irodov_2 (523134)
Текст из файла
135 В свою очередь, при данном 1 квантовое число и согласно (5.26) может принимать 21 + 1 различных Значений: и =О,+1,+2,..., +1. Энергия Е„электрона (6.4) зависит только от главного квантового числа и. Отсюда следует, что каждому собственному значению Е„(кроме случая и = 1) соответствует несколько собственных функций фп~щу Отличающихся значениями квантовых чисел 1 и и. Это Означает, что электрОн может иметь ОднО и то же значение энерГии, находясь в нескольких различных состояниях. Например, энергией Е2 (п = 2) обладают четыре состояНия: Чвоо 921-1 Ч~21о 721+1 ° Кратность вырождения. Состояния с одинаковой энергией называют вырожденными, а число различных состояний с определенным значением энергии ń— ~~йиносиь® еь~~ожде~~я данноГО энерГетическоГО уровня.
Кратность вырождения и-го уровня водородоподобной системы можно определить, у ~итывая число возможных значений 1 и и. Каждому из и значений квантового числа 1 соответствует 21 + 1 значений и. Поэтому полное число К различных состояний для данноГО и равно Ф = ~(21 + 1) = 1 + 3 + б + -- + (2в — 1) = в2. Следовательно, кратность вырождения и-го энергетического уровня водородоподобных систем равна п2. В действительности, как будет показано в дальнейшем Я 6.3), это число надо удвоить из-за наличия собственного момента (спина) у электрона. Таким образом, кратность вырождения Й-ГО энерГетическоГО уровня (6.9) Символы состояний.
Различные состояния электрона в атоме принято обозначать малыми буквами латинского алфавита в зависимости от значения орбитального квантового числа й (6.10) 136 Принято говорить о з-состояниях (или з-электронах), р-состояниях (или р-электронах) и т. д. Значение ГлаВноГО кВантовоГО числа и указыВают перед символом состояния с данным 1. Например, электрон, имеющий главное квантовое число и = 3 и 1 = 2, обозначают символом ЗШ и т.
д. Выпишем последовательно несколько состояний электрона: (6.11) Зз, Зр, За; Собственные функции уравнения (6.2) представляют собой произведение двух функций, Одна из которых зависит тОлькО от г, а другая — только От углов О и ф: у„д,„(г,О,~р) = В„ЯГ) У~„,(О,у), (6.12) (6. 13) В таблицах (6.1) и (6.2) приведен в качестве примера вид наи- более простых функций В„~(г) и О~~ ~® с точностью до нормиро- НОЧНЫХ МНОЖИТВЛВИ. Таблица 6.2 Таблица 6.1 Здесь р = г/г1, г1 — ооровский радиус (2.24). В соответствии с формулами (6.12) и (6.13) и этими таблицами предстаВим, как ВыГлядит, например, функция ~/з11.' у211 = Аге "~~"' В1пе е'~, где А — нормировочный коэффициент. Где первЫЙ сомно~китель Зависит От квантовых чисел й и 1, ВторОЙ же — От 1 и ш.
Функция У~ (О, у) является собственной функцией оператора квадрата момента импульса М~. Для з-состояний (1 = 0) эта функция является константоЙ, так что ~~-функция вида ~~„рр зависит только от г. Вообще же 137 Распределение плотности вероятности. В квантовой теории нельзя говорить о траекториях электрона в атоме.
Имеет смысл лишь состояние (у-функция) и вероятность местонахождения электрона в том или ином месте в поле ядра. Для наглядности вводят представление об электронном облаке, плотность распределения которого в каждой точке пропорциональна плотности р и ЙР/ЙГ жд р в Й Плотность вероятности местонахождения электрона дается квадратом модуля волновой функции ~ 2 или ЧЧ*.
Ограничим- ся для простоты рассмотрением ОснОВнОГО сОстояния электрона 18 атОма Водорода, которо8 является сферически-симметрич- ным, т. е. 8ГО цГ-функция зависит тОлькО От T: (6. 14) Где с~ = 1/Г1, Г1 — боровский радиус. Вероятность нахождения электрона в объеме ЙГ, как мы знаем, раВна ~ 2ЙГ. Возьмем в качестве элементарного объема ЙГ сферический слой толщиной ЙГ и радиусом г: ЙГ = 4кг2ЙГ.
Тогда вероятность ЙР нахождения 18-электрона в этом слое (6.15) где А — нормировочный коэффициент. ОтсюДЙ плОтность ВероЯтности ЙР/ЙГ, т. е. Вероятность местонахожДениЯ электрона В сферическом слое единичной толщины вблизи радиуса г есть Эту плотность вероятности не следует смешивать с плотностью вероятности ЙР/ЙГ, отнесенной к единице объема вблизи точки с радиусом-вектором г и равной ~ ч! Видно, что (6.16) обращается в нуль при г -+ О и при г ~ ас. Найдем значение Г, при котором (6.16) достигает максимума.
Для этого продифференцируем (6.16) по Г и приравняем нулю полученное выражение (после сокращения на экспоненту). В результате получим наиболее вероятное расстояние электрона От ядра: ложенных в центре остова. При этом ось диполя направлена все время к внешнему электрону. Поэтому движение последнего происходит так, как если бы поле остова, несмотря на искажение р сохранялось сферически-симметричным. Это позволяет представить потенциальную энергию внешнего электрона в поле такого Остова как где С вЂ” некоторая постоянная.
Решение уравнения Шредингера для электрона с потенциальной энергией ~6.18) приводит к тому, что теперь дозволенные значения энергии Е в области Е < О (для связанных состояний внешнего электрона) будут зависеть не только от главного квантового числа и (как в случае атома водорода), но и от орбитального квантового числа й где а~ — ридберговская поправка (или квантовый дефект), зависяЩая от 1.
Заметим, что у лития (см. рис. 6.3) основным состоянием является 28, поскольку состояние с п = 1 уже занято двумя электронами, ВхОдящими В состав Остова. Энергетическому уровню (6.19) соответствует терм, имеющий согласно ~2.30) вид (6.20) Зависимость энергии электрона от орбитального квантового числа 1 является принципиальным отличием уровней энергии атомов Щелочных металЛОВ От уровней энергии атома водорода. Эта зависимость означает, что В Данном случае снимается вырОждение ПО 1 Физически это связано с тему что В атомах ще лочных металлОВ внешний электрон находится В электрическом поле атомного остова. Заряд последнего не точечный, и распределение его несколько отличается От сферически-сим- метричнОГО.
Электрическое поле Остова уже не кулонОВское (не со 1/г2). Благодаря этому и получается зависимость энергии Здесь и — частота испускаемой линии. Спектральная линия главной серии, соответствующая переходу 2з — 2р, является самой интенсивной. Эту линию называют резонансной. Серии (6.22) записаны В символическоЙ форме. В явном виде их записывают кйк разности, двух соответстВующих термОВ. Например, для главной серии лития: И = В В в=2,3,4,... (2+ о,) (и+ о ) (6.23) Аналогично и для других серий.
Заметим, что ридберговские поправки В пределах каждоЙ серии практически постоянные, но меняются От серии к серии. Тонкая структура спектральных линий. Исследование спектральных линий атомов щелочных металлов приборами с большой разрешающеЙ способностью Обнаружило, чтО эти являются двойными (дублетами), т. е. образуют тонкуи струк- ту у. Спектральнь|е линии, состоящие из нескольких компонент, называют мультиплетами. Число компонент в мультиплете различных атомов может быть равно двум (дублеты), трем (триплеты), четырем (квартеты) и т. д. В частности, спектральные линии могут быть и одиночными (синглеты). Тонкая структура, т.
е. расщепление спектральных линий, Очевидноу Вызвана расщеплением самих энергетических урОВ- ней (термов). Вместе с тем, это никак не следует из решения уравнения Шредингера. В чем же причина такого загадочного расщепления~ Ответ нй этот вопрос — В следующем параграфе. 9 6.3. Спин электрона Гипотеза спина. Тонкая структура спектральных линий, т. е. их расщепление, как было сказано В конце предь|дущего параграфа, яВляется следстВием расщепления самих энергетических уровней.
Это был первый экспериментальный факт, побудивший Гаудсмита и Уленбека (1925) выдвинуть гипотезу о наличии у электрона собственного момента, названного слоном. В дальнейшем эта гипотеза была подтверждена и рядом других весьма убедительных экспериментальных фактов. Полный момент импульса электрона. С механическими моментами (орбитальным и спиновым) связаны магнитные моменты.
В результате их взаимодействия происходит сложение моментов — возникает лоллий,л~о~е~~ ~~л~льса эле~л~ройй. Символически это записывают так: М. = М~ + М„где у — кван- ИЪОВОВ ЧИСЛО ВОЛИ,080 МОМОМЖЯ. Правила сложения угловых моментов в квантовой теории не зависят от того, являются ли моменты орбитальными или спиновыми.
Поэтому полный момент электрона М. определяется Формулои, аналогичной Формулам для орбитального и спиново- ГО МОМ8БТОЗу Й ИМОНИО у = 1+о =1+3/2. ~6.26) и=/,1 — 1, у — 2,...,— у, (6. 27) т. е. при данном / возможны 2/ + 1 квантовых состояний, отли- чающихся значениями т~. Например, при 1 = 1 т; = 3/2, 1/2, -1/2, -3/2, ту = 1/2, -1/2. у~ — — 1+ 1/2 = 3/2, уз = 1 — 1/2 = 1/2, Общие результаты. Выпишем собственные значения угловых моментов ~орбитального, спинового и полного) и их проекций на ось Е в одной таблице (табл. 6.3), чтобы обратить внимание на их однотипность и облегчить запоминание.
Таким образом, квантовое число у является полуцелыл, поскольку 1 — целое, причем, если 1 = О, то у = з = 1/2. Кроме того, ~ всегда положительно. В связи со знаками + перед спином з в (6.26) условно принято говорить, что спиновый момент либо «сонаправлен» с орбитальным моментом (знак +), либо они взаимно противоположны «по направлению» ~знак -). Возможные проекции момента (6.26) на ось Е определяются КЗЖ Таблица 6.3 (6.28) (6.29) (6.30) В дальнейшем на эти формулы мы будем неоднократно ссыла- ТЬСЯ. Тонкая структура. Рассмотрим на примере атома лития, как с помощью спина можно объяснить дублетную структуру линий спектра.
Вследствие того, что момент атомного остова равен нулю (см. стр. 142), момент атома лития равен моменту внешнего (валентного) электрона. Момент же этого электрона равен сумме орбитального момента и спинового. Полный момент данного электрона согласно (6.30) определяется кванто- ВЫМ ЧИСЛОМ ~: у =1+ 1/2, где 1 и 1/2 — орбитальное и спиновое квантовые числа. Причем, в случае 1 = 0 квантовое число ~ имеет только одно значение: у = 1/2. Мы уже знаем, что моменты М~ и М, взаимодействуют друг с другом. Энергия этого взаимодействия зависит от взаимной «ориентации ~ орбитального и спинового моментов, что и прик расщеплению энергетическими уровней.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
