Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2.5.5. Бо1че СЬе ЙНегепсе етСиат!оп У„ет = вУи + Уч — т, Уч = Ут = 1, ш Сеппв о! СЬе гоосв оГ Ьв сЬагассепяс1с е9иайоп. В!всивв СЬе ЬеЬачюг оГ СЬе ветсиепсе [у ) аво — ~ос. 2.5.6. г !п4 а ча1ие оГУт висЬ СЬат СЬс тези!С!пя во1ийоп оГ (2.5.9) тчЬЬ Уч = 1 Сеит!в Со сего ав п Септсв Со шйшсу. Жг!Се а рго5гаш Со саггу оиС (2.5.9) чт!СЬ ут 8гчеп !п СЫв тчау ав тче!1 ав Ьу (2.5.10). В!всияв уоиг геви!св. 2.5.7.
СопвЫег сЬе шесЬот( у„~т = у в+ (45/3)(21т, — У -т + 2У -т), чтЫсЬ !в Кпотчп ав Мт!пе 'в шеСЬо4. Авсегсаш тчЬеСЬег сЫв шесЬод 1в всаЫе аптс всгоп51у всаЫе. 2.5.8. %т!Се а рго8гаш со саггу оыс Еи1ег'в тпесЬод (2.5.27) Гог т(!Суегепс ча1иев оГ Ь ЬосЬ !евв СЬап аптС дгеасег сЬап 0.02. С!всивв уоиг геви!ся. 2.5.9. ТЬе вуясетп у' = х, л' = -100у — 101в !в СЬе йгвс-огт!ег вувсетп ецшча1епс со СЬе весоитс-огтсег етсиас!оп (2.5.31). Ввшя СЬе !пав!а! сопейс1опя у(0) = 2 аптс в(0) = — 2, арр1у Еи1ег'в шесЬот) со СЬ!в вувсеш апт( т(есепшпе ехрегппепса11у Ьочч вша11 СЬе всер ятяе Ь пшвс Ье со ша!псатп вСаЫ11Су, Ассешрс со четку апа1ут!са11у уоиг сопс1ив!оп аЬоиС СЬе в!се о1 Ь.
СЬарФег 3 Р1пп1пд И Потап: Воыпс1агу Ча1ие РгоЫепм 3.1 ТЬе Р1пйе ОИГегепсе МеСгсос1 Гог в 1пеаг РГОЫЕПСВ 1п СЬе ргечюпв вес!!оп сче сопя!г!егег! ш!С!а! ча1пе ргоЫешв Сог оге3пагу гЫегепС!а! егСпаС1опв, 1п папу ргоЫепсв, Ьоженег, СЬеге чч11 Ъе сопг1Ь1опв оп сЬе во!пгюп 3!чеп аг пюге СЬап опе рошС, гог а г3п3!е йгвС огас егСпаС!оп у' = „г(х,у), г!аса ас опе ро!пс согор!есе1у гсесегшгоев сье во1пс1оп во сьас!1 сопЖС!опв аС пюге СЬап опе рошС аге 3!чеп, ейЬег Ь!3Ьег огг!ег егСиаг!опв ог яуягешв оГ есспаС!опя пшяС Ье Сгеагег1. Сопя!г!ег сЬе весопд-огг!ег егспаС!оп ии(х) = г(х, н(х), и'(х)), 0 < х < 1. (3.1.1) Весаиве Ь 1в весопг)-огсСег, впсЬ вп егСпаС!оп гег!шгея «хо асЫ!С!опа! сепг!!с!опв, апй СЬе в!шр!евС рова)Ь!1!Су !в Со ргеясг!Ье СЬе яо1пгюп ча1пея аг СЬе епй-ро!пгв: (3.1.2) и(О) = а, ч(1) = ф Еср1аСюпв (3.1.1) аш1 (3.1.2) г)ейпе а Сгио-ро!иг 6оиийату ча!ие ргоЫеш.
ЪЧе поге СЬаС СЬе гевСпсСюп оГ СЬе 1пгегча1 ш (3,1.1) Со [О, 1] !в по 1овв оГ Зепега1!Су я!псе а ргоЫеп1 оп апу Оп!Се шСегча! шау Ье сопчеггей Со опе оп СЬе шСегча! 'О. 1] (Ехегс!ве 3.1.1). А1СегпаС!не!у, СЬе Го1!осч!п3 г1ече1оргоепС 1в еав!1у йопе ЖгесС1у оп апу Оп!Се !пСегча! (Ехегс1ве 3.1.6). 1Г СЬе СппсС!оп у" оГ (3.1.1) !в поп1шеаг !и е!СЬег и(х) ог и'(х), СЬе Ьоппг1агу га1пе ргоЫеп1 !в иопйпеаг, Моп1шеяг Ьоппйагу ча1пе ргоЫешв яге !пСг!пв1- са11у пюге ййси1С со во1че, апд ее ~ч!11 сопя!С)ег СЬеш !п СЬарСег 5.
1п СЬгв СНАРТЕЯ 3 РП%ИМсс ЕТ РОК'Х сЬаргег нсе Сгеаг оп!у !шеаг ргоЫешв, ш вЫсЬ саяе (3.1.Ц гпау Ье счг!Сгеп !п СЬе Еопп чо(х) = 6(х)ч'(х) + с(х)н(х) + 4(х), 0 < х < 1, (3.1.3) я я 1 = хо+с хо =0 Р!доге 3.1: СггсЕ Роги!в Сйе пояс пеес( Со арргохппаге но(х) !и (3.1.4), апс! сче с!о СЫв Ьу Его!Се 41ЕЕегепсеа Е.ег х, Ье апу !пгепог Ог!сЕ ро!пС апсЕ арргохипаге СЬе Йгег с)ег!чаС!чев аС СЬе ро1пСе х; х г Ьу [н(хс) — н(х; г)) н х; — 3~= Ь ТЬеее ге!аС!опе аге СЬеп овес( Со арргохппаге СЬе весопс1 с(ег1наС!че; о ч (хе+ г) — н (хс — г), ч(хс.с.г) — 2о(хс) + н(хс г) й Ьг (3.1.5) П тче посч риг СЫе арргох1шаС!оп Спго есгиаС!оп (3.1.4) апс! сЕепоге СЬе Еипсг!опя с апсЕ сЕ еча1иагес1 аС хс Ьу сс апсЕ сЕс, гче оЫып — [н(х,ег) — 20(х,) +ч(х, г)[ — с;н(х,) =' Ио с = 1,...,и.
(3.1.6) 1 Ь гчЬеге 6, с, апс) сЕ вге 3!неп Еипсг!опв оЕ х. ТЬе Ьоипс!агу сопсЕ!С!опе СЬас чсе сопвс4ег Есгвг гч!!! Ье (3 1.2); 1агег, ее еЬа11 сгеаС оСЬег Сурея оЕ Ьоипс(агу сопс(1- С!опя. ЕССиаг1опя (3.1.3) апс( (3.1.2) бейпе а 11пеаг гасо-ро!пс Ьоипс)агу-ча1ие ргоЫегп Еог СЬе ип)спогчп ЕипсС1оп о, апсЕ оиг сав1с 1я со с(ене!ор ргосесЕигев Со арргох1шаге СЬе во1игюп. Же чс!11 аввшпе сЬаг СЬе ргоЫеш Ьав а ипа1ие во1иССоп СЬаС Ы аС 1еавС Счго Сипев сопС!опоив!у с1!ЕЕегепс!аЫе. Сне йгеС сопя!сСег СЬе ярес!е1 севе оЕ (3.1.3) ш чсЫсЬ 6(х) га О, во СЬаС СЬе есСиаг!оп ге оо(х) = с(х)ч(х) + сЕ(х), 0 < х < 1. (3.1.4) %е нА11 еееише СЬаС с(х) ) 0 Еог 0 < х < 1; СЫв !в а еиЕЬс!епС сопс(!С!оп Еог СЛе ргоЫеш (3.1.4), (3.1.2) Со Ьане а ип!сСие во1иС!оп. То Ьед!и СЬе пшпепса) во1исюп гне с1!чЫе СЬе !пСегна1 [0,1] шго а пишЬег оЕ ес!иа1 виЬЕпгегна1в оЕ 1еп3СЬ Ь, ав вЬогнп ш Р!3иге 3.1.
Ав ш СЬарСег 2, 1п Г!3иге 3.1 СЬе ро!пСв хс аге се1!есЕ СЬе дпс( ро!пге, ог пес!ее, апс1 Ь 1е СЬе КгЫ врасшК; хо апс! х ег аге СЬе 6оипсЕату ро!пгв, апс1 хп..., х„аге СЬе ЕиГепог дгЫ ро!пге. 3. ! ТНЕ РПч1ТЕ ВП РЕКЕТЕ МЕТНОВ РОК 1ПчЕАК РКОВ1 ЕМБ 69 1 2(егя-1 — 2чя+ и!-1) свив = Ип ! = 1,...,% я2 (3.1.7) ог — чц.г+2и; — эг г+ с;Ь чя — — — Ь 4, г г (3.1.8) 1=1,...,п, чг!1Ь ос = о апд и„~.! = Д. ТЬеп гче сап сопвя1ег ип..., с„!о Ье арргох1- ша!!опв а! 1Ье 8г!6 рошая хп ..,, х„го гЬе во!и!!оп ч оГ СЬе Ьоипг!агу-ча1ие ргоЫегп (3.1.4), (3.1.2).
гче вЬаП гегигп яЬогг!у !о гЬе диеяйоп о! !Ье ассигасу о1 !Ьезе арргох!шаг!опя. ТЬе есиа!!опз (3.1.8) !опп а вуз!егп о1 п Бпеаг ег!иаКопв ш гЬе и ипЬпоччпв яп..., е„апй сап Ье гчг!г!еп ш тпа!пх-чес!ог Гогш ав Ьг,1, +,„ — й ~!г 2+ сгов — 1 — 1 2+ свЬв чг г~в . (3.1,9) Ьг,! Ьвг! ! )3 — 1 2+ с„зг ТЬия, го оЫа!п !Ье арргохппаге яо!и!!оп чп...,и„, яге пеей !о зо!че !Ыв яуяФеш о1 1!пеаг ег!иаз!опв, ТесЬпн!иев 1ог ЬЫя М!! Ье йясивяег1 1п !Ье пехс вес!!оп. ТЬе спейс!еп! пигпх о! (3.1.9) 1п гЬе сазе гЬа! !Ье с; аге а11 зего 1я 2 — 1 — 1 2 (3.1.10) — 1 — 1 2 ТЫв гя ап !шрог!ап! ша!пх жйсЬ аг1вев !и шипу соп!ех!в, аз чче вЬа11 все, Ма!пеев о1 гЬе !опп (3.1.9) ог (3.1.10) аге са!!ег! !гнгКадопа! в!псе оп!у СЬе гЬгее шаш йа8опа!я оЕ !Ье шасг!х Ьаче поп-зего е!ешепгв, Тг!йа8опа! ша!псев апве ш а чапе!у о! аррйсагюпя ш вг!6!!!оп !о СЬе !гчо-ро!и! Ьоиш!яху ча1ие ргоЫешв оГ !Ыя сЬаргег.
'чч'Ьа! тче Ьаче яЬоип во Гаг !в !Ьас И не гер1асе !Ье весопг) 6ег!ча!!чев о1 !Ье зо!и!!оп и Ьу Кп!1е г!!Кегепсе арргохппаКопв ап6 ри! !Ьеве арргохппа!!опв ш!о гЬе г!Негеп!!а! ес!иа!!оп, гче оЫа!и !Ье арргохппа!е ге1а!1опв (3.1,6) 1Ьа! !Ье зо!и!!оп шизс ва!!я1у, чче погч !игп ГЫв ргосейпе агошн1. циррозе ГЛас ие сап Йпг! пшпЬегв сг,...,. я„гЬа! ваКв(у !Ье ес!иа!!опв 7О СНАРТЕЯ 3 Рй|РПХС ГХ ВОИН шах [и, — г(х,)[ 1<|<тт (3.1.11) !в СЬе (д1оЬа!) |Гтясгегтгагтои егтог. ЪЧе по|ч !пй!сисе Ьо» ап апа1ув|в оГ СЬе т1!зсгеС!гаС!оп еггог ргосеетсз, аптс 3!че геяи1ся ш а рагйси1аг саве, Адашт |че геясг1сС оиг аСсеисюп со СЬе ее|пас!оп (3.1.4).
'тче йгвс тейпе СЬе !оса! Йясгессгастои еггог, |п а таипег апа1оКоив Со СЬас Гог 1шС1а1-ча1ие ргоЫетз, Ьу Г (хт Ь) = — [е(х+ Ь) — 2е(х) + е(х — Ь)] — с(х)е(х) — тс(х), (3.1.12) 1 тчйеге е !я СЬе ехасс во!исюп оГ СЬе т)!ГГегепс!ас етСиас!оп (3.1.4) аптс Ь ~в СЬе дгсй ярас!ий. Ву теапв оГ (3.1.4), |че сап гер1асе се+ тГ ш (3.1.12)» !СЬ е" зо сЬас о(х, Ь) = — [е(х+ Ь) — 2е(х) + е(х — Ь)] — и"(х). (3.1.13) ТЬив СЬе 1оса1 йвсгес!гас1оп еггог 1з ]ияс СЬе еггог 1п арргохппассий е". То еяСипаСе СЫв еггог, |че азвише СЬаС е !з Гош С!тттея сопешиоив1у тс!СГегепссаЫе апт! ехраптс е(х + Ь) апт1 е(х — Ь) ш Тау1ог вег1ев. Айег |че со11есс Сети|в (Сйе тсеса!1в оГ |чЫсЬ аге !ей Со Ехегс!зе 3.1.2), »е оЬса!и т.(х, Ь) = — есв>(х)Ьг + 9(Ь4) 9(Ьг) 1 12 (3.1.14) ТЬе ргоЫет поту !в Со ге1асе СЬ!з 1оса1 йвсгейгасюп еггог Со СЬе 31оЬа! еггог (3.1.11). То тсо СЫв |че еча1иасе (3.1.12) аС СЬе дгЫ рошсв хо зес о, = Г,(х„Ь), ап|1 СЬеп зиЬСгасс (3.1.7) Ггот (3.1.12).
БеСС!ий е, = е(х|) — е|, СЬ|я 3!чев 1 тт| = — [е,ч| — 2е;+е; |] — с|е„| =1,",и, ог (2+ с|Ьг)ес — е|+| — е| | — — — Ь~аст т = 1,...,и, (3.1.15) « Ьеге ео = е„ч| = О. 1Г А 1я СЬе соесйс!епс и|а|йх оГ (3.1.9) аптс е аи|1 ст аге чесгогыч!СЬ согиропепгв е|,...,е„ апй тт|,...,тт„, |че сап «тг!Се (3.1.15) ав Ае = — Ьгтг, (3.1.16) ст!всгес1гас1оп Еггог %е пехС сопвИег сЬе ипроггапС тсиезс!оп оГ СЬе еггог 1п СЬе арргохипайопв е|,..., е„. Яшсе СЬе 1|пеаг яуясет (3.1.9) |чЫсЬ т)есегит!пея сЬеве тСиапс1С!ев тч!1! Ъе во!чесс т|тег!са!!у, СЬе сотрисет! е, »т1П Ъе !и еггог Ъесаозе оГ гоипйпй; СЫя»!Б Ье т!!всивветс 1и тоге песа!1 т СЬарсег 4. Рог СЬе ргеве|и»е везшие СЬас СЬе е| аге сотрттгет!» 1СЬ ио топит!!пй еггог во СЬас е|,..., е„!з СЬе ехасс во1иС1оп оГ СЬе зувсе|п (3.1,9).
Ьег е(е,) ада!п Ье СЛе ехасС во1иС1оп оГ СЬе Ьоипйагу-ча1ие ргоЫетп ас х|. ТЬеп, апа1оаоив Со сЬе |1ейшсюп Гог 1и!Ссасча!ие ргоЫетв ш СЬарсег 2, 3.! ТНЕ Р1!сПТЕ 01РРЕЯЕХСЕ МЕТНОО РОЯ 1ЛХЕАК РЯОВЕЕМБ 71 ог, аввипип8 СЬаС А ' ех!вСв, е= — ЬСА 'сг. (3.1.17) ТЫв !я СЬе Ьав!с ге!аС!оивЫр ЬеС«ееп СЬе 81оЬа! выем !оса! сС!яссе!!заС!оп еггогв. !с!иге СЬаС СЬе 8!оЬа! йвсгеС!заС1ои еггогв еи, .,, е„аис! СЬе арргохпиаге во1иСюпв ег,..., е„ваС!яГу яувветв оГ ес!иас1оив «!СЬ ехасС1у сЬе вагпе соейс!епС тасг!х, Ьпс сЫегепС г!8ЬС Ьапс1 вЫев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
