Диссертация (531291), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Ввести в динамический расчет периодически изменяющиесяжесткости достаточно тяжело. Поэтому контактное взаимодействиезубьев моделируется упругими элементами (пружинами) постояннойжесткости, к обоим концам которых прикладываются противоположнонаправленные (перпендикулярно контактной поверхности), изменяющиеся по гармоническому закону с частотой пересопряжения зубьевсилы (рис. 2.19 б).X’аY’αбZ’O’F2kF1P2P1ωYXZOРис. 2.19. Моделирование зубчатого зацепления: а – локальная иглобальная системы координат; б – упругий элемент и пара сил,имитирующих переменную жесткость зацепленияТаким образом, мы приходим к задаче определения отклика механической системы на гармоническое силовое воздействие.49Моделирование зубчатого зацепления с помощью безмассовыхпружин позволяет существенно упростить геометрию шестерен и зубчатых колес, используя в качестве последних деформируемые диски ицилиндры с диаметрами, равными диаметрам делительных окружно стей без моделирования отдельных зубьев .

Введение нескольких такихпружин на линии соприкосновения моделируемых колес позволяетвоспроизвести распределение контактной нагрузки по ширине зубчатого колеса (шестерни).В исследуемом редукторе обе ступени выполнены с использованием шевронного зацепления. С учетом коэффициента перекрытия накаждом полушевроне сателлита контактируют 4 или 5 пар зубьев состороны солнечной шестерни и столько же со стороны эпицикла. Каждое такое зацепление моделируется пятью фиктивными пружинами,равномерно расположенными на линии контакта (рис.

2.20).Зубчатое зацеплениеЭквивалентные контактные нагрузкиСателлитыЭквивалентная модель зацепленияСолнечное колесоЭпициклРис. 2.20. Замена контактирующих пар упругими элементамиКонечноэлементные модели солнечных шестерней и сателлитовобеих ступеней построены на базе трехмерных объемных элементов50потехнологии«снизувверх »,т.е.безпредварительного3D-моделирования. Такой подход позволяет получить регулярную конечноэлементную сетку с заданными параметрами.Модели солнечных шестерен и сателлитов обеих ступеней по строены таким образом, что на линиях контакта полушевронов солнечной шестерни с сателлитами соприкасаются по 5 угловых узлов КЭшестерни и сателлитов (рис.

2.21). Именно в этих узлах добавляютсяфиктивные связи – пружины.Рис. 2.21. Конечноэлементные модели солнечных шестерени сателлитов 1-й и 2-й ступенейВ идеале жесткость зубчатого зацепления равномерно распределяется на эти пять пружин, но при наличии перекосов, выявленных врезультате статических расчетов, распределение жесткостных характеристик и динамических сил по пружинам может быть неравномер ным.Моделировать такие связи типовыми стержневыми элементаминеудобно, поскольку концы стержня должны определять его ориентацию и не могут задаваться совпадающими в пространстве точками,51однако ПК ANSYS позволяет вводить элементы, заданные непосредственно матрицами жесткости, демпфирования и масс.Методику получения матрицы жесткости фиктивной связи –пружины, имеющей заданную жесткость в направлении нормали кконтактной поверхности, рассмотрим сначала на примере прямозубогозацепления.Будем считать рабочим направлением вращение солнечной шестерни первой ступени против часовой стрелки, если смотреть с носо вой части редуктора.На рис.

2.19 а показан фрагмент зубчатого колеса с одним зубом,привязанный к глобальной системе координат с центром в точке О , иполоса контакта при идеальном зацеплении. Поскольку основнымправилом МКЭ при конструировании КЭ является обеспечение перемещения элемента как жесткого целого без изменения внутреннихнапряжений, то параллельный перенос системы координат в точкуконтакта на зубе не изменяет матрицы жесткости.

Введем локальнуюсистему координат, у которой ось Z совпадает с направлением фиктивной пружины. Такую систему координат можно получить путемповорота глобальной системы координат вокруг оси X на угол α. Внашем случае α= –20 ° (стандартный профиль рейки, поворот по часовой стрелке , если смотреть с конца оси X). В этой системе координатлегко задается матрица жесткости пружины.Обозначим матрицу преобразования координат при повороте во круг оси X на угол α – [ Aα ] . Тогда любой вектор P, заданный в гло бальной системе координат, в локальной системе будет определятьсякак{P′} = [ Aα ]−1 {P}.Уравнение жесткости для пружины в локальнойтрехмерной системе координат можно записать следующим образом:[ K ′]{δ ′} = {F ′}[ K ′] , {F ′}{−1или, [ K ′] [ Aα ]{δ }} = {[ Aα ] { F }} , где−1и {δ ′} – матрица жесткости и векторы узловых сил и пере52мещений в локальной системе координат;{F }и {δ } – те же векторы узловых сил и перемещений, заданные вглобальной системе координат.Умножив обе части последнего выражения на [ Aα ] слева , получим:−1[ Aα ][ K ′][ Aα ] {δ } = {F } ;Следовательно, выражение−1[ Aα ][ K ′][ Aα ]есть ни что иное, какпреобразованная в глобальную систему координат матрица жесткостипружины, имитирующей прямозубое зацепление солнечной шестернис первым (верхним) сателлитом .

Для зацепления со вторым сателлитом, получающимся при повороте первого вокруг оси X, проходящейчерез солнечную шестерню на угол 120 ° против часовой стрелки, еслиooсмотреть с конца оси X, α = (120 − 20 ) , для третьего – α = ( 240 − 20 ) .Матрица преобразования [ Aα ] при повороте вокруг оси X на угол αвыглядит следующим образом:[ aα ]0[ Aα ]  0 000[ aα ]00[ aα ]000 00 10 , где [ aα ] = 0 cos(α ) − sin(α )  .00sin(α)cos(α)[ aα ]В силу ортогональности матрицы поворота обратная матрица−1T−1[ Aα ] получается путем транспонирования исходной, т.е . [ Aα ] = [ Aα ] .В случае косозубого зацепления (рис. 2.22) матрица преобразования пространства, совмещающая ось Z глобальной системы координат с направлением нормали в точке контакта (осью Z’’ локальной системы) получается путем двойного поворота: сначала на угол α вокругоси X, затем на угол β вокруг оси Y.

Результирующая матрица преобразования координат, как и в случае с прямозубым зацеплением ,блочно -диагональная, состоящая из блоков  aβα  :53 cos ( β ) 0 sin ( β )  100  aβα  =  aβ  [ aα ] =  010  0 cos (α ) − sin (α )  . − sin ( β ) 0 cos ( β )  0 sin (α ) cos (α ) Z’’Y’’Z’’X’’Z’’IIZ’− β −αZ’’ZYXZРис.

2.22. Моделирование косозубого зубчатого зацепленияВ общем случае для получения локальной системы координатпружины, имитирующей зацепление i-го сателлита, отстоящего от 1-гона угол α1 , требуется три поворота глобальной системы координат:сначала на угол α вокруг оси X, затем на угол β вокруг оси Y, послечего на угол α1 опять вокруг оси X. Матрица жесткости такой пружины в глобальной системе запишется следующим образом:[ K ] =  Aα βα  [ K ′]  Aα βα 11−1,а соответствующие блоки матрицы преобразования:0000 1  cos ( β ) 0 sin ( β )  1 aα1βα  = 0 cos (α1 ) − sin (α1 )   010  0 cos (α ) − sin (α ) 0 sin (α1 ) cos (α1 )   − sin ( β ) 0 cos ( β )  0 sin (α ) cos (α ) 54В таблице 2.1 приведены значения всех углов в соответствии свыбранным рабочим направлением приводного вала для носовых по лушевронов зацеплений сателлитов .

Для аналогичных зацепленийкормовых полушевронов угол β меняет знак на противоположный .Таблица 2.1.Углы преобразования системы координат для зацепленийносовых полушевроновЗацепление / соедине№α1αβниесателлитаСолнечная шестерня –1-20290сателлит (1-я ступень)2-20291203-2029240Солнечная шестерня –120-290эпицикл (1-я ступень)220-29120320-29240Солнечная шестерня –120-290сателлит (2-я ступень)220-2972320-29144420-29216520-29288Солнечная шестерня –1-20290эпицикл (2-я ступень)2-2029723-20291444-20292165-2029288Имитирующий косозубое зацепление сателлита элемент (фиктивная пружина) имеет матрицу жесткости [ K ′] размерностью 12 х 12,в которой отличны от 0 только 4 элемента: k 3,3 =k 9,9 =kz; k 3,9 =k 9,3 = -kz ,где kz – жесткость пружины в направлении локальной оси Z. Послепреобразования в глобальную систему координат матрица жесткостиприобретает следующую блочную структуру: [k ][ 0][ K ] =  − k[ ] [ 0][ 0 ] − [ k ] [ 0 ]k[0] [0] [0] , где k =  k1[ ] 2[ 0 ] [ k ] [ 0 ] k3[0] [0] [0]55k2k4k5k3 k5  .k6 Таким образом, в силу своей симметрии матрица жесткости полностью определяется шестью коэффициентами:2k1 = k z cos (α ) sin ( β )2k2 = −k z cos (α ) ( cos (α ) sin (α ) + cos (α ) cos ( β ) sin (α1 ) ) sin ( β )k3 = k z cos (α ) ( cos (α ) cos (α1 ) cos ( β ) − sin (α ) sin (α1 ) ) sin ( β )k4 = −k z ( cos (α1 ) sin (α ) + cos (α ) cos ( β ) sin (α1 ) )2k5 = −k z ( cos (α1 ) sin (α ) + cos (α ) cos ( β ) sin (α1 ) ) ** ( cos (α ) cos (α1 ) cos ( β ) − sin (α ) sin (α1 ) )k6 = k z ( cos (α ) cos (α1 ) cos ( β ) − sin (α ) sin (α1 ) )2Элемент , моделирующий прямозубое зацепление эпицикл – бло кирующая муфта, имеет жесткость не только в направлении нормали кповерхности контакта – k z, но и в направлении локальной оси X (совпадающей с осью X глобальной системы) – k x, а также крутильнуюжесткость относительно локальной оси Y – c y.

Характеристики

Список файлов диссертации