Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Же вЬа11 сопв1с)ег СЬе гоппйпц еггог 1аСег, али1 Гог СЬе пюшепС яте вЬаБ авзшпе СЬаС СЬе из оГ (2.2.5) вге сошрпСей ехасС1у во СЬаС СЬе оп1у еггог 1в СЬе СС(зсгеС(заСюп еггог, О1всгеС1заС1оп Еггог С5те ЙгяС сопвп1ег СЬе ЙвсгеС1гагюп еггог СНАРТЕЯ 2 1ЕТТ1ЖС 1Т ИХ: 1Ж1Т1А1 СА1Л1Е РКОВТЕМй Е(Ь;Ь) = [ул — у(Ь)[ (2.2.9а) аС а йхес1 ро!пС (2.2.9Ъ) Ь=о+ЬХ. )с1оСе СЬаС !ч', апй С1па ул, !в 1ипсС!оп о1 Ь; ш рагС!си!ах, 1ог йхей Ь, аз Ь йесгеавев, СЬеп Х 1псгеазев апй !1 Ь вЂ” О, СЬеп Х вЂ” со.
С7е оп1у а11очч Ь Со чеху, Ьосчечег, ш яисЬ а счау СЬаС (2.2.9Ь) Св яаС!вйей 1ог ап !пСехег Ьс. ТЬе шах!ппип с11всгеС!загюп еггог оп СЬе счЬо1е 1пгегча! [а, Ь[, Е(Ь; [о, Ь[) = шахг<с<л [у; — у(а+ !Ь)[, (2.2.9с) !в сайей СЬе д1оЬа( йвстейзайоп еттот (яошеС(шея са!1ей СЬе д!оЬа! Стипсайоп еттот) оп СЬе СпСегча1 [а, Ь[. ССгЬеп СЬе !пгегча1 !з с1езг, чте зс111 ивиа11у с1епосе Е(Ь; [а, Ь[) Ъу Е(Ь).
ХпгшССче!у, чсе ехресс — апй сегса1п1у Ьоре — СЬаС Е(Ь) — + О азЬ- О. ССсе пехС вЬосч Ьочч СЬе д1оЪа! й!ясгеС!каС!оп еггог сап Ье Ьоипйес1. Рияг, сче зйй азвшпе СЬаС СЬе ехасС во1иС!оп у Ьав а Ьоипс1ей весопй йейчайче у" оп СЬе шгегта( [о, Ь] апс1 веС шах [р (х)[ = М. а<я<6 (2.2.10) Же СЬеп сопврйег СЬе ехргевяюп 1 1 (х, Ь) = — [р(х + Ь) — у(х)[ — 1(х, у(х)), (2.2.11) счЬ!сЬ ы са11ей СЬе !оса! йвстейзоССоп еттот 1от Еи!ет'я тперйой аС роСпС х апй Ся а псеавиге о1 Ьозс пшсЬ СЬе й!йегепсе сСиоС1епС 1ог р'(х) й!йегв (гош 1'(х, у(х)). !с1осч виррове СЬаС ув есСиз)з СЬе ехасС во1исюп у(хя).
ТЬеп СЬе й1йегепсе ЪеСчсееп СЬе Еи1ег арргох!шарп у6.6 с апс1 СЬе ехасС во!иС!оп у(хя+с ) !в випр1у У(хя-66) — У6-66 = У(хя+г) — У(хя) — Ь1(хя,У(хя)) = ЬЕ(хя,Ь). (2.2.12) ТЬаС 1з, Ь Сипев СЬе 1оса1 й!зсгеС!яаС!оп еггог гз СЬе еггог ргос1исес1 ш а в!пд1е вСер о1 Еи1ег'в шеСЬой зСагС!пд 1гош СЬе ехасС яо1игюп. 'чче вЬа11 Ье 1псегевгей 1п СЬе шах!шиш в!хе о1 Цх, Ь) 1ог зпу ча1ие о1 х, апс1 чте с1ейпе СЬе 1оса1 й!зсгеС!заС!оп еггог 1ог Еи1ег'в шеСЬой Ьу ЦЬ) = шах [В(х, Ь)[. а<в<6-6 (2.2.13) ЦЬ) < -М = 0(Ь). Ь 2 (2,2.14) Ноге СЬаС ЦЬ) с1ерепйз оп СЬе егер 1епхСЬ, Ь, аз сче11 ая оп СЬе ЕипсС1оп 1 о1 СЬе й1йегепС!а! ес1иагюп апй СЬе 1пСегча1 [а,Ь[. ТЬе оп1у йерепс1епсе сче Ьаче ехр1!с!С!у с1ейпеагес1, Ьочтечег, 1в СЬаС оп Ь, в!псе ши1ег СЬе ззвишрС!оп (2.2.10) апй из!пв а Тау!ог ехрапв!оп апа!оцоив Со (2.2.6) сче оЪСаш СЬе Ъоипй 2.2 О)д(Е-БТЕР МЕТНОТ)Б 25 Неге дче Ьаче ывед$ СЬе здапд$агг) подадюп 0(Ь) Со д)еподе а д)иапдйу СЬад 8оея Со гего ая гарЫ1у ав Ь 8оея Со гего.
Маге 8епега11у, чге дч$11 вау СЬад а 1ппсС)оп д оЕ Ь 1я 0(Ьз) $1 д(5)//дз 1я Ьоппг)ес) ав Ь ~ 0 Ьпд д(Ь)/)дч Св ипЬоппд$ед$ $1 ч > р. ТЬе ргоЫепд пода Св Со ге)аде СЬе 1оса1 с$$всгеС)гад)оп еггог Со СЬе 81оЬа1 г$$ясгед(гаСюп еггог. Н дче с1епоСе СЬе еггог р(хд,) — рд, Ьу ею СЬеп чге Ьаче, Ьу пв)п8 (2.2.5) апг$ (2.2.11), ез+д = у(хв-дд) — равд (2.2.15) р(хя) + Ц(хю р(хз)) + Щхю Ь) — рв — Ц(хю рв) ея + )д[1(хю р(хз)) — 1(хю рз)) + )дй(хю Ь). )д)очг аввшпе СЬаС СЬе 1ппсС(оп 7' Ьяя а Ьоппд$ед$ рагйа! д)ег!чаС)че чгССЬ гезресС Со Ьв весопд$ чаг)аЫе: — (х, р) < Мд, а < х < Ь, [р[ < оо. ду (2.2.16) р ТЬеп Ъу СЬе шеап-ча1пе СЬеогеш (Аррепйх 1), яде Ьаче Гог ваше 0 < В < 1, [Дхюу(ху)) — Дхюрв)[ = — (хюВу(хя) + (1 — В)уя)(у(хз) — уз) д7' ду < Мд[ев[.
БиЪяСССидшз СЬ)я $пСо (2.2.15) апд1 Ьоппг)!п8 Е(хю Ь) Ьу Е(Ь) 8$чев [ев~д[ < (1+ )дМд)[ез[+ ЬЩЙ)[. (2.2.17) ТЫв 1в ап 1пед)па1йу о1 СЬе Гогш ез.дд < сев +д$, дчЬеге ед, = [ед [, с = 1 + ЬМд, д$ = Ы,()д) апд$ ес = О. ТЬпя, е„< с(се„я+д$) +д$ « . (1+ с+ "° с" д)д$ (2.2.18) с 1 ) [(1 + ЬМд)в — 1) (1 + ЬМд) езвм1 < 5(Ь), д дчЬеге СЬе 1зяС шед)паИСу 1о11очгв 1гош 1+ х < е* Гог х > О. Ходч х„= хо+ пЬ зпд$ !Г чге 1деер х„йхед$ аС ваше рошд х+ ш СЬе шдегча1 [а, Ь) ав )д ~ О, СЬеп (2.2.18) Ьесошез < ~( ) Мд(г+-хо) Мд ТЫз евдппаде 1я ап пррег Ьошн$ оп СЬе аЬво!пде ча1пе о1 СЬе еггог апд$ шау Ье гаСЬег резыппзС(с.
)д)ечегСЬе1евв, Ь д)сея вЬодч СЬас е„0 в1псе Е(Ь) = 0(Ь). Могеочег, Е()д) = 0()д). Т1шв, чге Ьаче ргочед$ СЬе 1о11одч)п8 деви)С. 26 СНАРТЕН2 1,ЕТТ11101ТЖУ: 11ч1Т1АЙ УА1,11ЕРтсОВ1,ЕМБ Тннонкм 2.2.1 (Еи1ег 11!естес!вас!оп Еггог) 11 СЬе 1ипсССоп 1 Ьая а Баипйей рагзта1 йеттеаСгие иттйЬ теярес! Со ССя яесопй эат!аЫе, апй т1" йе яо1ийоп о1 (2.2.3), (2.2.4) Ьаз а Ьтипйей яесопй йет!заСтие, СЬеп СЬе Еи1ет арргохттпазтопз сапчетде Со йе ехасС яо1иСтоп аз Ь вЂ” О, апй йе д1оуа1 йтястеСтзаСтоп еттот оз Еи1ег'я теМой яаСтзттея Е(Ь) = 0(Ь). ТЬе 1асС СЬаС СЬе 81оЪа1 й!всгеС!хаС!оп еггог тв 0(Ь) тв ияиа11у ехргеввед Ъу вау!п8 СЬаС Еи1ег'в шеСЬой 1я 7ттзС отйег. ТЬе ргасС1са1 сопвес!иепсе о! СЫв !з СЬаС ая тче йесгеаве Ь, тче ехресС СЬаС СЬе арргох1гааге во1иСюп сч!11 Ьесогпе тпоге ассигаСе апд сопчег8е Со СЬе ехасС во1игюп аС а Ипевг гаге ш Ь ая Ь Сепйз Со зего: СЬаС !я, т1 тче Ьа1че СЬе егер вйе, Ь, чче ехресС СЬаС СЬе еггог и!11 с1есгеаве Ьу аЬоиС а 1асСог о1 2.
ТЫз еггог ЬеЬачюг гв вЬотчп ш СЬе 1о11отч!п8 ехашр1е. СопвЫег СЬе ес!иаС1оп у' = у, у(0) = 1, 1ог итЫсЬ СЬе ехасС во1иС1оп 1в у(х) = е*. СУе сошриге СЬе яо1иСюп аС х = 1 Ьу Еи1ег'в гпеСЬой ия!п8 чапоив ча1иев о1 Ь (яее ТаЫе 2.2). ТЬе ехасС во1исюп аС х = 1 гя е = 2.718...; СЬе еггогв 1ог СЬе с1НегепС егер вткез аге 8!чеп 1п СЬе пйЫ!е со1шпп. ТЬе гагюв о1 СЬе еггогв 1ог яиссевсйче Ьа1ч!п8в о1 Ь аге 8!чеп 1п СЬе г!8ЬС-Ьапй со1шпп, апй И тя вееп СЬаС СЬеяе гаСюв Сеид Со -', ав ехресгес1.
ТаЫе 2.2: Еттот т Еи1ет'з МеСЬой Ишь-Кивва МеСЬос1в ТЬе чету в1отч гасе о1 сопчег8епсе вЬотчп ш ТаЫе 2.2 аз Ь десгевяея 1в Суртса1 о1 йгвС-огдег гпеСЬойв апс1 пи1йагея а8а!пвС СЬе!г ияе. МисЬ о1 СЬе геяС о1 СЫз сЬарСег тч!11 Ье йечоСей Со яСийуш8 оСЬег шеСЬойв 1ог тчЫсЬ СЬе еггог Сепйя Со кего аС а Еввгег гаге ав Ь Сепйв Со зего. Ав ап ехатар1е о1 опе оЕ СЬе арргоасЬев Со яисЬ тпеСЬойя, тче пехС с!!всияв СЬе Неип птейой, тчЫсЬ тв 8!чеп Ьу Ь уз+с — — уз + — Ц(хю уз) + ~(хати уз + Ь1 (хз, уз))). (2.2.19) )с)осе СЬаС тзе Ьаче !ияС гер1асес1 1(хз, уз) ш Еи1ег'я гпеСЬой Ьу ап ачега8е о1 1 еча)иаСед аС Сито й!СГегепС р1асея. ТЫв !в !11ивсгаСей ш Р!8ше 2.4. ТЬе Неип 2.2 011Е-ВТЕР МЕТНУВ шегЬос) 1в а1яо )гпоччп ая а весопо-огоег Капуе-Ки11а тегЬой апй Ьая а 1оса1 йвсгег)гагюп еггог гЬаг 1З 0(Ь2), ая нче на)11 ЗЬочч ЗЬогг1у.
51оРе =У(х„чп Ув+ Ю(хк Уг)) ч- — 8)оре = ачегаяе 31оре = )'(хю ув) х„ Р1ииге 2.4: ТЬе Неии МеГЬо4 ТЬе шовг Гапюыя о1 гЬе Влшбе-Кпгга шегЬой 1в гЬе с!аяв)са1 1оиггЬ-огс)ег ше1Ьоо, я)чеп Ъу Ь уа+г = уа+ — (Рг + 2Гг + 2Рз+ 4'4) 6 (2.2.20) ччЬеге Ь Ь Рг = в(хй,уй), Рг=г ха+,ук+ — Рг Ь Ь хз = У хй +, уй + — гг, Х4 = 1(ха+и уй + Ьхз). 2' 2 Неге гЬе У'(хю ув) ш Еи1ег'в шегЬой Ьая Ьееп гер)асей Ьу а зче16ЬФе<1 ачегаяе о1 у еча)паркес) аг 1оиг с)ЫГегепг ро!пгв. 1С 1в швФгпсс)не 1о с)га4ч ГЬе йииге соггевропйпи Го Р1иыге 2.4; ГЬ)я 1я 1ей Го Ехегсгве 2.2.9.
уае г = уа + Ьф(ха ув ) (2.2.21) 1ог воше вп)гаЬ)е 1ипсг)оп ф. 1п ГЬе саве о1 Еи1ег'в шеГЬой ф )я )ивс у 12ве11, ччЬегеая 1ог гЬе Неип шегЬос) ф(х,у) = 2[)(х,у) +1'(х+ Ь,у+ ЬУ'(х,у))). (2.2.22) Опе-Иер МеФЬог)я 1п Яесг1оп 2.4 4че ий!1 сопвЫег шеГЬос)в Ьаяей оп ивши )п1огшав)оп Ггош рпог вверя во ГЬас уа+1 4ч(11 Ье а 1ппсг)оп поГ оп1у о1 уа Ьис а1во о1 уа апд, регЬаря, оФЬег рпог ча!иев. ТЬе ргевепг весгюп г)еа!в чч11Ь шегЬойв гЬаг йерепй оп1у оп ую БисЬ шегЬоов аге са11ед оие вгер ше1Ьойв апй сап Ье 4чг)ггеп ш гЬе еепега1 1опп 28 СНЛРТКХЕ г ЬКТТХРЕС Хт ПХс ХттХ.4Ь антк тОВЬКМЯ ТЬе ЕошсЬ-огйег Нип~е-Кигга шесЬой (2.2.20) (в а)зо а опе-егер шесЬой, елй сЬе соггевропй!пх Еипсс!оп ф сап Ъе чгг!ссеп ш а шаппег я!ш!1ег со (2.2.22) (все Ехегс!зе 2.2.5).
гог апу опе-егер шесЬос1 (2.2.21), ъче с1ейпе сЬе 1оса1 й!веге!!айаг!оп еггог пс а шаппег апа1овоиз со сЬас Еог Еи1ег'я шесЬой Ьу Х(Ь) = шах (Х(х,Ь)), Х(х,Ь) = — [у(х+Ь) — у(х)] — ф(х,у(х)) (2.2.23) 1 ччЬеге, ацз1п, р(х) !з сЬе ехасс во!ос!оп оЕ гЬе с1Негепс!а! ес!пас!оп. ХЕ, Еог а х!чеп ф, Х(Ь) = 0(Ьв) Еог яоше шге~ег р, сЬеп !с !в ровв1Ые Со вЬои, шкас яи!саЫе аевшпрйопе оп ф елй Е, гЬас сЬе р1оЬа1 й)ясгес)зас!оп естес чч!11 а!яо Ье оЕ огйег р ш Ь: Е(Ь) = шах ~у(хе) — уе~ = 0(Ье).
1<е<ч (2.2.24) ф(х, р) = сг,с (х р) + св,с (х + сгЬ р + сгЬ Е(х р)) ччЬеге чсе чс!зЬ го йесегпипе гЬе сопя!зися сп сг, апс1 сз яо аз го шахшйяе сЬе огйег оЕ сЬе опе-егер шесЬой (2.2.21); сЬас 1в, чче чч!вЬ !Ье Ьевс 1шеаг сошЫпаг!оп, ав йегегш!пей Ъу сг апс1 сз, оЕ счсо ча1иея оЕ Е, апй Ьотч Еаг а1опр сЬе шсегча! сЬе яесопй еча)иа!!оп оЕ Е вЬоиЫ Ье йопе, ая йесегш!пей Ьу сс.
Чсе ехрапй Е ш а Тау1ог зепее )п гччо чапаЫев аЬоиг ФЬе ро)пг (х,у), Г1гвс, ш сЬе х чег1аЫе, чче Ьаче ф = сгУ+ сз(У(х, р+ его) + сгЬ.Е,(х, у+ сгЬЕ) + 0(Ьг)), счЬеге все Ьаче с1епосес1 Е(х, у) вппр1у Ьу Е апй сЬе рап!а! с1епчас!че оЕ Е чч!сЬ геврес! со х Ьу Е . Мех!, ехрапй 1п р и Ьеге а!! рагйа1 йег!ча!1чез яЬосчп аге ТЬе огйег оЕ гЬе шесЬой (2.2.21) !е с1е6пей Со Ье сЬе 1пгееег р !ог МисЬ Х(Ь) = 0(Ь"). ТЫз йейп11!оп оЕ огйег гв а вгагешепС аЬоис СЬе шеСЬой апй аявшпев сЬас сЬе во!ос!оп р оЕ СЬе с11(Еегепс)а! ес!иас!оп Ьвз Ьоипйей йег1час!чев оЕ ви!саЫу Ь(дЬ огйег. Рог ехашр1е, все яЬоъчей сЬас р = 1 Еог Еи1ег'я шесЬой шк1ег сЬе аввигпрсюп (2.2.10), апс1 ТаЫе 2.2 !11ивггасес1 сЬас сЬе еггог йесгеазей Ьу а Еассог оЕ аЬоиг 2 г ччЬеп сЬе веер 1епфЬ Ь ччве Ьа1чес1.
гог а рСЬ огйег шегЬой, сче ехресг !Ье еггог !о йесгеаве Ьу а Еасгог оЕ аЬоиг 2 г ччЬеп чче Ьа1че Ь, ас 1еавс Еог Ь еи!Есс1епс1у вша!1. 11 !в а ге1асЕче1у з!шр1е шассег со яЬосч сЬас сЬе 1оса1 й1всгес!вас!оп епог Еог Неип'в шесЬой !з 0(Ьг), Ьис гЬ!в ай11 Ье а сопвес!иепсе оЕ сЬе Ео11очч!пв пюге телега! апа1уз!в. СопзЫег а Еипсс!оп ф йейпей Ьу 2.2 ОБЕ-ВТЕР МЕТНОВВ 29 еча1паСей аС (х, р): ф = се~+ сД+ с1ЬДр+ 0(Ь~) + ссЬ~х+ 0(Ь~)] (2.2.25) (сз + сз)~ + сссзЬ(Цд + у,) + 0(Ь~). Оп СЬе оСЬег Ьапй, СЬе ехасС во1пгюп р(х) оГ СЬе йоуегепС1а1 ес1паС1оп ваС1з6ев †(р(х + Ь) — р(х)] = р'(х) + зрз(х)Ь + О(Ьз) = у + 4ь ~~ + о(ь') = У+-,'Ь(Ц,+Ь)+О(Ьз). (2.2.26) ТЬеге1оге, (2.2.25) апй (2.2.26) сошЫпе Со у1е1й 1 — (р(х + Ь) — р(х)] — ф(х, р(х)) = (1 сз сз)у + Ь(з егози+ Уз) + 0(Ь ). (2.2.27) 11 чче гецшге СЬаС 1 се+ сз = 11 огсз = (2.2.28) СЬеп СЬе Игвг Сччо Сеппз оГ (2.2.27) чашвЬ Гог апу 7'.
ТЬегеГоге Е(Ь) = 0(Ьз). Могеочег, Ьу саггу)п8 оиС СЬе Тау!ог ехрапсйопз опе шаге Сегш, Ь сап Ье зЬо1чп СЬаС, 1п 8епега1, чче саппоС асЫече Е(Ь) = 0(Ьз) по шаССег ччьаС сЬо1се оГ СЬе сопвгапгв си сз, сз и шайе. Непсе 1че Ьаче — 1р(х+ Ь) — р(х)] — ф(х, р(х)) = 0(Ь~), (2.2,29) С' 7, 7Ь ~щ~~ =СЬ,+Ь 1 — -~У(~ь~~)+-~ ~~~+-Ь,~~'+ — У(~ь~~) и весопй-огйег асспгаге 1ог апу 7 ф О.
ТЬе вреси1 сЬо1се у = 2 81чев СЬе зесопй-огйег Влп8е-КпССа шеСЬой (2.2.19). ТЬе с1ег1чаС1оп о1 Ы8Ьег-огйег Кпп8е-КпССа шеСЬойв, апй ш рагС1сп1аг СЬе ГопгСЬ-огйег шеСЬой (2.2.20), сап ргосеей ш ап апа1о8опв, ЬпС шаге сошр11саСей, шаппег. чгЫсЬ ай11 Ьо1й ччьепечег (2.2.28) и вагийей апс1 СЬе ъайопв г1ейчайчев чге Лаче овей аге Ьоппс1ей. ТЬегеГоге, СЬе шеСЬойв йеИпеаСей Ьу (2.2.28) аге аИ зесопй огйег во СЬаС СЬеге Св поС а пп1ССпе весопй-огйег шеСЬой о1СЫв Суре. 11 чче веС сг = у/2 апй зо1че СЬе С1чо есСпаС1опв оЕ (2.2.28) 1п Сегпи оГ у, ие оЬСаш а ошсооп СЬаС ай11 аЬчаув ваС1згу (2.2.28).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
