Math.an.II (532678), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В результате получимточку O . Если теперь построить окружность с центром в точке O радиусом R , токривизна этой окружности будет равна кривизне кривой в точке M (поскольку кривизна1окружности равна K  ), а потому малый участок кривой по обе стороны от точки MRможно хорошо приблизить участком окружности (рис. 8).1Опр.

Точка O называется центром кривизны кривой L , величина R –Kрадиусом кривизны, а круг с центром в точке O радиусом R – кругом кривизны.Рис. 8. Радиус, центр и круг кривизны кривой.Очевидно, каждой точке кривой L отвечает свой центр кривизны.Опр. Геометрическое место центров кривизны кривой L называется эволютойэтой кривой, а сама кривая L по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.Пример. В качестве примера, на рис. 9 представлена эволюта параболы y 2  2 px( p  0 ).Свойства эволюты и эвольвенты.Теорема. Нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте.Теорема. Если на некотором участке кривой M 1M 2 радиус кривизны изменяетсямонотонно, приращение длины дуги эволюты на этом участке кривой равно (поабсолютной величине) соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.67Рис. 9.

Эволюта параболы.Лекция 21§1. Векторная функция скалярного аргумента.Рассмотрим вектор в пространстве: r  xi  yj  zk .Пусть координаты этого вектора являются функциями независимой переменной t :x  f1 (t ) ; y  f 2 (t ) ; z  f 3  t  ,тогда и сам вектор меняется с изменением t : r  r t   x t  i  y t  j  z t  k(1)Такой вектор r (t ) называется векторной функциейскалярного аргумента t (вектор-функцией). Заданиевекторной функции r (t ) эквивалентно заданию трехобычных ( R  R ) функций: x(t ), y (t ), z (t ) .Рис. 1. Годограф векторной функции.Векторная функция – однозначное соответствие R  R 3 (значению t ставится всоответствие значение трех переменныхx, y, z ). Поместим начало вектора r (t ) в начало координат, тогда с изменением tконец вектора r будет описывать некоторую линию L в пространстве.

Эта линия(рис. 1) называется годографом векторной функции r (t ) . Уравнение (1) называетсявекторным уравнением кривой L (годографа). Если x, y, z а – координатыматериальной точки в пространстве, а t – время, то годограф представляет собойтраекторию движения материальной точки, а уравнение (1) – это уравнениедвижения.Выделим следующие частные случаи.681) Если с изменением t меняется только длина вектора r (t ) , а направление неменяется, то годограф – луч исходящий из начала координат (рис.

2).Рис. 2. Годограф вектор-функции постоянного направления.2) Если от t не зависит длина вектора r , а зависит только егонаправление, то годограф - линия на поверхности сферы(рис. 3) с центром в начале координат и радиусом | r | (вчастности, это может быть окружность).Рис.

3. Годограф вектор-функции постоянной длины.§2. Предел и непрерывность векторной функции.Определение предела векторной функции формально аналогично определениюпредела обычной функции.Опр. Вектор R называется пределом вектор-функции r (t ) при t  t0 , если  0     : 0  t  t0    r  t   R   (или  0     : t  U  (t0 )  r  t   R   ) .Отличие (от определения обычной функции) состоит в том, что пределомвекторной функции является, естественно, вектор и модуль r  t   R , которыйследует теперь понимать как модуль вектора равенr  t   R  ( x  t   xR ) 2  ( y  t   yR ) 2  ( z  t   z R ) 2 ,где xR , y R , z R – координаты вектора R .Тем не менее, поскольку по формеопределение предела векторной функции ни чем не отличается от определенияпределаобычной функции, то для предела векторной функции справедливы основныетеоремы о пределе обычной функции.

Однако, можно сформулировать и новыетеоремы.69Теорема. Вектор R  {xR , y R , zR } является пределом векторной функцииr  t   x  t  i  y  t  j  z  t  k при t  t0 в том и только том случае, если:xR  lim x(t )t t0y R  lim y (t )t t0zR  lim z (t ).t t0Доказательство.1) Покажем, что{R  lim r (t )}  {xR  lim x  t  , yR  lim y  t  , zR  lim z  t }.t t0t t0t t0t  t0Действительно, т.к. lim r (t )  R, тоt t0  0     : t  U  (t0 )  r  t   R   ,т.е.( x  t   xR ) 2  ( y  t   yR ) 2  ( z  t   z R )2   .Ноx  t   xR 22 x t   x    y t   y    z t   z RRR2x  t   xR   .Аналогично,y  t   yR  иz  t   zR  Таким образом, | x(t )  xR |   0     : t  U  (t0 )   | y (t )  y R |  , | z (t )  z | RНо последнее и означает, что xR  lim x (t ) , y R  lim y (t ) , zR  lim z (t ).t t0t t0t t02) Покажем теперь, что{xR  lim x  t  , y R  lim y (t ) , zR  lim z (t )} => {R  lim r (t )}.t t0t t0t t0t t0Зададим произвольное   0 и обозначим через  величину  .3x  lim x  t       : t U (t )  x  x(t)    y  lim y t       : t U (t )  y  y(t)   z  lim z  t       : t U (t )  z  z(t)   .RRRt t0t t0t t0110220R330RR70Выберем в качестве  наименьшее из чисел 1 ,  2 ,  3 .

Тогда внутри U  (t0 ) будутсправедливы все три неравенства: x R  x (t )   y R  y (t )   . z  z (t )   RИз последнего следует, что222r  t   R   x  t   xR    y  t   yR    z  t   z R   3 2   .Итак, для произвольно выбранного числа   0 мы нашли такое,     чтопри x  U  (t0 ) справедливо неравенство r  t   R   , что и означает, чтоlim r (t )  R .t t0Теорема доказана.Опр.

Векторная функции r (t ) называется непрерывной в точке t0 , еслисуществует предел r (t ) при t  t0 и он равенlim r  t   r (t0 ).t t0Очевидно, определение непрерывности вектор-функции также формально неотличается от определения непрерывности обычной функции. Переформулируемэто определение в терминах приращений.Пусть t  t0 , r  t0   x  t0  i  y  t0  j  z  t0  k .Придадим аргументу t приращение t .r  t  t   x  t0  t  i  y  t0  t  j  z  t0  t  k . Вектор r  r  t0  t   r  t0  называется приращением вектор-функции r (t ) вточке t0 , отвечающим приращению t независимой переменной t (рис.

4).Очевидно, что r  ( x  t  t0   x(t0 ))i  ( y  t  t0   y (t0 )) j  ( z  t  t0   z (t0 ))k ,т.е. r  xi  yj  zk .(2)Рис. 4. Приращение вектор-функции.71Опр. Векторная функция r (t ) называется непрерывной в точке t  t0 , еслибесконечно малому приращению аргумента t в этой точке отвечает бесконечномалое приращение функции r (t ) :lim r  0.t  0§3. Производная векторной функции.Опр. Производной векторной функции r (t ) называется предел отношенияприращения вектор-функции к приращению аргумента при стремлении последнегок нулю:drrr '(t )  lim.dt t  0 tИз формулы (2) и определения производной вектор-функции очевидно, чтоdr x 'i  y ' j  z ' k .dtВыясним геометрический смысл производной векторной функции.

Пустьначало вектора r (t ) находится в начале координат. При t  t0 конец вектора rнаходится в точке M , а при t  t0  t – в точке N . Приращение  r , отвечающее изменению t , r  MN (рис. 4).ПоэтомуrMN при t  0  t  возрастает r  t|| MN , причем  t r  MN при t  0  t  убывает  . tИными словами, векторrпараллелен вектору MN и направлен в сторонуtвозрастания переменной t .Рассмотрим годограф вектор-функции r (t ) .

Очевидно, что отрезок MN естьхорда годографа, а прямая, являющаяся продолжением этого отрезка – секущейгодографа. При стремлении t  0 точка N перемещается по годографу, стремяськ точке M . Поскольку предельное положение секущей кривой – есть касательная кэтой кривой, то вектор ' drr dtнаправлен вдоль касательной к годографу векторной функции r (t ) в точке t0 всторону возрастания переменной t .

Наконец, найдем модуль вектора r ' :rsl dl| r '  t0  | lim lim lim ,t  0  tt 0 tt 0 tdtгде dl – дифференциал длины дуги кривой L . Здесь мы воспользовались тем, что|  r | s | MN | , l ~ s при s  0 , а при t  0 , очевидно, s  0 .72Итак, производная векторной функции r (t ) – есть вектор, направленный покасательной к годографу этой функции в направлении роста независимойпеременной t .

Длина этого вектора равна производной длины дуги в точке t0 .Выясним теперь механический смысл производной векторной функции.Рассмотрим частицу (материальную точку), движущуюся в пространствепроизвольным образом по некоторой траектории (рис. 5). Пусть r (t ) – радиусвектор частицы в текущий момент времени t .

Тогда, как уже говорилось выше,годограф – это траектория (путь) движения частицы.Рис. 5. Движение частицы в пространстве.Опр. Средней скоростью частицы за промежуток времени(t0 , t0  t )называется вектор rv ср .tОпр. Мгновенной скоростью движения частицы в момент времени t0называется предел средней скорости за промежуток t при t  0 , т.е. векторr  'v  lim vср  limr .t  0t  0 t§4. Уравнение касательной к пространственной кривой.Пусть пространственная кривая L задана уравнением:r  x t  i  y t  j  z t  k .Пусть M ( x0 , y0 , z0 ) – произвольная точка, лежащая на этой кривой, исоответствующая значению t  t0 : x0  x(t0 ), y0  y (t0 ), z0  z (t0 ) .

Поскольку векторr '(t0 )  x '  t0  , y '  t0  , z '  t0  направлен по касательной к годографу вектор-функцииr (t ) , он является направляющим вектором касательной к кривой L . Поэтомууравнение касательной к кривой L в точке M имеет вид:x  x0 y  y0 z  z0.x '  t0  y '  t 0  z '  t 0 73§5. Правила дифференцирования векторной функции.Справедливы следующие формулы дифференцирования векторной функции.1) r (t )  r (t )   r  r , при условии, что две последние производные существуют.1'2'1'2(cr  t )'  cr ', где c – постоянная.'3)  f  t  r (t )   f '  t  r  t   f (t )r ' (t ), где f (t ) – обычная функция ( R  R ).Подразумевается существование производных f '(t ) и r ' (t ) .    4) ( r1  r2 ) '  r1'  r2  r1  r2 ' , где точка обозначает скалярное произведение двух векторфункций.

Подразумевается существование производных r1' и r2 ' .  '   5) ( r1  r2 ) '  r1  r2  r1 r2 ' , где крестик обозначает векторное произведение двухвектор-функций. Подразумевается существование производных r1' и r2 ' .2)§6. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.Пусть r  t  - вектор функция, причем Причем r  t   const т.е. от t зависиттолько название вектора r . В этом случае будем называть вектор-функцию r  t вектор-функцией постоянной длины.Теорема. Производная вектор-функции постоянной длины длины r (t ) – естьвектор, перпендикулярный к самому вектору r (t ) : r  r '  0.Доказательство. Производная скалярного квадрата вектора r , очевидно,равна:     ( r  r ) '  r '  r  r  r '  2r  r ' .С другой стороны, та же производная равна:  '2 ' r  r   r  0, посколькуr  t   const.Таким образом, r  r '  0.Теорема доказана.Физический смысл этой теоремы состоит в том, что тангенциальная скоростьчастицы, движущейся по поверхности сферы (в частности – по окружности),перпендикулярна радиус-вектору частицы.Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная прямая ксфере (окружности) в точке касания перпендикулярна радиус-вектору этой точки.74.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий