lec1-n_123 (529984), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Перед составлением уравнений необходимо указать на схеме положительные направления известных и неизвестных величин.

1.8.1. Метод непосредственного использования законов Кирхгофа.

Данный метод целесообразен в следующих случаях:

- для расчета неразветвленных электрических цепей;

- если известна величина части токов, но неизвестны величины такого же количества источников или элементов цепи;

- для определения падения напряжения между какими-либо двумя точками электрической цепи;

- для проверки правильности расчетов, проведенных любым другим методом.

Проверка может быть также осуществлена путем составления уравнения баланса мощности.

З адавшись положительными направлениями искомых величин, составляют уравнения сначала по первому закону Кирхгофа, максимальное число которых должно быть на единицу меньше числа узлов схемы. Недостающие уравнения следует составить по второму закону Кирхгофа.

В качестве примера составим систему уравнений для определения токов в

Рис 1.17 электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 1.17 с известными сопротивлениями и величинами и направлениями источников э.д.с. и напряжений. Поскольку данная цепь имеет пять ветвей с неизвестными токами, необходимо составить пять уравнений. Выбрав положительные направления токов в ветвях, для узлов «а» и «б» составим уравнения по первому закону Кирхгофа, а для контуров «агда», «абга» и «бвгб» при обходе последних по часовой стрелке - уравнения по второму закону Кирхгофа.

1.8.2. Метод эквивалентных структурных преобразований.

В основе различных методов преобразования электрических схем лежит понятие эквивалентности, согласно которому напряжения и токи в ветвях схемы, не затронутых преобразованием, остаются неизменными.

Преобразования электрических схем применяются для упрощения расчетов.

Рассмотрим наиболее типичные методы преобразования.

Последовательное соединение элементов.

При последовательном соединении элементов через них протекает один и тот же ток I (рис.1.18). Согласно второму закону Кирхгофа, напряжение, приложенное ко всей цепи

(1.27)

Для последовательного соединения сопротивлений r₁,r₂...r_n (рис. 1.18) с учетом (1.6) будем иметь

(1.28)

Ток в цепи с последовательным соединением элементов равен:

(1.29)

а напряжение на n-ом элементе равно

(1.30)

При последовательном соединении источников напряжения они заменяются о дним эквивалентным источником с напряжением Uэкв, равным алгебраической сумме напряжений отдельных источников.

Рис 1.19 Причем со знаком «+» берутся напряжения, совпадающие с напряжением эквивалентного источника, а со знаком «-» - несовпадающие (рис.1.19).

Параллельное соединение элементов.

Соединение групп элементов, при котором все элементы находятся под одним и тем же напряжением, называется параллельным (рис.1.20). Согласно первому Кирхгофа, ток всей цепи I равен алгебраической сумме токов в параллельных ветвях, т.е.

(1.31)

На основании этого уравнения с учетом (1.8) для параллельного соединения резистивных элементов получаем:

где -эквивалентная проводимость. (1.32)

Токи и мощности параллельно соединенных ветвей при U=const (рис. 1.20) не зависят друг от друга и определяются по формулам:

(1.33)

Мощность всей цепи равна :

, (1.34)

где r_э=1/g_э -эквивалентное сопротивление цепи.

При увеличении числа параллельных ветвей эквивалентная проводимость электрической цепи возрастает, а эквивалентное сопротивление соответственно уменьшается. Это приводит к увеличению тока I. Если напряжение остается постоянным, то увеличивается также общая мощность Р. Токи и мощности ранее включенных ветвей не изменяются.

Рассмотрим частные случаи параллельного соединения резистивных элементов.

а) параллельное соединение двух элементов

(1.35)

б) параллельное соединение n ветвей с одинаковыми сопротивлениями

(1.36)

Эквивалентное преобразование резистивноготреугольника в звезду.

Под соединением треугольником (рис.1.21.а) понимается такое, при к отором конец одного элемента соединяется с началом второго, конец второго- с началом третьего, а конец третьего - с началом первого. Узловые точки 1,2,3 подключаются к остальной

Рис 1.21 части электрической цепи. Соединение звездой получается при объединении начал или концов сопротивлений в одну точку (рис.1.21.б).

При расчете электрических цепей оказывается полезно преобразовать треугольник в звезду или совершить преобразование звезды в треугольник.

Замена треугольника эквивалентной звездой должна производиться таким образом, чтобы после указанной замены токи в остальной части цепи, а также напряжения между точками 1 и 2 , 2 и 3,3 и 1 остались без изменения.

С помощью законов Кирхгофа можно получить следующие формулы для определения сопротивлений эквивалентной звезды:

( 1.37)

При замене резистивных элементов, соединенных звездой, эквивалентным треугольником, пользуются следующими формулами

(1.38)

1.8.3. Метод контурных токов.

М етод контурных токов дает возможность упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом расчета по законам Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений, которые приходится решать совместно. Этот метод заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются на основании второго закона Кирхгофа так Рис 1.22 называемые контурные токи,

замыкающиеся в контурах. На рис.1.22. в виде примера показана двухконтурная цепь, в которой I₁₁ и I₂₂ - контурные токи. Токи в сопротивлениях r₁ и r₂ равны соответствующим контурным токам; ток в сопротивлении r₃ являющемся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I₁₁ и I₂₂, так как эти токи направлены в ветви r₃ встречно.

Число уравнений , записываемых для контурных токов по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров, то есть для электрической схемы с числом узлов q и числом ветвей p задача нахождения контурных токов сведется к решению системы p-q +1 уравнений. Так, в схеме рис.1.22 q = 2 p = 3; следовательно, число уравнений равно 3-2+1=2 (число уравнений независимых контуров).

Положительные направления контурных токов задаются произвольно. Направление обхода каждого контура принимается обычно совпадающим с выбранным положительным направлением контурного тока; поэтому при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа падение напряжения от заданного контурного тока в сопротивлениях, входящих в контур, берется со знаком плюс. Падение напряжения от тока смежного контура в общем сопротивлении берется со знаком минус, если контурные токи в этом сопротивлении направлены встречно, как это, например, имеет место в схеме рис.1.22., где направление обоих контурных токов выбрано по ходу часовой стрелки.

Для заданной электрической схемы с двумя независимыми контурами (рис.1.22) могут быть записаны два уравнения по второму закону Кирхгофа, а

именно:

, ,

здесь (r₁ + r₃) и (r₂ + r₃) - собственные сопротивления контуров 1 и 2, r₃ -

общее сопротивление контуров 1 и 2. После определения контурных токов, легко найти и токи всех ветвей.

I₁ = I₁₁; I₂ = I₂₂ ; I₃ = I₁₁ - I₂₂ .

Рис 1.23

Пример 1.2.

Найти токи в схеме (рис. 1.23) при помощи метода контурных токов.

r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = r₅ = 10 Ом; E₁ = E₅ = 50 В; E₃ = 90 В.

Решение:

Выбираем направление всех контурных токов I₁₁, I₂₂ , I₃₃ по часовой стрелке.

Записываем систему уравнений:

После подстановки численных значений:

,

выразим I₁₁ и I₃₃ через I₂₂ :

,

и подставим во второе уравнение системы

получаем в итоге I₂₂ = 7А ; I₁₁ = I₃₃ = 6А.

В соответствии с выбранным положительным направлением токов в ветвях окончательно получим:

I₁=I₁₁=6A; I₂=I₁₁-I₂₂=6-7= --1A; I₃=I₂₂=6A

I₄=I₂₂-I₃₃=1A; I₅=I₃₃=6A

1.8.4. Метод узловых напряжений.

Метод узловых напряжений заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа определяются напряжения в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти искомые напряжения называются узловыми напряжениями, причем положительное направление их указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Напряжение на какой - либо ветви равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви; произведение же этого напряжения на производимость данной ветви равно току в этой ветви. Таким образом, зная узловые напряжения в электрической цепи, можно найти токи в ветвях.

Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то напряжения между остальными узлами и базисным узлом будут равны также потенциалам этих узлов. Поэтому данный метод называется также методом узловых потенциалов.

При наличии одной ветви с э.д.с и бесконечной проводимостью целесообразно принять за базисный узел один из узлов, к которому примыкает данная ветвь, тогда напряжение данного узла становится известным и число неизвестных сокращается на одно.

Число неизвестных в методе узловых напряжений равно числу уравнений, которые надо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. Метод узловых напряжений имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, или если (q -1) < (p - q + 1 ), или, что то же 2(q-1) <p, где q- число узлов, p -число ветвей.

Характеристики

Список файлов лекций