0 , x  : f ( x )  f ( x0 )  f (c)  ( x  x0 )Т.к.x  x0  0 и f ( x )  0 x  ( x0 , x) , а значит f (c)  0 ,тоf ( x )  f ( x0 )  0 и f ( x)  f ( x0 ) .2) Пусть x  x0 (рис.

15).Рис. 15. Диаграмма знакопостоянства производной f '( x) .На  x, x0  f ( x ) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. По теореме Лагранжаc  ( x, x0 ) : f ( x0 )  f ( x)  f (c)  ( x0  x) .Т.к. x0  x  0 , и f ( x )  0 x  ( x, x0 ) , а значит f (c)  0 ,тоf ( x0 )  f ( x )  0 и f ( x)  f ( x0 ) .Таким образом, как в левосторонней, так и в правосторонней окрестности точки x0выполняется неравенствоf ( x)  f ( x0 ) .Следовательно, x0 – точка максимума.Теорема доказана.49§13. Второй достаточный признак локального экстремума.Теорема.

Пусть функция y  f ( x ) имеет непрерывную вторую производную внекоторой окрестности u( x0 ) точки x0 и пусть f '( x0 )  0 . Тогда1) Если f ''( x0 )  0 , то x0 - точка максимума.2) Если f ''( x0 )  0 , то x0 - точка минимума.Доказательство. Представим функцию f ( x ) по формуле Тейлора 2-го порядка вокрестности точки x0 :f ( x )  f ( x0 )  f '( x0 )  ( x  x0 ) 2  f ''( x0 )  ( x  x0 ) 2  o(( x  x0 ) 2 )Так как f '( x0 )  0 , тоf ( x )  f ( x0 )  f ''( x0 )  ( x  x0 ) 2  o(( x  x0 ) 2 )В достаточно малой окрестности точки x0 остаточный член пренебрежимо мал посравнению с первым слагаемым в правой части равенства и знак правой части равенстваопределяется первым слагаемым, поэтому :1) Если f ''( x0 )  0, то f ( x )  f ( x0 )  0 в достаточно малой окрестности u( x0 ) иf ( x )  f ( x0 ) x  u ( x0 ).

Следовательно, x0 – точка локального максимума.2) Если f ''( x0 )  0, то f ( x )  f ( x0 )  0 в достаточно малой окрестности u( x0 ) иf ( x )  f ( x0 ) x  u ( x0 ) и x0 – точка минимума.Теорема доказана.Замечание. Если f ''( x0 )  0 , то второй достаточный признак не позволяетисследовать функцию на экстремум.§14. Схема исследования функций на возрастание и убывание.Для нахождения экстремумов функции и исследования функции на возрастание иубывание, необходимо выполнить следующую последовательность действий.1. Найдем f '( x) .2. Найдем точки x0 , в которых производная функции обращается в ноль:f '( x0 )  0 .

Такие точки называются стационарными точками.3. Найдем точки x0 , в которых производная функции не существует (в частности,равна бесконечности): f '( x0 )   . Такие точки, как и стационарные точки называютсякритическими точками. Критические точки – это потенциальные точки экстремума (приусловии, что сама функция в них определена).4. Разобьем область определения функции y  f ( x ) на интервалы критическимиточками и точками разрыва (изображаются пустыми кружочками) и определим знакпервой производной на каждом интервале (рис.

16).Рис. 16. Интервалы знакопостоянства производной.5. Используя первый достаточный признак экстремума, выясним, какие изкритических точек являются точками экстремума.6. Найдем значения функции в точках экстремума.Пример. Исследуем на экстремум функцию y  x  3 ( x  1) 2 .50Производная равна35 x  5y '  3.3 x 1Критические точки:3x( y '  0), x  1 ( y '  ).5Ниже приведена диаграмма знакопостоянства производной (рис.

17). При больших xпроизводная, очевидно, положительна, при прохождении через точку x=1 она меняет знакза счет знаменателя, при прохождении через точку x=3/5 – за счет числителя.Рис. 17. Интервалы знакопостоянства производной функцииy  x  3 ( x  1) 2 .3– точка гладкого максимума, а x  1 в – точка острого минимума.5Т.к. y '(1)   , график функции входит и выходит из этой точке по касательной к прямойx  1 , параллельной оси ординат.3 3 4Значения функции в точках экстремума: y    3, y (1)  0 . 5  5 25Таким образом, x На рис.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий