teplomassoobmen_Grigoriev (520573), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(3,33) )ВСя накопления юзффиинеитов О„'умножин обе части (3.23) на соз (е Х) ОХ н прашпегрируем ог О ло 1. Можно показан, по тогда после указанного интсгрнрованн» 1 ,1* ач кл ~ (,гх)бх а Введем безрюмсрную таннер«туру Е = О!оп Окончательное резне«ив задачи будет иметь вил е= 8'О„(„л) ( '„р), =г (3.25) где «оэффилиенты 2 нп е„ О„= е„+ егпе созе ле а'е др'с (3.28) (3.29) Е)„о= И де! '- О (Ро«О); ЛХ л., (ЗЗО) дЕ) ЛХ~ '~)х=! (3.31) Х вЂ”. ! Для локазашльства надо оелставить в эги уравнения безразмерные вс. личины а том «иде, шк они слредепеиь. выше. При этом мы придем к (3.5) — (3.8).
Из расслзотрснмя (3.28) — (З.З!) непосредственно слелуст (3.27). Решение, представленное в виде зависимости мшкду безрюмерными величинами, более улобно лдя анализа, чем решение, лн пресбраэояаи- 94 Прежде веста стмешм, что решение нашей з«лечи оказалось представ- .Ф асиным в безрюмериом внле.
И это нь случайна Дело в том, по рспление любой задачи, соответствующей «ашну-лллбо физнчесшму велению, всегда можно преобразовать так, побы оио былю безрюмерным. Объясняется это тем, что физические «аления от выбора сисшмы единиц ие зависят, поэтому если в математпчесшм описании явленвй есть размерные велнчкны, то оии обязательно до»жны с!руоп«резаться а безразмерные комплексы.
Выла шдаш карактеризушся следующими безрвзмерными вс««чин«- ми: Е, Х Го, Вь При этом Š— зависимая переменная, Х Ро — независимые переменные, В( — псстояниак величии» (параметр задачи). Фуиклноаальиучо зависимость между нмми можно записать так: Е - й(Х, Ро, В1). (3,27) Зависимость (3.27) выведена при «на»нас решение (3.25).
Оливке то жс самое можно бьшо бы слопать и ис рсшаа залечу, а лишь щюлсш »не ес математическую псешиоаку е ашразмерном зиле. Легко новазегь, шо исходные уравнения нашей шдачи тождественны следующим уравнениям. иое к безразмерному ниву. Кроме того, если бы мы решали нашу зал му чнсяенью, тс нвм прилшось бы задавать (н прес игывшь) следующие параметры: о, Б, Ос, Л)л. В нредсшвлсвназ залаче существует всею олин безразмерный параметр: число Био. Следовательно, шмиикает прннципиавыло важный вывод о целесообразисспг лредваритшьного преобразования мвтсмати шашго описания уравнений и условий однозначности физического лропесса к безразмерному «гшу. Псобсе значение»го имеет лля тех фюическнх »апач, найти реюснис шторых аналитическими метал«ма затруднительно. Отмеченное обсгоятелытво мы будем иметь в нилу в 8 4.7, где будет шже лаи метод приведения матемаашеского ооислиня процесса к безразмерному шшу.
Рассмотрим теперь частиыс случае решения (3.25). Лтцтые числа Био (Вл -л 0). В шом с.гу шс (см. рис.2.16) е, -+ О, ез — л ж ..., е — л (и — 1)я. 3»писа« О в Внлс ЗлП Е„ 2— Е О„= з!пе со»е 1+ Е„ убслнмс», что О! — л 1, Оз — л О,, О -л О. Из (3.15) слелуег, что при е! -л О а = В( и, тек «ак сов(елХ) -л 1, лл» ш рвоте частного случая приближсн- 2 2 г лое рсгпенне нашей э«цачи будет иметь вид е=е юш (3 32) Анап«з показынает, что ушювие 01 — л 0 при«тически выпоаняется, если В) < 0,1.
Характерна» особенность первш.о честного случш: температура и» та. висит ог коорлвнат, в является только функцией времени (рис. 3.2). Бшыкш чисел Б«о (В) -л го) В этом с.!учае и Зя (2п — 1)Я 2'2 2' Коэффициенты О„при этом определяются ~ю формуле 4(-Ц * О я(2 1) Характерная оссбсиигюп второго а шнош случшс безразмерная темпеРатУРа Иа ЛОВЕРХНССГИ Гнаетпим Е!2.„! =. О, Н, СЛЕДОаатЕЛЬИО, 71, л — Т . епп глучай нв пракпгке сост»стет«уст высо«оннзьисивном> охлажзюиию тела (а -л ). При а -л со раненство зсмоератур поверхности нлашины 97 г ылт ' г'юн е ш в Г».З.Э.Т о эе ы Ь и жндюстн слелует тмоке нэ зашив Пыстона — Рихмана Рсш! е решени» отбросить все члены рял», «розге первого. то 2 В 4,(~~Х) (- эт Гс~, откупа г клу г. что тсыперлгурззыс крнвыс в та«ис моменты времени, жала Го э О,З Вючсму -- еб шом будет сказана ниже), описываются законом юсннуса (рис 3.3).
)божие показать, что условие В! — э ' * практически выполняется, конга В! ' 100 Из граничного условии (3.31) сшзпсг, что (ч~ Ю~ В В ю же время ФФ = Хо У ипыеюя гссмецэический смысл проиэвпднсй, иолу жем Х, '- 1?В( О шюда следует важное свойспю касательных, проведенных к тем пературным кривым в точке Л" — — 1. Все касшеюньк перосекают ось Х в одной ул О «Е А (СМ. РИС. 239), КСОРЛИНата ОЮРОй РаяиаХо ! 1. ПОСКОЛЬКУ Каеа~ельные «ск бы кнвпраалязапг температурные «ривые, эту точку мозкно паза. ть иаправлянллей. Очевидно, что рассмотренные вызов частные случаи ссот.с ~ву«пХс-ч »Хс-гО. Таким образом, анализ ппказынаег, что от числа Био существеняо за»и. снт вил темпсршурною ноля, Число Вио играет рыть безрсзмерного парамшрв, олрслелякялего характер распредевення теылературы в теле в пропсссе сга охлаждения иаи негр«вани».
Этат вьлюл мы получили из рагсиотреии» иестапионарной тсплопровоннасти пластины, но он справедлив и лля тела произвольной формы. Чисао Био можно тра«зеваю юк отношение внутреннего термическою сопрспиюения к внешнему, носком,ку можно юписать бг й В! = —. а Тоша пластину, ижора» симжаается при В( — ! О, можно назють стсрмнчески пшкой», а г~ри В~ -э ' -- »термически толстсйж Вернемся к (3.25). Сколью же членов ряда надо брать ш~я шсчипюния сумыы ряда лри нахожнвигш В? Ответ нв этот вопрос юнион ~ ог значения Го. Анализ показывает, что при Ро > 0,3 ряд очень быецю скопится и первый член ею м!юю бгшьюе суммы всех остальных. При этом В = О!сю(с!Х)шр(-с!Рс). 2. (3Д3) Как вилис из (3.33), температура В ео всех тчках тыча нзмснно ш» с тс"зснием времени гю злюку экспоненты. Ести Го -03, орикелипв учитывазь и пру!не шаны ряла, причем их числа тем бозжшс, гсм мсныю Го.
При малых числах Фурьс (Го << 1), т.е. в начальный период охлаждения о»ногины, юыенеиие темосратэры происхоллт толью в пределах тоню!о ловсркнсстного слоя бп а в осишьной части ~шастииы Г . Тс. При зюм то!линна пластины б прн условии, что б» бо не гп расг никакой (юлк в пронское охжскдсння, а вмсше с тем должен нтысннп;сявилзавис мое н(13?), .ккя фюич с р еню! ло.кв аниссть от б, а Х Гс, В( зависят от б. Переменные Х и Го ьюжно еюмбнпнровать таким образом, чгебэг» параыетр б вс геэ Такой юмбивалисй буде~ Ч = ЛУ /Го = з У „?от. (3.34) более детально ншальный периса охлюкнения ля«стивы булег проанализирован нные (см. б 3.3). Определим кони !сеню животы, перепл»асино от еюастины к жидкости ьо »рема ее охлаждения.
Рапшть згу зв«ачу можно, поьсчгпвв изменение В этих ураввентм» Т вЂ” Т вЂ” к= —; то-т ' гсг г'"а В( = —. 2 ' О В= — = Ос сг Ро = —; 11 "о а = .(г — т) (ЭЗП ' (3.43) (Эдб) 'г (ЭЗ7) )' Пс. = Па- (г = (га. (1 В) е -го ОП В( Эг(Е)* (3.44) (345) г -4,5 О = Огдг(е1Д)е (3.47) (Э э 9) (3.40) В(г.-о= ': (3.41) эт (3.42) 1ОО 101 энтальпна пластины за лапино гпреюк времени. Эа вгс нрсмя охлаждения: пластины от т =- 0 ло.
— - «олишспю тегыаты, перелаивае жидкости, гве я —. масса шюс тины. Вели Т --средняя т«мперюура пластины в момент времени т, то эа отрезок аремсип (т, 'а) передапиа* ааэвчеапю теплоты П, =мс(т-т ). Зв данный отрезок времени (О, т) Ше  — срелюя безршмерная температура пластины в момент эрсьгени т, -,*. каторач, напргыер прн Ра > 0,3 находится ну~ем интегрирования (3.25), г.е.
г!., г г О,,Г. В =)Оду= — нле1е (Э.ЭЭ) с 1 Ошегнм, чта формула (3.37) спрааедчиаа и лля працеаса нагревания '>( с гой лишь рювнцей, чта при >там н скобшк (3.35) надо поменять знаки. Приэшв:иный способ расчета количества теплоты справедлив да» теэ лю-:г бой геометрической формы. 3.3. тсмцервтурнае пшю в «рацессе оклюкасин» (нагрююния) бесконечно длинного цнлвндра, шара и незюторьш тел кснечиьш рвзмерав Бесконечно длинный цгигинэр. Псстюювка залачн лля бссюисчно ' длинного цю нндрэ вначогн пга дредылушяй, толью вместо б возьмем радиус пилинлрэ гь.
Диффюрснциаяыюе уравнение тепдсприалпсстн, на- .„ чальное н грани шые условия запишем э безрээмсрньж перемепиых1 — =О (ро>О); дВ1 ДЛ1 -с — = — ВВ) (Ро>О). Л=г Репшя згу задачу металлы Фурье, получаем „'ь (1 = Х О,г(е(е„й)е н=г В (3,43) у (е„й) —. функция Бесселя осрэош ролэ нулевого парялг а. числа е„яаяяюгса корнями ягааеенпа ~де 31(Е) — функции Бессюгл первою ропе гарэагс порядка, гтричем .Гсоф = ~Ф). Вил функций уо(х) и.)1(х) показан иа рис. 7.4.
0)есгь нервы, корней уравнен ш (3.44) приведены в табл. 3.2. Кпзффицяенты О„апрелелюотся по формуле Ое = 231(е„) (Э.4б) г (.гг(е„)+.11(е„)) При Го > 0,25 решение упрошытся аншапшно «лучвю, рассмотренному лл» ш|астнны. Тогда а,э Р .5.4.ГР о «Ь эГ ы Апг "ггы) г ю„, 13 ыз, т ° з,из 2!из """ зеп в 0,5399 0,5202 0,4971 04ЮВ ($1 16,4706 О.оты с,июо ао аю О,О 0,0625 2,4 аюю ОД995 Ю,ПЗ3 Ю,1745 10,3754 Ю,3774 зо,!ты за,!вп 9975 $32217 13,32Ы птып П,3267 15,2282 1З.ЭЗЮ 13,3312 !З,ЗЗ49 0,0484 76 2,5 юдпг !Опзь 16,47!1 16,4743 $6.4755 -оюьв и 13 а,ибз ,9776 0,1424 О,изб 0,19Ю ОЛОЯ -0,$050 0,2243 2,6 О,ЫП атюи О,ЗЗЯ 29 дпо -Огбю одет! 0.3202 О,ЗЗОН О ЗЬ80 0„4059 О,иао ,8812 2,1 ,ВИЭ ПЗ387 13,3462 13,3537 ззгьц ы,збю о,гбп ,8075 Оггю О,ПЮ ,7652 0,4709 Сгюб агсв 35 з.ь 39 4,$ 4,! 4.2 с,ювз ,67 И 0,0955 а,3910 -0,3992 а,югб 0,5229 огеп 6203 1,0873 1,1499 !гив 1,2558 1,4569 4 СОЫ 4,С!25 4,0562 7,1И1 7 П82 7.И21 7,1551 7,2233 т,7юб С;О4З3 5669 а,о по 0,55 9 ,5113 -0,0272 О.абы -о.юзз -огз8ь 0„4038 4.0795 4.
зюг $,2910 4Л634 0,5699 ,4554 -0,3971 -О,ЗИ7 О 5773 1 5594 1 7Ю7 1,9031 1,9898 г,оюа г.ооэт г,паь а,зап 0,5П2 Ог767 7.4103 7,5201 7.6177 7,7039 -о,ззю 0,2318 1.9 4 3 0,$619 1 0.1719 4,4 ~ -О З47З ! -0.2иб ! 4„7 ~ 0,3205 ~ -02311 4,601$ 4,7131 4,8ОЗ1 4,8772 4,9ЗВ4 4,9897 5,СЗЗ2 5,1773 5.2568 5.ИЮ 5.33М а,ызс 0 1666 ~ 9 5633 ОПО4 ! О МО 7,7797 7,И64 7.9051 7,9569 8,1427 еюзб в,зтл 2,1564 2,1795 2 2109 ггюс г,з2ы (3 ю) П,1367 !1,2677 11,4221 Пгбаз $1.5621 П,5990 2.3М5 2,3572 2,365$ ?, 1750 г.зии 2,4048 в,изг 8.4ИО 8,5пб о,ыьь $,6537 31,646! Н.6747 зог юз а,а с„с 0,1 01 О,Ю 0,3 0,4 од а,бо а,ю О.то а,зо з,а 1,4 г,а з,а 4.0 1а Ь.о т.а г,а 9.0 !ко 15.0 го,а зс,с еа,а ю,а со,а Ю,О 1Ю,О 1О,ОПЗ за„пю Ю,ПЗ1 10,2029 10,2127 шыи зсгзы загбп 10.2117 10,2613 заг.
л! 0,13И !огиз !Оьмб 1О,Я21 10.6223 зсьоа4 10,7646 $0,3271 10 пп 10.9 ИЗ П,3761 13,3335 13,1910 13.3юе П,4З4З 13.4719 И,5434 13,6125 $3,67И 13,74 И П,зааб 13,$1И зз,ииа 13 9580 И. ! 576 И 2983 14Л743 14,5774 и,изз 14 6889 и,мтт 164767 16Ф97 Ю,4823 16 4338 16.4949 ю,та!О 16,5070 Ю,5131 16,519 1 16.5251 $6,5312 16,5612 16,5й О 16,6499 16,7073 16,7630 16 6168 16,8684 16,9 П9 $6,9650 17,0099 П,лаз 17,3442 17 5348 17 Юаз 17,7272 17,7Ю7 П,алд 17 8931 13 07И В юстном случае В1 — $ О (срскгичсски Вз < 0,1) .тюк При В! †! (озиктически Вз> $00) В = Х го(к„Д)е (3.49) сюз, (к„) Для вычисления тсмосратуры в цилиндре следует сосвюьэаиатьс» таблицами функций Бесселя (табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
