teplomassoobmen_Grigoriev (520573), страница 13
Текст из файла (страница 13)
'0,0754 0,765 т 2 г"З 'т 0,84 0,84 Тснловой поток от лымовых пгзоа к вош шт=шн.ма ' Р 1 0,05 1 п. 0,032 ! б ! 2 + + ЗЗ)0 50 70,3 0,84 а1Лазср2 Тепловой поток, врикодзщийся иа едииипу длины трубы, 01 — ()П " ОЗЮ Вт)м. Огнен Ог — — 6200 Вг)м. 2 85 е 50 1,2 Рб Глава трет л НЕСТАЦНОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 3.1. Прелварлтельнью замечания Напомним, па нестационарнвт теплопрсволиыть — юо такой процесс псрсгюса тенлсгы в теле, при шторам темшрвгура иэмсняешв с точением времени. Приведем несколько приьгеров встречвющихсн на практике нествцноиарлых лрсцссссв теплонроаоднссти Нату«аванс нли схлаждевне тю в срсле с шжтоянной тсмпершурой (тсрмообра(ютла изделий, шгоговок и сролукнж нитанпя, отжю. «нрончв, проюеодство стекла и лр.) характериэуетсв сючюсбразным изменением температуры среды, окружающей тело, причем самопроизвольный процесс распространения теплоты в тепе проис«опыт алесь пс тех пор, пока темперюура вс всех его юч«вч не стянет )папой темпещпуре срелы.
Переход от олного стацноюрною температурного поля к друщьгу стационарному вслед»пэпе и»моления шмпературы окружающей среды иаблюлаегся при серехоцнмх режимах рвбпщ1 тепломасссобыенных устройств, в частности, во время их пусю и ось»нова Еше одним примером нестацианарисга процесса теплопровадностн яаляе~ся периодическое изменение температуры в «аплод точке тела иэ-эа юлсбаниа температурм окрупжюшей среды.
Во всех этих примерюг для иакожвеню несшционарнаш температурною пол» в челе с»упит днффереицюльиое уравнение тешюпроволности, в отличие одного случая от другого характсрвэуется напальными и тряпичными условиямн. Д»я решен«» задачи испсльэуипс» мстольг решениИ уравнений с частными проювсдвыми, причем сложнссп. Репгения зависит щ геометрических, фиэическнх, на тэьных п гран« гньш условий Эти метолы (метен Фурье, метал собст»нных функций, метод Дкжмел», метод пресбраэованпя Лагшаса и др.) подробна рассматриваю«с» в (5, 13, 23).
М к с отметить, по проще яг«1п репгаюшя задачи «вхождения слиомсрнсго тсмнературиого поля (безграничная гшасгика, бсскоит гно лапины« цилинлр, пжр) прп сошоянных фили вских свойствах, постоянном коэффацлетпе теплостдвчн и отсутствии тегыссбмена излучением. Именно щкие алычи булуг рассматриваться в этой шаве. Реэульшты, которые =рп этом будут полу юны, с слнай сюровы, «мают самостоятельное практичеавю эиачспие, а с другой — лоэвсляип дос ишачил просит выяснить осиоагвяе закономерности, присущие также иестацноиврпым щюпессам теплапроводности в телах более ьлюкной геометрической формы 90 В этой главе булуг приввцсны решение укатанных выше простат эвдач мюодсм Фурье Кром» юю, здесь такие будут крыто лэюжены численнь1е методы рвотная задач «сегал«оперной теплапрсвслности и пх реалитацни н» юмпьютерах.
3.2. Температурное поле в процессе схлюкдсни» (не«реп»ива) пластины (3.2) Т1 =с )о — =О (.>О) д71 дх ~ (З.З) Х вЂ” ! = а(7'( в — 7' ) (т О). 664) дТ1 д",=ь Цтобы сокр»тень число постоянных в гжвий эадаче, введем киэбытсгиунт температуру Π—. т- Г. и шмепнм Т на О в (3.1) (3.4). Тйгда с )четам тою, что От, — ' Тк — 7'„булем иметь 91 Постановка »»лечи. Пусть имеею» тощая гшастина тщгшивой 26 (рис.
3.1). Зсрмнп шонквя гывспшю оэи»~всц по ее толщина эначительпо меньше лв>х лругих ее иэмерсний. Во всек точках вышины температура олив и та же н равная В мамекг времени, принимаемый эа нлгальный, пластина помещается в»жлюсть с температурой Т отличной ст Тс. Если 1., ' То, и»штина булат охлаждюьсв (если Т > Тс — нагреваться) эв счет геплосбыене между пластиной п жндюстью. Примем. что физические снойства п»астнны (Д а), ксэффициен~ тсплсогдачи а и Т постоянны. Требуется найти температуру как функцию юордииаты х и времени т. Обратим пввманис на то, что «ак»вчальисс, так н граничные у«эсена сграю7тлпвь лл» симметричных опюсптст ип середины (оси) п.истины обш«тей Значи~ решение должна быть симметричной фупкцпей, поэтому лостагсчил рассмотреть решение толькс в об»асти О < х < 6.
Симметрия температурного пол» имеет следствием равенство путно прончаодной температуры лог на сон (» = О). Прк х — 6 задано граничное условие трс~ьего род« Таким сбркэом, дифференциальное уравнение тенлопровсдности, =»- нос грв ше ус»о»и» запишем таш дТ ду (3 1) дт (3.5) до до =о —; де э' О), -О; (3.6) 1 гэ' ~/ г о 0 Р (3. П) — =О; О.7) 001 -2 — ~ = ао) (3.8) 0'ь ой гл — 0; (3.12) (3.14) юелуюшсе транс цеилшп нос (ЗЛ5) юбой безразмерный комплекс (3.! 6) а <е < ...«« ! (3.17) Метал Фурье. Сформулированную задачу моною решить методом Фурье. Этш метод называется также методом развел«ни» персменимх.
Сущность его сштоит в том, что частные решеин» отыскиваются в виде проиэнеленнй лвук функций, »аждая пз «пгорых шяисит от одного ар.уценю. Обшсе решевис находится в виве суммы э па решений. Проювольные постовниые, появляюшнеся в коле решенн», определяются из нмюяьиого и граничных условий. Представление сбшегс рсшени» е виде суммы част нык вытекает иэ линейности и одисролиостн самою ураниения н граничных условий. При этом, если нем!горце функции удовлетворяют уравнению (3.5) н условияи (3.7) и (3.8), то и шсбвх нх линейная юмбинация тшже удоелетяоряст им. Отме~им, по в нашей задаче выра»ения (3.5), (3.7) н (3.8) «вляюзс» л»- «ейными (о — сонэ!, 1,! а = сопы) и от народными Поше»псе легко сбнвр)- жить, ею и записать (3.
7) и (3.8) в вилс до Ло л — — — =О, о„э от 2 до — то=о а дх Ретюние »»дичи методом Фурми Пусть ту — р(х) — функция тюью «осрлннаты, а гр = ц(т) — функци» тОлью времени. В ссответсшни с методом Фурье О = Чг(х)гр(т) (3.9) Еаш фуию!«0 ! с рсомннсм уравнения (3.5), то в резулыатс ее подсганозкн в зто уравнение получим тождеспю оп«ОФ . Разделим иерем«нные в эюм и ждестве: )гу Ж (3.!О) ей Выражение, сгояшие в обеих час ях (3.!0), ие зависят ни ог э, н от т. ,и Де ствительно, леви час~ь не зависит от х, в так «ак это равенство явля.
Ы етс» тождсстюм, то и правая часть его ие можт зависеть ст х. Правая часть раесиспж ис зависит от т, спело»«тельно, н лева» те«же не занисит ст т. Обе части раюиспн рваны о»нему и тому же постоянному числу. Поэтому мсжгю записать причем знак амииус», так же кяк и помпате»ь степени (хвалр»т), осстояигюй Д взяты лля удобства дальнейшей записи. Нз (3Л 1) слелуют юш обыкновенных дифференциальных уравнения )г" Дхр О. (3.13) цтобы эапиапь ренте»ие (3.13), составим хвракгернсгнчесжю уравнение 3+ д'-О, откуда = й, гэ — !д Так «як «ории мнимые, "! Ю вЂ”.
Асов(дг) ! Оз!л(дг), где А и  — лде лроизюльные гюстояггиые. Нз граничною условия (3.8) понучим уравнение: сгб г = а)В1, гле с = )о2 В! — чис.ю Био, прельтевлягошсе (см. б 2.5); В! = аббй Найти «ории 71швнеиня (3.15) можно олннм из чис»еннык методов, известных в математи«е. Вы!не (см. рис, 2.16) по«аюн графи !вский п»жоб пахан»сии» юрней этого уравнения. Видно, по (3.15) имеет бссгюнечипе миазм ство «орией, «вторые могут быль рюпсхожеиы в вине юзрас !аюшей последовшельнссти Згмчеивя первьа юссю юрисй при«елань! в табл, ЗЛ.
Корни е„называются собственными числами; ззхоюму собственному пгюу а ссютветстауег собственюш фуиьцн» Ом мпорую можно шпигшь в виде глс е„й„б; К- х!Ь' - безраэмериах коорднншв. б «ьз$ кр 9 р н на-11шва и — ) —,; 9,4248 О,ОООО (3.18) бф аг — = — — О„бт. б (3 !9) ат ро =— 32 (3.20) (3.3!) (322) 1 ) сок(ечх)сш(е Х)~ а 0 пр$$ п>ш. 4,5615 4,5979 7,6057 7 6647 !ОЛМ1 !О.жм $3,7085 $6,7691 ВЛИВ ! и 8794 СЗЮМ ~ 1695!9 ь,шш тло!г $0,7332 4,6353 7,7259 10.8172 4,$543 7,7573 30,3606 Ю.8871 30 9956 | 139094 !70026 13„9М4 $7,0636 13,998! !7,1093 14!372 172788 4.6658 7,7764 4 7124 ~ 7.8540 95 п О а,оо! 0,002 о,сш о,мм о,ша о,о! о,ог о,оь 0,08 0,1 02 о,э 0,4 0.5 о,ь 0,7 о,а ол С,о 1,5 2,0 зо 4,0 5,0 ьо т,о 0,0 9,0 1О.О 15,0 гол за а ьа,а 500 ю,о ьо,о !ОО О 0.0316 О,Ш47 О,аьзг 0„0774 а,озю 0.6998 опмю 0,1987 Олью олтш а,ззм О 432$ С!5210 0,5932 0,653$ ОЛ5 ! 0,7Яа 0.7930 0,8274 0,3603 02882 $,0769 С,югз 126м Ш$ЗЕ ! „3496 1,3766 $.3978 1,4149 $,4239 \,зш29 $,496$ 1,5202 1,5325 1,5400 ! Зьн $,5М4 1,5шг 1,5708 з.ыю «.ыю З,М22 3.$429 3,!435 3,1441 1, 1448 3,1479 з,змз 1,1606 3, М68 3 1733 52039 з„гзаз 32636 згшз 3,3204 З„Ы77 3.37 и 3.4003 З,бдш з,мю ЗЗИЗЬ 3.$0И 3 9352 4.ОЗЗЬ 4,Н16 4,1746 4 Иьб 4,2694 ь,зож 4.4г55 4.4935 О.гшг 62833 блею атюь 62841 б.маз 6,2шз 6.за 6,2895 6,2Ю7 6,2919 ь,гю! Ь,ЗМ8 6.3505 6,1461 6,3616 6,3 770 6,3923 6,4074 6,4224 ьйзтз О,ЯН7 6,5783 6 7040 ь,вмо 6,9096 б,рн4 тлмо 7,1261 7,!Юб 72281 7,3959 7.49 9,4249 9.4250 9,4252 9,42М 9.4256 О,агм 9,4269 4,4г.ю е,шн 9.4333 9,4354 9,4459 9,4565 9Л670 9,4775 9.4879 94983 9,5087 9Ш99 92ЮЗ 9280! 9,6296 а,тлю 9,3119 9 Ешь 9,9667 10 0339 !азию Ю.15С2 за,юоз Сазюз зази! 12.5Ю4 12,5665 шлббз 12.5667 !глмь ш,лшь 32,5672 зг,мяо !2,5696 !гон! зз,зют испаз 12,5323 и,жог 12„5981 12.МКО !2,6!39 !2,6218 12,62Ю П,6275 Сгбизз гдша! 12„7223 !глпм ю,ашз Ы,шзг и,шьа !3,05М 13.1ИП $3.1660 1ЗЗН42 13407$ 13.5420 !В!ого 15 708 ! 15,7082 Ш2ОЗЗ 15,7085 15,7086 15,7092 15,7Ю5 15,7118 15,7 13 1 !5,7143 152207 15,7270 15.7334 $5.7397 $5,7410 $5,7524 15,7587 15,7650 !5,7713 $5,8026 ю,аззь ш,ашз 15,9536 $6,0107 16,06М !6.$177 $6,1675 162 М7 16 2594 16,М74 $62864 Определим теперь фуикени ф, соответствующие найденным значениям е (ияи $).
Ураввение (3.12) ю» н-й функпии запишем в виде а 2 О'„+ — е„р„= О. б2 " Оно является уравнением с Выделяющимися нерсмсннмми, так зсбк его можно представить в виде Веслом чишю Фурье (безраяьерное ерема): Тогда, интегрируя (3.! 9), полу Саем -к,л $9„= О„с Таяне сбраюм, частиьи решение нишей ъзлачи ияйш$6$, а общее имеет анл О = Х О'„соз(е„л)е :1 гле О„' = Аяб„ Вз шна жнш» услопиь слслует, чго б, = Т' О„(с„Х) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
