Math.an.II (532678), страница 9
Текст из файла (страница 9)
18 представлен эскиз графика функции y x 3 ( x 1) 2 .Рис. 18. Эскиз графика функции y x 3 ( x 1) 2 .Лекция 13§1. Направления выпуклости графика функции.Вспомним, что кривая называется гладкой, если она в каждой точке имееткасательную. Если функция y f ( x ) дифференцируема на интервале ( a , b) , то ее графикявляется гладкой кривой на этом интервале.Опр. Говорят, что график функции, дифференцируемой на ( a , b) , является выпуклым(выпуклым вверх) на интервале ( a , b) , если касательная к нему в любой точке из этогоинтервала лежит выше графика.51Опр. Говорят, что график функции, дифференцируемой на ( a , b) , является вогнутым(выпуклым вниз) на интервале ( a , b) , если касательная к нему в любой точке из этогоинтервала лежит ниже графика.Так, график, представленный на рис.
1, является выпуклым.Рис. 1. Пример выпуклого графика.Опр. Точкой перегиба называется точка графика функции, при прохождении черезкоторую меняется направление выпуклости графика (с выпуклости на вогнутость, илинаоборот).Пример точки перегиба представлен на рис. 2.Рис. 2. Точка перегиба графика функции.В точке пергиба касательная пересекает график.§2. Достаточное условие выпуклости графика функции.Теорема. Пусть функция y f ( x ) дважды дифференцируема на ( a , b) (т.е.x ( a , b )f ''( x ) ).
Тогда1) Если x ( a , b ) : f ''( x ) 0 , то график функции y f ( x ) выпуклый на ( a , b) .2) Если x ( a , b ) : f ''( x ) 0 , то график функции y f ( x ) вогнутый на ( a , b) .Доказательство. Покажем, что при f ''( x) 0 x (a, b) касательная лежит вышеграфика функции, т.е. ордината любой точки касательной y больше ординатысоответствующей точки графика f ( x ) : y f ( x ) , а при f ''( x) 0 – наоборот.52Запишем уравнение касательной к графику функции y f ( x ) в произвольнойточке x0 (a, b) :y f ( x0 ) f '( x0 ) ( x x0 ) ,илиy f ( x0 ) f '( x0 ) ( x x0 ) .Разность ординат точки касательной и точки графика равна:y f ( x) f ( x0 ) f ( x) f '( x0 ) ( x x0 )Пусть, для определенности, x x0 .
Функция f ( x ) на [ x0 , x ] удовлетворяет условиямтеоремы Лагранжа. По теореме Лагранжа, c ( x0 , x) : f ( x) f ( x0 ) f '(c) ( x x0 ) .Следовательно,y f ( x ) f '(c ) ( x x0 ) f '( x0 ) ( x x0 ) ,илиy f ( x ) ( x x0 ) ( f '( x0 ) f '(c )) .Поскольку x x0 и c ( x0 , x) , то c x0 . Функция f '( x ) на [ x0 , c ] удовлетворяет условиямтеоремы Лагранжа. По теореме Лагранжа c1 ( x0 , c ) : f '(c) f '( x0 ) f ''(c1 ) (c x0 ) y f ( x ) ( x x0 ) (c x0 ) f ''( c1 )Поскольку x x0 и c x0 , то ( x x0 ) (c x0 ) 0 .К тому же результату придем и в случае x x0 и(использовав теорему Лагранжа насегменте [ x, x0 ] ).Теперь рассмотрим по отдельности два случая.1) Если, f ''( x) 0 x (a, b), то y f ( x) 0 , т.е.
y f ( x ) , т.е. касательная лежитвыше графика и график выпуклый.2) Если, f ''( x) 0 x (a, b), то y f ( x) 0 , т.е. y f ( x ) , т.е. касательная лежитниже графика и график вогнутый.Теорема доказана.§3. Точки перегиба графика.Теорема (необходимое условие точки перегиба). Пусть функция y f ( x) имеет вточке x0 непрерывную 2-ую производную и точка M ( x0 , f ( x0 )) – точка перегибаграфика функции y f ( x) .
Тогда f ''( x0 ) 0 .Доказательство. Проведем доказательство от противного.Допустим, что f ''( x0 ) 0 (рис.3 a). В силу непрерывности 2-ой производной в точкеx0 , существует окрестность u ( x0 ) этой точки такая, что внутри u ( x0 ) f ''( x) 0 , а значитграфик функции является выпуклым, следовательно x0 не может быть точкой перегиба,что противоречит условию теоремы.Допустим теперь, что f ''( x0 ) 0 (рис.3 б).
В силу непрерывности 2-ой производной вточке x0 , существует окрестность u ( x0 ) этой точки такая, что внутри u ( x0 ) f ''( x) 0 , азначит график функции является вогнутым, следовательно x0 опять же не может бытьточкой перегиба, что противоречит условию теоремы.53Рис. 3. Иллюстрация к необходимому условию точки перегиба.Поскольку f ''( x0 ) не положительна и не отрицательна, но все же существует, тоf ''( x0 ) 0 .Теорема доказана.Пример.
Функция y x3 имеет точку перегиба x 0, y 0 . Вторая производнаяэтой функции y '' 6 x , так что y ''(0) 0 .Замечание. Доказанная теорема выражает необходимое, но не достаточное условиеточки перегиба. Т.е. из равенства f ''( x0 ) 0 еще не следует, что x0 – точка перегибаграфика.Замечание. Если функция не имеет непрерывной второй производной в точке x0 , этаточка, все же может быть точкой перегиба графика.Пример. Рассмотрим функцию y Рис. 4.
График функции31329x ; y ' x 2 / 3 ; y '' x 5/ 3 .y3x.Вторая производная не существует (равна бесконечности) при x 0 . График функциипредставлен на рис. 4. Очевидно, что точка (0, 0) – точка перегиба графика.54Таким образом, в точке перегиба f ''( x) либо равна нулю, либо не существует.Опр. Точки xk , в которых f ''( x) равна нулю или не существует (в частности,бесконечна) называются критическими точками 2-го рода.Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функцияy f ( x)определена в точке x0 , f ''( x0 ) 0 или f ''( x0 ) не существует (в частности, бесконечна) ипри прохождении через точку x0f ''( x) меняет знак, то ( x0 , f ( x0 )) – точка перегибаграфика.Доказательство. Пусть, для определенности, f ''( x) при прохождении через точкуx0 меняет знак с “+” на “-“ (рис.
5), т.е.f ''( x) 0 при x x0f ''( x) 0 при x x0 .Тогда при x x0 график функции f ( x ) является вогнутым, а при x x0 – выпуклым.Следовательно ( x0 , f ( x0 )) – точка перегиба графика функции.Рис. 5. Интервалы знакопостоянства второй производнойАналогично, если f ''( x) при прохождении через т. x0 меняет знак с “-“ на “+”, тослева от точки x0 график является выпуклым, а справа – вогнутым. Следовательно,( x0 , f ( x0 )) – точка перегиба.§4.Схема исследования функции на выпуклость и вогнутость.Для определения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции y f ( x)и нахождения точек перегиба, необходимо выполнить следующие действия.1) Найдем f ''( x) .2) Найдем все точки xk , в которых f "( xk ) 0 .3) Найдем все точки xk , в которых не существует f "( xk ) (в частности, бесконечна).4) Разделим область определения функции y f ( x) найденными точками, а такжеточками, в которых не определена сама функция на интервалы знакопостоянства второй55производной.
Определим на каждом из этих интервалов направления выпуклостиграфика (выпуклый график или вогнутый).5) По изменению направления выпуклости (используя достаточное условие точкиперегиба), найдем точки перегиба графика.Замечание. По определению, точка перегиба – это точка графика функции, т.е.функция в ней определена. Направление же выпуклости графика может меняться и припрохождении через точку, в которой функция не определена (например, черезвертикальную асимптоту). При таком изменении направления выпуклости, точкаперегиба отсутствует.Пример.
Рассмотрим функцию y 3 x 3 .52y '' ( x 3) 3 ; y ''(3) (не существует).9На рис. 6 представлена диаграмма знакопостоянства второй производной и указанынаправления выпуклости графика функции.Очевидно, точка x 3 , y 0 является точкой перегиба графика.Рис. 6. Диаграмма знакопостоянства второй производной функции y 3 x 3.§5. Схема полного исследования функции ипостроения ее графика.Для того, чтобы провести полное аналитическое исследование функции ипостроить ее график, необходимо выполнить следующие действия.I.
Элементарное исследование.1) Найти область определения функции f ( x ) .2) Найти точки пересечения графика с координатными осями и интервалызнакопостоянства функции.3) Исследовать функцию на четность и периодичность.4) Исследовать функцию на непрерывность и найти точки разрыва.II. Асимптоты и поведение на границах области определения.5) Найти вертикальные асимптоты графика и исследовать поведение функции вблизиасимптот.6) Найти наклонные (горизонтальные) асимптоты графика.7) В случае, если область определения имеет границы (например, областьопределения – отрезок), вместо наклонных асимптот найти значения (пределы) функциив граничных точках.567) Построить эскиз графика по асимптотам (рекомендуется).III.
Исследование по первой производной.8) Провести исследование функции возрастание и убывание, найти точкиэкстремума.IV. Исследование по второй производной.9) Найти направления выпуклости и точки перегиба графика.V. График функции.10) Построить график функции.11) Найти область значений функции.Пример. Построим график функцииx3y.( x 1)2I.Элементарное исследование.Область определения функции: x 1 ( x (,1) (1, ) ).Координатные оси график пересекает в единственной точке:x 0; y 0.Интервалы знакопостоянства функции представлены на рис. 7.Рис.
7. Интервалы знакопостоянства функции.x3y.( x 1)2Очевидно, рассматриваемая функция общего вида и не периодична.Единственная точка разрыва функции: x 1 – это точка разрыва 2-го рода ( -горазрыва).II.Асимптоты.а) Наклонная асимптота.x3x2k lim lim 1.x x ( x 1) 2x ( x 1) 2 x32x2 xx 3 x( x 1) 2x3 x( x 2 2 x 1) 2.b lim x lim lim lim2x ( x 1) 2x x ( x 1) 2( x 1)2 x ( x 1)Таким образом, график имеет двустороннюю наклонную асимптоту: y x 2 .57б) Вертикальная асимптота.График имеет двустороннюю вертикальную асимптоту: x 1 .x3x3lim ;x 1 ( x 1) 2x 1 x ( x 1) 2limЭскиз графика по асимптотам представлен на рис.
8.Рис. 8. Эскиз графика функции y x3( x 1)2по асимптотам.III. Исследование по первой производной.y'3 x 2 ( x 1) 2 2( x 1) x 3 3 x 2 ( x 1) 2 x 3 x 3 3 x 2 x 2 ( x 3).( x 1)4( x 1)3( x 1)3( x 1)3y' 0в двух точках: x=0 и x=3.y ' в единственной точке: x 1 . Однако, эта точка не может быть точкой экстремума,так как в ней не определена сама функция. Интервалы знакопостоянства первойпроизводной представлены на рис. 9 Стрелками указаны возрастание и убываниефункции на соответствующих интервалах.Рис. 9. Интервалы знакопостоянства производной функции58yx3.( x 1)2Очевидно, функция имеет точку гладкого минимума x 3, y 27.
Других экстремумов4нет.IV. Исследование по второй производной.' x3 3x 2 (3x 2 6 x)( x 1)3 3( x 1) 2 ( x 3 3 x 2 ) (3 x 2 6 x )( x 1) 3( x 3 3 x 2 )6xy '' 3 64( x 1)( x 1)( x 1)4 ( x 1) .y '' 0 x 0y '' ( ) x 1 , то это точка разрыва.Диаграмма знакопостоянства второй производной представлена на рис 10. Дугамипоказаны направления выпуклости графика.Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
