Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Могеочег, 1пСегро1аС!оп !в ивеЕи1 Еог арргохппаС!пд СЬе во1иСюп Ьегмееп йгЫ ро1пСв, !Е сйаС вЬоиЫ Ье г!ев1гес1. Нотчечег, ЕС вйои!с1 Ье ро!пСей оиС СЬаС шСегро1аСюп шау Еа!1 Со ргевегче висЬ иеягаЫе ргорегС!ев ав пюпогошсйу апй сопчегиЕСу. 1с !в а пюге сй(йси!С апг! виЬС1е ргоЫеш Со ойоып арргогйшагшд йшсгюпв .Ьаг г(о шашСа!и висЬ ргорегС1ев. Бирр!етепСагу (:)!асимов)оп апг( йеЕегепсеес 2.3 %е а!11 шойсаСе СЬе ргооЕ оЕ СЬе Ьаяс еггог СЬеогегп 2.3.2. Аввшпе СЬаС г ф х, у = О, 1,..., и; оСЬеггг!ве, ЬоСЬ вЫев оЕ (2.3.6) вге вега, апг! СЬе гезий Спч!а11у Сгие. Ь(из, Еог х Ье1и йхег(, тейпе СЬе йгпсС!оп ф(з) = Е(з) — р(з) — д(х)ф(з), хЬеге ф(з) = (з — хо)(з — хг) .
(з — х„), д(х) = Е(х) — р(х) ф(х) 44 СНАРТЕЯ 2 ЙЕТТ1ЖС 1Т КИ': 1Х1Т1АЬ ЪА1Л1Е РЯОВЙЕМБ 1С св с1еаг СЬас ф(х,) = О, с = 0,1,...,п, апс1 ф(х) = 0; Ьепсе ф Ьав аС 1еавс и + 2 д!вс!пес гоосв хо,хс,...,х„,х. 1С Ео11о»в Ьу гереаСед арр1ссасюп оЕ Ко11е'в СЬеогегп СЬас ф' Ьав аС 1евзс п+ 1 д)вс!пес гоосв, ф" Ьав ас 1еазС и сйвСшсс гоосв, апд во оп. 1п рагс!си!аз, ф!"+'! Ьав аС 1еаяс опе гооС з ш СЬе шсегча! враппед Ьу ха,х„...,х„,х. Вис ф!"~ !(з) = /С"+ !(з) — р!"+ !(з) — д(х)ф!"+ 1(з) — /'"'"(з) — (п+1)'.
д(х), вшсе р !в а ро!упопиа! оЕ дейгее п апс1 ф 1в а ро1упопиа1 оЕ дейгее и+1. ТЬив, 0 = ф!"а~)(з) = /("~'!(х) — (о+ 1)! д(х), апс1 во!ч!пй Еог д(х) рчев (2.3.6). Рог ЕигсЬег дзвсиявюп оЕ !псегро1ас!оп, вее, Еог ехашр1е, Упит апд Сгедогу [1990[. ЕХЕВС15Е5 2.3 2.3.1. Сотрисе СЬе ро!упоппа1 р оЕ дерее 2 СЬаС вас!вйев р(0) = О, р(1) = 1, р(2) = 0 Ьу а11 СЬгее тесйодз, сйас !в, Ьу из!пй Ьарапйе ро1упопиа1в, сЬе Чапдеппопде тасгйс, апд СЬе 6!есгсоп гергевепсаС!оп, Сопс1иде СЬаС СЬе ро1упоппа! гв сЬе вате !п а11 СЬгее свеев. 2.3.2. ЧепЕу СЬе Ьоипд (2.3.7).
ТЬеп 1ес Е(х) = вш зх/2, апд 1ес р Ъе СЬе ро1упоппа! оЕЕхегс!ве 2.3.1 СЬас айгеев»4СЬ / ас СЬе рошсв х = 0,1,2. 1!ве (2.3.7) со сотрисе а Ьоипсс Еог [/(х) — р(х)! оп СЬе !псегча! [0,2). Соспраге с1пв Ьоипд сч!СЛ СЬе ассиа1 естог ас ве!ессед рошсв ш СЬе шсегча1, апд !и рагс!си1зг ас х = ~ апд а 2.3,3. р!пд СЬе р!есесч!ве 1шеаг апс1 циадгас!с ЕипсС!опв сЬас айгее» КЬ СЬе Ео1!о»дпй с!все: СопсриСе еггог Лоипдв Еог СЬеве 6шсйопв оп сЬе спсегча! [О, !), аявит!пй СЬаС СЬе 6шсс!оп 1 вас!вйев [1"(з)! < 4, [/а'(з)[ < 10, О < з,< 1.
2.3.4. Ьес 1(х) = в!пх, апд 1ес р апд д Ье с»о ро1упопйаЬ оЕ дерее 3 СЬас ваС!вЕу р(Ь/3) = д(Еа/3) = 1(Еа/3), Еа = О, 1,2,3. Сопсрисе а Ьоипд Еог [р(х) — д(х)! СЬас Ьо!с1в оп СЬе»'Ьо!е шгегча1 [О, Ц. 2.3.3. Рог рчеп уа,..., у„апд ейвсшсс ха,..., х„, !ес р Ье СЬе ро1упопйа! оЕ ссерее п СЬас вассвйев р(х;) = у„с = О,...,и. Яиррове СЬас сче чдвЛ Со»г!Се р ш СЬе Еопп р(х) = сада(х) + . + с„д„(х), счйеге да(х) = 1 апд д,(х) = (х — ха) "(х — х;).
С!че ап а13опСЬсп Еог йпд!пй са,..., с„. 2.4 МЛ,Т1БТЕР МЕТНОРБ 45 2.3.6. р!пй а ро!упопиа! оГ йевгее 3 СЬаС абтеев тт!СЬ Чх аС О, 1,3,4. Сошрате СЬе арртох!шаС!оп р(2) втЬЬ ч'2 = !.414216. 2.3.7. !.ес р Ъе а ро!упош!в! СЬаС ваССв6ев р( — 2) = — 6, р( — 1) = 1, р(0) = 1, р(1) = С, р(2) = 7, р(3) = 26. Ъ'Ьаг сап уои вау аЬоис СЬе т!евтее о! р? 2.4 Ми1ФЫер МеФЬосЬ %е геСитп полн Со СЬе !и!С!а)-ча1ие ргоЫеш у =~(х~у)~ а(х, у(а)=у. (2.4.1) 1п СЬе шест!я оГ Яесгюп 2.2, СЬе ча1ие о1 увл.т йерепоео оп1у оп !пГотшаСюп аС СЬе ргеч4оив ро(пС, хю Н веешв р1аив!Ые СЬаС пюге ассигасу пщЬС Ье да!пес! !! !пГогшаС!оп аС венега1 ргечюив рошгв, хя,хв т,..., чтете ивет(. Ми!С!зСер шеСЬо<Ь до )ияС СЬаС. А 1аг5е апд ЬпроггапС с!авв оГ ши)С(вСер гпеСЬосЬ апвев ттош СЬе Го11овт(пК арргоасЬ.
11 вне !пСераге (2.4.1) Гог СЬе ехасС во!иС!оп у(х) очег СЬе 1пгегча1 (хв, хвл.г), вте Ьаче /йй.~.1 /в'+' у(хвл.т) — у(хя) = / у'(х)с!х = / /(х, у(х))т!х /~1+1 / р(х)йх, (2.4.2) /*'е' увял = уз+ / р(х)Ых. (2,4,3) Аг(агпз-ВавЬСогСЬ МеСЬос(в Ав СЬе вппр1евС ехашр1е, !1 Х = О, СЬеп р 1в СЬе сопвСапС /я апй (2.4.3) !в в!шр1у Еи1ег'в шеСЬот!. 1Г Ат = 1, СЬеп р 1в СЬе 11пеаг СипсС!оп СЬаС !пгетро1агев лЬете ш СЬе 1авС Сетш чте аввише СЬаС р(х) гв а ро1упоппа1 СЬаС арргох1- шаСев /'(х, у(х)).
То оЬСаш СЫв ро1упош!а1, виррове СЬаС, ав ш Бесгюп 2.2, уь ув и..., ув !ч аге арргохппаС1опв Со СЬе зо!иСюп аС хв,хв т,...,хв х, лнЬеге тче аввшпе СЬаС СЬе х; аге еггиа11у врасес( вт(СЬ врас!щ Ь. ТЬеп ~; = /(хо у;), ! = /т, /т — 1,..., Й вЂ” Ат, аге арртох!шаС!опв Со /(х, у(х)) аС хя, хв . хя л/, апй вте СаЬе р Со Ъе СЬе 1пСегро1аС)пд ро1упоппа! Сот СЬе ЙаСа веС (хо/,), ! = й, й — 1,...,/с — Ат. Т1шв р 1в СЬе ро1употша1 оГ с!евсее Ат СЬаС ваС!зйев р(х,) = /и 1 = /г,?т — 1,...,lс — Х.
1п рт(пс!р1е, вте сап !пСе3таСе СЬ!з ро1упопиа! ехр1!сЬ1у Со а!че СЬе шеСЬос1 2.4 МШТ1БТЕР МЕТНОРБ 47 рошСв апй СЬе йе8гее о1 СЬе шсегро1айп8 ро1упот!а1 р. ТЬе 1оппи1ав Ьесоте !псгевя!п81у сотр1ех зв !Ст шсгеавев, Ьис СЬе рг!пс1р1е тв яс!11 СЬе вате. ТЬе Ясагс!пК РгоЫет МиЬСвсер тесЬойв вийег !тот а ргоЫет поС епсоипСегей тч!СЬ опе-вСер теСЬойя. Сопя!йег СЬе 1оигСЬ-огйег Ас1атпз-ВвзЫогсЬ тпесЬос1 о1 (2.4.9). ТЬе !и!С(а1 ча1ие уо гв 8!чеп, Ъис 1ог !с = 0 ш (2.4.9), ш1огтас!оп !в пеейес1 аС х т, х г, апй х я, вЫсЬ с1оевп'С ех1вС. ТЬе ргоЫет гв СЬаС ти)С!яСер теСЬойв пеей "Ье1р" 8есс!п8 вСагсес1. ССте саппос иве (2.4.9) ипС!1 /с > 3, пот сап тче иве (2.4.8) ипт!1 lс > 2.
ТЬе ияиа1 Сает!с 1в Со иве а опе-зсер тесЬой, висЬ ая Нип8е-Киста, о1 СЬе вате огйег о1 ассшасу ипС11 епои8Ь ча1иев Ьаче Ьееп сотприсес1 во СЬаС СЬе ти1С!ясер тесЬос1 1в иваЫе, А1Сегпас1че1у, опе тпау иве а опе-вСер тпеСЬой аС СЬе йгзс вСер, а Ссчо-зсер теСЬой ас СЬе зесопй, апй во оп ипС!! епои8Ь всагС!п8 ча1иев Ьаче Ьееп Ьш1С ир. Нотчечег, Ь !я ипрогтапС СЬаС СЬе всзгс!п8 ча1иев оЬса!пей ш СЫв 1явЫоп Ье ав ассигасе ав СЬове Со Ье ргосЬтсей Ьу СЬе Опа( тесЬос1, апй Н СЬе ясагс!п8 тпесЬойя аге о1 !отчет огйег, сЫв чй11 песевв!Сасе ив!п8 а впта1!ег всер втге апй 8епегагш8 пюге !птеппей!аСе рошСв аС СЬе оисвеС.
ТЬе вате ргоЫетп апзев Н СЬе вСер 1еп8СЬ тв сЬап8ей йит!п8 СЬе са1си1айоп. 11, 1ог ехвтпр1е, аС хт, СЬе вСер 1еп8СЬ тв сЬап8ес1 1гопт 6 Со г, СЬеп тче сч!11 пеей ча1иев о1 у апй 7" ат хя — г, тчЬ!сЬ тче йо поС Ьаче. А8ып, а Нип8е.Киста теСЬой вСагс!п8 аС хя т тг1СЬ вСер 1еп8СЬ -" соиЫ Ье изей. Ап асСтасс!че а1СегпаСЬе 1в Со иве ап !псегро!аС1оп 1огпш1а, Ъис сзге пшвс Ье ехегс1вей Со епвше СЬаС вшсаЫе ассигасу !в тпыпса!пей. 1п 8епега1, Ь !я птсЬ еасйег Со сЬап8е втер-в!ге чйСЬ а опе-втер тпеСЬос1 СЬап тч!СЬ а ти1С!втер птеСЬой.
Айапся-Мои!сои МеСЬойв ТЬе Айатз-ВавЬ1огсЬ тпесЬойв счете оЪсашей Ьу ив!п8 ш1оппасюп а1геайу сотприсес1 ас хя апй ргюг рошСв. 1п ргшс!р1е, тче сап 1опп СЬе !псегро1ас!п8 ро1упопиа! Ьу ив!п8 1опчагс1 рот!я ав тче11. ТЬе я!тр!еяс з!Спас!оп 1я со ияе СЬе ротпСв хт,+т, хя,..., хз тч апй 1опп СЬе !пСегро1аС!пд ро1упоппа1 о1 с1е8гее Х+ 1 СЬас вайвйев р(хс) =,тс, т = Ь + 1, Ь,..., !с — Ат. ТЫв 8епегасев а с1ззв с1 тпеСЬойв 1спотчп ав Айатв-Мои!Сои теСЬойз.
11 Ж = О, СЬеп р тв СЬе 1шеаг .1ипссюп СЬас 1псегро1асев (хя, ~я) апй (хя.тт,~к.ст), апй СЬе соггевропй!п8 ..песЬой !в Ь 2 (2.4.10) гсЬтсЬ тв СЬе яесоий-огйет Айатв-Мои!Сои теМой. 11 Х = 2, СЬеп р !я СЬе сиЫс ро1употЫа1 СЬас 1пСегро1асев (хват,,1я.~т), (хюЯ, (хя-т тя — т)1 апс1 гт г, ~я г); 1п СЫв саяе СЬе соггевропй!п8 тесЬой !в 6 уя+т = уя + — (9тсд+т + 191д — 5,1тс т + Л г), (2.4.11) 24 48 СНАРТЕЯ 2 ЕЕТТЕИС 1Т РЕУ: НЕЕТЕАЙ СсА1ЛУЕ РЯОВЕЕМБ чтЫсЬ и СЬе 1оит(Ь-отйет Айатю-МаиИоп теСЬой. ХоСе СЬаС ш СЬе Еогпш1вв (2.4.10) апд (2.4.11) Ев.(.с и поС 1спосчп, я1псе сче пеей ув.с.с Со еча1иаСе Е(хв.с и уев д) = Ев.~и Ьпс ув~с !в поС уеС 1споип.
Непсе СЬе Ас1апи-Моп1Соп шеСЬодв Йейпе увег оп!у !шрйс!11у. Рог ехашр1е, (2.4.10) 1в геаПу ап ес(паС!оп, Ь ув--с — ув + -У(хи-г,ув+г) + Л 1, (2.4.12) Еог СЬе шйпосчп ча1пе ув~и апй вшп1аг1у Еог (2.4.11). Т1пи СЬе АйапиМоп1(оп шеСЬос1я аге сайей (тр(сс(1, иЬегеав СЬе Айашв-ВавЬЕогСЬ спеСЬойя аге сайед ехрйсй в1псе по ес!па(юп пеес1в Со Ье во1чес1 ш огйег Со оЬСаш ув.с.г, РгесЕ!сСог-СоггесСог МеСЬос)в 1шрйс!С шеСЬос1в аге ивеЕп) Еог во-сайес1 вС(й ес)паС!опв, Со Ье тйяспявес1 !и СЬе пехС яесС(оп. Носчечег, апоСЬег пве оЕ ппр1)сП гпеСЬойв 1в Со сошЬ!пе ап ехрйс1С сч!СЬ ап !шрйс!С Еогпш1а Со Еопп а ртей(с(от-соттес(от те(Ьой. А сошшоп1у пвес1 ргей!сСог-соггесСог гпеСЬод !в СЬе сошЫпаС1оп оЕ СЬе ЕошСЬ- огйег Айашя шеСЬойя (2.4.9) апй (2.4,11): ус+С = ув + (55 Ев — 59,Ев — г + 37,Ев-г — 9Ев — я), (в) 24 (г) (в) ,Ев~г = ,Е(хмс ув с) ув+с = ув + †(9~в.с, + 19~в — 5Л, с + Ев г),.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
