Math.an.II (532678), страница 10
Текст из файла (страница 10)
10. Диаграмма знакопостоянства второй производной функцииx3y.( x 1)2График имеет единственную точку перегибаx 0, y 0.x(, 0)0y'+0(0,1)1+(1,3)3(3, )-0+y ''-0++++y↑Точкаперегиба,+↑+↓+min+↑y0y2774Результаты исследования удобно представлять в виде таблицы.На рис.11 представлен график функции, построенный по результатам исследований.59x3Рис 11. Графика функции y .( x 1)2По графику очевидно, что область значений функции: y R .Лекция 14§1. Способы задания кривой на плоскости и в пространстве.I. На плоскости.1) Кривая на плоскости может быть задана как график функции в декартовойсистеме координат, т.е.
уравнениемy f ( x ) , x [ a, b] .Пример. Уравнение y= a 2 x 2 , как известно, описывает верхнюю половинкуокружности с центром в начале координат радиусом a .2) Параметрически: x (t ),t [ , ] . y (t )3) В полярных координатах.Как известно, в декартовой системе координат, любая точка на плоскостивзаимнооднозначно задается парой чисел ( x, y ) .
Описать точку парой чисел можно и подругому. Зададим начало координат ( O ) на плоскости и одну ось ( ), называемую60полярной осью. Полярными координатами точки на плоскости (рис. 1) назовем пару чисел( , ) , где – угол, составляемый радиус-вектором точки с направлением полярной оси(полярный угол), а – длина радиус-вектора точки, т.е.
расстояние от точки до началакоординат (полярный радиус). Так же как и декартовы координаты, полярные координатызадают точку на плоскости взаимнооднозначно.Рис. 1. Полярные координаты точки на плоскости.Положительным направлением отсчета полярного угла считается направление противчасовой стрелки.Для того, чтобы установить связь полярных координат с декартовыми, направим осьабсцисс вдоль полярной оси.
Тогда полярный угол – это угол, составляемый радиусвектором точки с осью абсцисс (рис. 2).Рис. 2. Связь полярных координат с декартовыми.Из прямоугольного треугольника ONM нетрудно видеть, что полярные и декартовыкоординаты связаны следующими формулами:x cos , y sin .Кривая в полярных координатах задается уравнением R( ) , [ , ] .Ниже приведены наиболее часто используемые кривые в полярных координатах.
В рядеслучаев, указано также их уравнение в декартовых координатах.Кривые в полярных координатах1) x 2 y 2 a 2 a612) ( x a )2 y 2 a 2 2a cos 3) x 2 ( y a) 2 a 2 2a sin 4) x aacos 5) y aasin 6) a (1 cos )10) 2 a 2 cos 2II. В пространстве.1) Кривая в пространстве может быть задана, как линия пересечения двух поверхностей: z f1 ( x, y ). z f 2 ( x, y )2) Параметрически:62 x 1 (t ) y 2 (t ) , t [ , ] . z (t )3Пример. Уравнения x cos t y sin t , t 0z tзадают круговую спираль, вьющуюся вокруг оси Oz .
Действительно, первая парауравнений задает окружность на плоскости xOy , но переменная z монотонно возрастаетс ростом t .§2. Дифференциал длины дуги кривой.Пусть задана гладкая кривая на плоскости, ограниченная точками A и B. Введемопределение длины этой кривой. Для этого разобьем кривую точками M 1 , M 2 ,…, M n намножество частей и построим ломаную AM1M 2 ...M n B .Рис. 3.
Приближение дуги ломаной.Очевидно, что чем мельче будет разбиение – тем больше ломаная будет сливаться скривой и тем меньше периметр ломаной (т.е. сумма длин ее звеньев) будет отличаться отдлины дуги.Опр. Длиной дуги гладкой кривой l называется предельное значение периметра Lломаной AM1M 2 ...M n B при стремлении длины максимального из ее звеньев к нулю:l lim L .d 0Аналогично определяется и длина дуги пространственной кривой.Теорема. Предел отношения длины дуги гладкой кривой l к длине стягивающейее хорды s (рис.
4) при стремлении последней к нулю равен единице:llim1s 0 sРис. 4. Иллюстрация к теореме об эквивалентности дины дуги длине стягивающейее хорды.Другими словами, l ~ s при s 0 .Рассмотрим кривую на плоскости, заданную уравнением y f ( x ) .63Рис. 5. Длина дуги кривой, как функция переменной x .Пусть А – фиксированная точка этой кривой: A( x0 , y0 ) , а точка B( x, y ) может свободноперемещаться вдоль кривой (рис. 5). Тогда длина дуги кривой AB является функциейабсциссы x точки В:l l ( x) .Поставим задачу вычисления производной и дифференциала этой функции. Рассмотрим,для начала случай, когда кривая задана параметрически: x (t ),t [ , ] . y (t )dlТогда длина дуги является функцией параметра t .
Найдем производную. Т.к. длинаdtдуги дуги кривой эквивалентна длине стягивающей ее хорды, при стремлении последней кнулю: l ~ s при s 0 ,dlls lim lim.dt t 0 t t 0 tРис. 6. Иллюстрация к вычислению производной длины дуги.Из прямоугольного ABC на рис. 6 видим, чтоs (x) 2 (y )2 ,следовательно22( x ) 2 ( y ) 2dl x y lim lim .t0t0dtt t t По теореме о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, получим искомуюформулу для производной длины дуги:dl xt 2 yt 2 ,dtгде точками обозначены производные функций x(t ) и y (t ) по переменной t .
Формула длядифференциала длины дуги имеет видdl xt 2 yt 2 dt .Внося dt под знак корня и сокращая на dt 2 , можно записать также эту формулу в видеdl dx 2 dy 2 .64Вернемся теперь к случаю, когда кривая является графиком функции y f ( x ) .Полагая t x , получим: xt 1 , yt f '( x) ,dl2 1 f '( x ) .dx2dl 1 f '( x) dx .Наконец, рассмотрим случай, когда кривая задана в полярных координатах: r ( ) .Декартовы координаты произвольной точки на кривой задаются равенствами: x r ( ) cos . y r ( ) sin Эти равенства можно рассматривать как параметрические уравнения кривой с параметромt . Имеем:dl ( x ')2 ( y ')2 d ,x ' r 'cos r sin ( x ')2 r '2 cos 2 2r ' r cos sin r 2 sin 2 y ' r 'sin r cos ( y ')2 r '2 sin 2 2r ' r cos sin r 2 cos 2 .Отсюда получим:( x ')2 ( y ')2 (r ') 2 r 2Таким образом,dl r 2 (r ')2 d ,аdl r 2 (r ')2 .dЕсли пространственная кривая задана параметрически уравнениями x (t )t [ , ] , y (t ) z (t )то дифференциал длины дуги такой кривой задается формулойdl ( xt ')2 ( yt ')2 ( zt ') 2 dtилиdl (dx) 2 (dy )2 (dz )2 ,а производная:l '(t ) '2 (t ) '2 (t ) '2 (t ) .§3.
Кривизна плоской кривой.Кривизна кривой есть количественная мера ее искривленности. Пусть на плоскостиимеется кривая L . Построим к ней касательные в 2-х точках: A и B . Обозначим длинудуги кривой AB через l (рис. 7).Опр. Угол , на который поворачивается касательная к кривой L приперемещении из точки A в точку B , называется углом смежности.Опр. Средней кривизной кривой L на участке AB называется отношение модуляугла смежности к длине дуги AB :65K cp | |.lРис. 7.
Кривизна кривой.Пример. Найдем среднюю кривизну окружности радиусом R . С учетом того, чтодлина дуги части окружности с углом раствора равна l R ( 0 ),| |1K cp .R | | RКак и следовало ожидать, кривизна окружности постоянна и обратно-пропорциональнарадиусу.Пример. Поскольку для любого участка прямой =0, средняя кривизна прямойтоже постоянная и равна нулю: Кср=0.Подобно тому, как средняя скорость позволяет определить мгновенную скорость,Кср позволяет определить кривизну в точке.Опр. Кривизной кривой в точке А называется предел отношения модуля угласмежности к длине дуги AB при стремлении последней к нулю:| |K lim K cp lim.l 0l 0 lДругими словами, кривизна кривой определяется формулой:dK.dlПусть гладкая кривая L задана уравнением y f ( x ) . Найдем кривизну этой кривой.Т.к. кривая гладкая, При l 0 0 .
Дифференциал длины дуги dl 1 ( y ') 2 dx .Тангенс угла наклона касательной tg y ' , поэтому arctg ( y ') иy ''d dx .1 y '2Таким образом,K ( x) dy ''y ''.dl(1 y '2 )3/ 2(1 y '2 ) 1 y '2Итак, мы получили следующую формулу вычисления кривизны плоской кривой:| y '' |K ( x) .(1 y '2 )3/ 2Пусть теперь кривая задана параметрически: x (t ). y (t )Тогдаy 'y '' x ' y ' x ''y x ' t , y x '' t t 3t t ,xt '( xt ')66откудаK (t ) | yt '' xt ' yt ' xt '' | y '( xt ')3 1 t xt ' 232| yt '' xt ' yt ' xt '' |232 2.( xt ' yt ' )Итак,K| yt '' xt ' yt ' xt '' |232 2( xt ' yt ' )§4.
Радиус, центр и круг кривизны, эволюта и эвольвента.Рассмотрим снова гладкую кривую L на плоскости. Выберем произвольную точкуM на этой кривой и построим нормаль к кривой в этой точке. Отложим вдоль нормаливеличину1RKв сторону, противоположную направлению выпуклости кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
