Васюков В.Н. - Теория электрическо связи - Часть 3. Теория информации и теория помехоустойчивости (1275348), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

12.При подаче на вход 1 короткого импульса (в идеале – δ -функции) навход ФНЧ поступают с интервалом, обусловленным конструкцией линии задержки, такие же импульсы с амплитудами, определяемыми коэффициентами усиления a1 , a2 , … an . Тогда на выходе ФНЧ формируется сигнал, равный взвешенной сумме функций, получаемы сдвигами импульсной характеристики ФНЧ.

В частности, если ФНЧ является идеальным с П-образнойКЧХ, то его импульсная характеристика имеет вид59sin[2π Fв (t − k ∆t )],2π Fв (t − k ∆t )а отклик устройства на короткий импульс, поданный на вход 1, представляетсобой конечную сумму ряда Котельниковаn sin[2π F (t − k ∆t )]в,s (t ) = ∑π2F(t−k∆t)вk =1аппроксимирующую сигнал s (t ) требуемого вида. Нетрудно видеть, что есликороткий импульс подать на вход 2, то отклик будет представлять собой зеркальную копию сигнала s (τ и − t ) . Коэффициенты a1 , a2 , … an представляютсобой отсчеты сигнала s (t ) с шагом, определяемым верхней частотой спектра сигнала.y(t )ЛЗО∆t2∆tn∆ ta2a1∑anr (t )∑ФНЧS€( t )Рис.

12. Согласованный фильтр на основе линии задержки с отводами.На практике в качестве линий задержки с отводами применяют интегральные устройства с использованием поверхностных акустических волн(ПАВ).Очевидно, форма сигнала на выходе согласованного фильтра отличается от формы сигнала на его входе. Это естественно, так как назначение согласованного фильтра состоит в вычислении корреляционного интеграла длянаиболее надежного принятия решения о наличии или отсутствии сигнала навходе приемника. Иными словами, согласованный фильтр должен обеспечи11Очень важно понимать, что здесь имеется в виду значение напряжения на выходе фильтра60вать максимальное отношение сигнал/шум в момент времени t0 .

Убедимся,что это действительно так при условии, что входной шум является белымстационарным процессом с нулевым средним.Пусть на вход фильтра воздействует процесс y (t ) = s (t ) + ξ (t ) , где ξ (t )– белый стационарный шум с нулевым средним, тогда сигнальная составляющая выходного процессаt0uc (t0 ) = ∫ s (τ )h(t0 − τ )dτ ,0а шумовая составляющаяt0uш (t0 ) = ∫ ξ (τ )h(t0 − τ )dτ .0t0Так как ξ (t ) = 0 , то uш (t0 ) = ∫ ξ (τ )h(t0 − τ )dτ = 0 , поэтому дисперсия0шумовой составляющей выходного процесса равна среднему квадрату, а поскольку ξ (t ) – белый шум, то22σш= uш(t0 ) ==t0 t0∫ ∫ ξ (τ1)ξ (τ 2 )h(t0 − τ1)h(t0 − τ 2 )dτ1dτ 2 =00=t0 t0N0∫ ∫ 2 δ (τ1 − τ 2 )h(t0 − τ1)h(t0 − τ 2 )dτ1dτ 2 =00tN 0N= 0 ∫ h 2 (t0 − τ )dτ = 0 Eh ,2 02где Eh – энергия импульсной характеристики.Отношение сигнал/шум по мощности в момент отсчета составляет612uс2 (t0 )q==N 0 Eh22t0∫ s(τ )h(t0 − τ )dτ0.N 0 EhЗаметим, что согласно неравенству Буняковского – Шварца2t0t0t02∫ s(τ )h(t0 − τ )dτ ≤ ∫ s (τ )dτ ⋅ ∫ h (t0 − τ )dτ0200и равенство достигается лишь тогда, когда h(t ) = As (t0 − t ) при произвольномкоэффициенте A .

Таким образом, в момент t0 среди всех ЛИС-цепей согласованный фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал /шум на выходе. Умножение импульсной характеристики на коэффициент A не влияетна отношение сигнал/шум (почему?).12.5. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приёмаНапомним, что по определению В.А. Котельникова потенциальной помехоустойчивостью называется максимум вероятности правильного решения, достижимый при заданных условиях приема сигналов на фоне помех(шумов). Определим потенциальную помехоустойчивость приема двух сигналов известной формы на фоне белого гауссовского шума при равных априорных вероятностях сигналов.Алгоритм принятия решения в приемнике, реализующем критериймаксимального правдоподобия имеет вид1τ>τ∫ y (t ) s1(t )dt − 0,5E1 ∫ y (t ) s2 (t )dt − 0,5E2 .< 000Это выражение можно привести к виду1τ>∫ y (t )[ s1(t ) − s0 (t )]dt 0,5( E1 − E0 ) .<0062Ошибки при приеме состоят в том, что при передаче первого сигналапринимается решение о приеме второго и наоборот.

Учитывая, что гауссовораспределение симметрично и априорные вероятности равны, легко видеть,что суммарная (средняя) вероятность ошибки равна любой из условных вероятностей ошибок (убедитесь в этом!).Найдем условную вероятность ошибки, то есть вероятность события,заключающегося в принятии решения о наличии сигнала s0 (t ) при условии,что в наблюдаемом колебании присутствует сигнал s1(t ) . Это событие соответствует выполнению неравенстваτ∫ [ s1(t ) + ξ (t )][ s1(t ) − s0 (t )]dt < 0,5( E1 − E0 )0которое можно переписать в видеτττ0002∫ s1 (t )dt + ∫ ξ (t )][ s1(t ) − s0 (t )]dt − ∫ s1(t ) s0 (t )]dt <ττ< 0,5 ∫ s12 (t )dt − 0,5 ∫ s02 (t )dt .00Проведя очевидные преобразования, получимττ002∫ ξ (t )][ s1(t ) − s0 (t )]dt < −0,5∫ [ s1(t ) − s0 (t )] dt .(19)Левая часть неравенства представляет собой случайную величину (таккак это интеграл по времени от случайного процесса ξ (t ) с весом, равнымразности сигналов s∆ (t ) = [ s1(t ) − s0 (t )] ) имеющую нормальное распределение (поскольку процесс ξ (t ) гауссов) с нулевым средним (очевидно); обозначим её ν и найдем её средний квадрат, равный дисперсии:2ττDν = ν = ∫ ∫ ξ (t1)ξ (t2 )s∆ (t1) s∆ (t2 )dt1dt2 =0063=N0 τ τN0 τ 2δ(t−t)s(t)s(t)dtdt=∫ ∫ 1 2 ∆ 1 ∆ 2 1 2 2 ∫ s∆ (t )dt = 0,5 N0 E∆ .2 000(20)Вероятность выполнения неравенства (19) – это, очевидно, вероятностьтого, что нормальная случайная величина с нулевым средним и дисперсией0,5N 0 E∆ принимает значение меньше, чем −0,5E∆ .

Эта вероятность равнаp10 =−0,5 E∆1−∞2π Dν∫−ν2e 2 Dν dν =∞1∫ 2παt2e 2 dt ,−где t = −ν / Dν – центрированная нормальная случайная величина с единичной дисперсией, а α = 0,5 E∆ / Dν – положительное число. Очевидно, p10зависит только от α = 0,5 E∆ / Dν =E∆, поэтому можно ввести функцию2 N02Q( x) =гдеΦ ( x) = E∆p10 = Q  2 N0x1∫2π −∞t2e 2 dt−12π–∞ −t∫ e 2 dt = 1 − Φ ( x)xинтегралвероятности,изаписать.Таким образом, условная вероятность ошибки, равная средней вероятности ошибки при когерентном приеме сигналов на фоне белого шума, определяется энергией разностного сигнала s∆ (t ) и спектральной плотностьюмощности шума N 0 .Рассмотрим потенциальную помехоустойчивость двоичного когерентного приемника максимального правдоподобия для различных способов модуляции, считая, что энергия сигнала E фиксирована.1. Амплитудная телеграфия с пассивной паузой.64В этом случае s0 (t ) = 0 и энергия разностного сигнала равна E (нормаE ), рис.

13, а. Следовательно, потенциальная помехоустойчивостьравнаопределяется средней вероятностью ошибки E АТ-ПП= Qpош.N20S1ES0S0ES1ES1S0Рис. 13. Помехоустойчивость приема двух сигналов2. Частотная телеграфия с ортогональными сигналами.Два сигнала представляют собой радиоимпульсы одинаковой формы сразличными несущими частотами, так, что сигналы взаимно ортогональны,рис. 13, б.

Энергия разностного сигнала равна 2E , а средняя вероятностьошибки EЧТ= Qpош N0.Повышение потенциальной помехоустойчивости при переходе от АТПП к частотной телеграфии представляется естественным, так как во второмслучае вдвое возрастает суммарная мощность передатчика. Однако средняявероятность ошибки может быть дополнительно понижена без увеличениямощности передатчика, если перейти к взаимно обратным сигналам.3. Фазовая телеграфия с манипуляцией фазы на 180°.В случае фазовой телеграфии с взаимно обратными сигналами,рис. 13, в энергия разностного сигнала составляет 4E , средняя вероятностьошибки равна65 2E ФТ= Qpош N0 и дальнейшее повышение потенциальной помехоустойчивости за счет выбора сигналов при заданной энергии, очевидно, невозможно.Заметим, что если используются три сигнала одинаковой энергии, тодля достижения максимальной помехоустойчивости они должны иметь взаимный фазовый сдвиг 120°, то есть соответствующие сигналам точки должны располагаться на окружности радиусаE в вершинах равностороннеготреугольника, рис.

13, г. Если сигналов четыре, то оптимальным является ихразмещение в вершинах правильного тетраэдра, вписанного в сферу радиусаE . В общем случае оптимальный выбор системы из n сигналов соответствует их расположению в вершинах правильного (n − 1) -мерного симплекса,вписанного в (n − 1) -мерную сферу12.12.6.

Некогерентный приёмНа практике иногда не удается обеспечить условия для когерентногоприема сигналов, так как один или несколько параметров принимаемого сигнала оказываются неизвестными. Такая ситуация типична, например, в системах спутниковой связи, радиосвязи с подвижными объектами, и т.п., поскольку расстояние между передатчиком и приемником изменяется случайным образом. Это приводит, в частности, к тому, что меняется начальная фаза несущего колебания. Если изменение происходит настолько медленно, чтососедние посылки имеют практически одинаковую начальную фазу, то ееможно оценить и оценку использовать вместо точного значения при организации приема.

Такой прием называют квазикогерентным. Если же начальнаяфаза изменяется (флюктуирует) быстро или устройство оценивания оказывается слишком сложным, тогда рассматривается задача приема сигнала сослучайной начальной фазой или некогерентного приема.12Отрезок, треугольник и тетраэдр являются одномерным, двумерным и трехмерным симплексами.66Перепишем выражение (17) для логарифма отношения правдоподобияпри приеме сигнала s (t ) :2 τ1 τ 2ln Λ =∫ y (t ) s(t )dt − N ∫ s (t )dt .N0 000(21)Сигнал при некогерентном приеме известен с точностью до начальнойфазы. поэтому обозначим его s (t ,φ ) и запишем{}s (t ,φ ) = Re s(t )e− jφ .В этом выражении неизвестная начальная фаза сигнала представленакомплексным фазовым множителем e− jφ при аналитическом комплексномсигнале s(t ) , который определяется выражениемs(t ) = s (t ) + js (t ) ,где вещественная и мнимая части связаны парой преобразований Гильберта1 ∞ s (τ )s (t ) = ∫dτ ,π −∞ t − τ1 ∞ s (τ )s (t ) = ∫dτ .π −∞ τ − tТогда, очевидно,s (t ,φ ) = Re{[ s (t ) + js (t ) ][ cos φ − j sin φ ]} = s (t )cosφ + s (t )sin φ .Корреляционный интеграл в выражении (21) в таком случае приобретает видτττ000∫ y (t ) s(t ,φ )dt = ∫ y (t ) s(t )cos φ dt + ∫ y (t ) s (t )sin φ dt =τ= Re  ∫ y (t ) [ s (t ) + js (t ) ][ cos φ − j sin φ ] dt  =067τ − jφ τ− jφ = Re  ∫ y (t ) s (t )e dt  = Re ey(t)s(t)dt=∫00{}{}= Re e− jφV = Re e− jφVe− jψ .(22)В полученном выражении фигурирует комплексная величина V ,имеющая смысл корреляционного интеграла для аналитического сигналаs(t ) :τττ000V = ∫ y (t ) s(t )dt = ∫ y (t ) s(t ) dt + j ∫ y (t ) s (t )dt ,где, очевидно,22τ τV =  ∫ y (t ) s (t )dt  +  ∫ y (t ) s (t )dt  ; 0 0τ∫ y (t ) s (t )dtψ = −arctg τ0.∫ y (t ) s(t )dt0Корреляционный интеграл согласно (22) можно переписать в видеτ∫ y (t ) s(t ,φ )dt = V cos(ψ + φ ) ,0тогда логарифм отношения правдоподобияln Λ =21V cos(ψ + φ ) −E,N0N0а само отношение правдоподобия21V cos(ψ +φ ) −EN0N0Λ=ee.68Считая, что начальная фаза сигнала является случайной величиной,имеющей равномерное в интервале (0,2π ) распределение, выполним усреднение отношения правдоподобия по ансамблю:Λ=e−E2Vcos(ψ +φ )2πN0 1N0∫e2π 0dφ .Учтем известное соотношение1 2π a cos(ψ +φ )dφ = I 0 ( a ) ,∫e2π 0где I 0 (a ) – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, тогдаΛ=e−EN0 2V I0 .N 0Правило некогерентного приема сигнала со случайной равновероятнойначальной фазой на фоне гауссовского шума должно быть основано на сравнении величины Λ с некоторым порогом, а правило различения двух сигналов – на сравнении двух отношений правдоподобия между собой.

Предположим, что рассматривается прием двух сигналов s1(t ) и s0 (t ) . Сравнение усредненных отношений правдоподобия можно заменить сравнением их логарифмов1 2V  E > 2V  Eln I 0  1  − 1 ln I 0  0  − 0 , N0  N0 < N0  N00или сравнением с порогом разности логарифмов1 2V  2V  > E1 − E0.ln I 0  1  − ln I 0  0 NNN<000069Алгоритм сильно упрощается, если энергии сигналов равны, в этомслучае в силу монотонности функции I 0 можно сравнивать между собой величины V1 и V0 :1>V1 V0 .<0Структурная схема корреляционного приемника, реализующего этоправило, показана на рис. 14.

Характеристики

Список файлов книги