Filippov (531376), страница 21
Текст из файла (страница 21)
169. Рассматривается система х = азх,— у, у = бх — (3+ 2а)у. а) Будет ли нулевое решение системы при а = 1 асимптотически устойчивым? Обосновать ответ. б) Нарисовать траектории системы при а = — 3. в) Существует ли такое значение а б Л, при котором траектории — замкнутые кривые? В задачах 170 — 173 исследовать а) при каких значениях параметра а 6 Л нулевое решение асимптотически устойчиво и при каких — -устойчиво; б) при каких значениях параметра а Е Л особая точка— седло? узел? фокус? в) при указанном значении а дать чертеж траекторий. 166.
При каких а особан точка системы х = а(х + у), у = азр явлнется седлом? 167. а) Может ли траектория системы 146 Г~ 25. Фазовап плоскость х — х+ оу, 170. а = -'. у=их+у; т = ах+у, 171.. а = 1. у = ау — ь2а+ 1)х; х= 2ах+у, 172. а = 1. у = ау — 2ах; х = х + (2 — а)у. 173. а = 4. у = ах — Зу; 2. Траектории нелинейных систем 174. Найти и нарисовать траектории системы 3 8 2 . 8 2 3 175. Имеет ли уравнение т+ хь = О ненулевые решения, определенные при -оо < 1 < оо? 1ТО.
Имеются лн у уравнения х = 4х — 4хз неограниченные решения? 17Т. Перейти от уравнения х + их + х — хз = 0 к автономной системе двух уравнений. Для этой системы а) найти особые точки; б) указать значения оо при которых все эти точки неустойчивы; в) существует ли значение а, при котором ровно две особые точки устойчивы? 178. Для уравнения х+ 4х — бх = 0 а) найти уравнение у = ~р(х) траектории, проходящей через точку (1,0); б) нарисовать эту траекторию, учитывая значение предела 1пп — "; к-ьсО' ' в) найти решение данного уравнения с начальными условиями х(0) = 1, х(0) = О.
179. Для уравнения х = — и'(х), где и(х) = — х" + х2 — 1, а) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 147 З 25. Фаэовая пяоопоспэь б) найти особые точки и исследовать их на устойчивость; в) найти наклоны сепаратрис и периоды малых колебаний; г) добавить +ах в левую часть уравнения и для а > 0 исследовать типы особых точек полученного уравнения. 180. Для уравнении х. = 2х — 2хз провести такое же исследование. как в предыдущей задаче. 181. Длн уравнения х+ х = хг а) найти и исследовать особые точки на фазовой плоскости; б) найти решение х(1), убывающее и стремящееся к 1 при 1 — э +со, а также его траекторию на фазовой плоскости; в) выяснить, при каких а решение с начальными условиями т(О) = О, х(0) = о, периодическое; г) указать на фазовой плоскости область, заполненную замкнутыми траекториями; д) устойчиво ли решение с начальными условиями (О) — 0 х(0) — „3.
В задачах 182 и 183 а) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; б) найти особые точки и исследовать их на устойчивость; в) выяснить, определены ли все решения при — оо < 1 < ос. х = 1 — хг, 182. р=р х=х — х з 183. р = — р 184*. Для системы х=у — х р — й, д=хл+х р — х а) найти все особые точки; б) линеаризовать систему в каждой из точек (О, 0), (1, 0), (,Гг' ог) ' в) исследовать устойчивость этих линеарпзованных систем; г) исследовать на устойчивость те же три особые точки длн исходной системы; д) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 148 З26.
Дифференцирование решения ло лорал»етру е) выяснить, имеет ли данная система неограниченные решения; ж) описать множество точек, через которые проходят периодические решения. 8 26. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РБШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ И ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 1. Дифференцирование по параметру 185. Сформулировать теорему о дифференцируемости решения системы дифференциальных уравнений по параметру. Написать систему дифференциальных уравнений в вариацинх. В задачах 186 — 194 найти производную от решения данного дифференциального уравнения (или системы) по параметру р при р = О. 180.
у' = дх + Й (х > О), у(1) = 1 — '2!и 187. у' = у- + р се " (х > О), у(1) = 1 + 2р. 188. у' = у — х+ рх, ез", у(1) = 2 — р. 189. у' = рх+япу, у(0) = 2д. 190. й = х яп х+ яп(хз), х(0) = р,, х(0) = и. 191. х = х+ яп(хз), х(0) = р», х(0) = д~. 192. х+х = 2р»яви+ р»хз, х(0) = О, х(0) = О. 193. х — 2х = ртх, х(0) = 4, х(0) = у»з Ч- Зр,. 194. т = у у = х+ Зруз, х(0) = 2 — 4~», у(0) = О. 2. Дифференцирование по начальным условиям 195. Сформулировать теорему о дифференцируемости решении системы дифференциальных уравнений по началь- '2 27. Уравнения с частныли нроизеодными 149 ным условиям.
Написать систему уравнений в вариациях и начальные условии для нее. 196. Доказать, что в случае у Е тс' производная по Уо от Решении задачи У' = 1(х, У), У(хо) = Уо всегда положительна (предполагается 1 Е С ). В задачах 197 — 199 найти производную от решения по Уо пРн Уо = О. Указание. При уо = 0 каждан из этих задач имеет нулевое решение. 197. у' = 2ху+ з(ну, у(1) = уо. 198.
у' = уззшх+ успех, у(0) = уо. (*=у-х+х', 199 . х(0) = О, у(О) = уо. ~ у = д — 2х+хд, 200*, х+шпх = О, х(0) = а, х(0) = ~3. Найти „, при сч = ~3 = О. 3. Разложение решения по степеням параметра В задачах 201 н 202 найти разложение решения по степеням параметра р до дз вклнзчительно. 201. У' = бдх+ ~ (х > 1), у(1) = 1 — рь 202 т = 2* 2з.з т(0) = 1 х(О) д 9 27. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.
Теоретические вопросы 203. Написать общий вид квазилинейного уравнения с частными производными первого порндка. Что называется характеристикой этого уравненинд 150 г27. Уравнении е частными нроиэводниии 204. Сформулировать и доказать утверждение о связи решения уравнении с его характеристиками.
205. Как можно использовать первые интегралы некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений для получения решения данного уравнения с частными производными7 206. Сформулировать постановку задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными и теорему существования ее решения. 207. Сформулировать и доказать теорему о существовании решения задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка. 2.
Задачи 208. Найти общее решение уравнения Решить следующие задачи Коши (209 — 215). 209. худ+ хгф = уг, г = 1+ уз при х = 1. 210. ф + (г — хг) в' = 2х, г = хг + х при у = 2хг. 211. д — '+ хеба = уг, г = — дг при х = О. 212. хеба +угф = хз+ у. г = 4уз при х = Зуг. 213. угу -Ь хд г» = хгг. г = е" эг пРи х = 2У.
214. хф+ ~ф = + 2хг, = при у = — — хг. 215. х а' + у л' = х + у + г. г = х + у при у = т. + 1. Решить следующие задачи Коши (216 — 218) в тех случаях, когда решение существует. 216. ф + 2ф = 5, г = О при у = йх. 217.Й+Зо'=2, а)гр уг прих=1; б) г=2х приу=Зх. г = 2ау при х = (аг + а — 2)д.
З 27. Уравнения е чаетньеии лроизводнвеии 151 219. Имеют ли решении в окрестности точки (1, 0) следующие задачи Коши: а) у л' — т л' — — О, з = 2у при и = 1: б) уф — хф = О, з = 2у при х = 1+ у? 220*. Имеют ли решения в окрестности точки (1, 1) следующие задачи Коши для уравнения (х — оху ) — + (ох у — у ) — = О з,здз з здз д» ду а) я=вшу при хе+уз=2: б) з = вшу при х = 1? 221. Какому условию должна удовлетворять функция «р(х) Е С~ длн того, чтобы задача Коши дз дз у — — х — =О, з=ео(х) при у=О, — оо<х<со, дх ду имела решение на всей плоскости х, у? ОТВЕТЫ 15.
/(х, у) = 0; Д<0 (п)ак)) Д>0 (ппп). 16. а) у = х + + 2х; б) х = 2сбу; в) ху = — (1 — х~)~;у = 0; г) Д 4- / /р —— О. 17. у = е "/". 18. у' = Зу~)~. 19. ху' = Зу. 20. у + у = 1. 21. х~у' — ху = ду'. 22. 2хуу' — у = 2хл. 23. у'а = 4у(ху' — 2у). 24. у' = сов " . 25. х(х — 2)ун — (х~ — 2)у' -)- 2(х, — 1)у = 28. хада' — Зх~ да+ бху' — бу = О. 29. ун'у' = Зун~.
30. (у — 2х)л(у™-!- + 1) = (2у'+ !)~. 31. хд'~ = у(2у' — 1). 32. (хд' — у) = 2ху(у'~ + + 1). 33. хлун — 2ху'+ 2у = О. 34. (уну+ у'в + 1) = (у'~ + 1)а. 35. уу' -!- лл' = О, у~ -!- 2хлл' = х~л'~ 36. т, -!- у~ = л~ — 2л(у— — тд'); х -1- уу' = лл' — г'(у — ху'). 37. 4уу' = — х. 38. д' = — 2у. 39. (х~ + у)у' = — х,. 40. (х -!- у)у' = у — х; (х — у)д' = х 4 у. 41. (х'+ уъ/3)у' = у ~ хъ/3.
42. (Зх '+ уъ'3)у' = у ~ Зтъ/3. 43. (2хт Туъ/3)у' = д ~ 2хъ/3. 44. )'агпВ = г~. 45. г' = 1гсСЗВ. 46. г' = = гсс8(В х 45'). 47. (х+ 2д)у' = — Зх — у; (Зх+ 2у)у' = д — х, 48. д'[2. у х (х — д )] = д —. х 2.у. 49..(1+ д' ) = — 2дд'. 50. уу'а + ху'е = — 1. 51. у = С(х -!- Це™; х = — 1. 52.
!п!х) = С -!- + ъ/ул -)- 1: х = О. 53. у(!п )х~ — Ц ~-С) = 1, у = 0; у(!))(1 — х~) ~-1) = 1. 54. у = 2 -Ь С сов х; у = 2 — 3 сов х. 55. у = (х — С)л; у = 0; у = = (х — 2)а; у = О. 56. у(1 — Сх) = 1; д = 0; у[1 + х) = 1. 57. у~— — 2 = Се1/'. 58. (Се — 1)у = 2: д = О. 59. е " = 1 + Се'. 60. л = — !8(С вЂ” 10 ). 61. х~ -Ь й~ — 21 = С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
