Васюков В.Н. - Теория электрическо связи - Часть 3. Теория информации и теория помехоустойчивости (1275348), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Иначе говоря,сравнению подлежат функции w ( y | H 0 ) и w ( y | H1 ) , умноженные на соот50ветствующие априорные вероятности. Правило принятия решения в такомприёмнике можно записать в формеp1w ( y | H1 )p w ( y | H1 )> 1 → "1"; 1≤ 1 → "0 ".p0 w ( y | H 0 )p0 w ( y | H 0 )Используя понятие отношения правдоподобия, можно записать правило в видеpΛ( y ) > 0 → "1" , Λ( y ) ≤p1p0→ "0" ,p1при этом отношение правдоподобия сравнивается с пороговым значением,зависящим от априорных вероятностей.Наконец, в случае байесовского критерия решение принимается поправилуΠ10 p1w ( y | H1 )Π p w ( y | H1 )> 1 → "1"; 10 1≤ 1 → "0 " ,Π 01 p0 w ( y | H 0 )Π 01 p0 w ( y | H 0 )илиp ΠΛ( y ) > 0 01 → "1" , Λ( y ) ≤p1Π10p0Π 01→ "0" ,p1Π10Итак, во всех случаях оптимальный приёмник (демодулятор, или решающее устройство) «устроен одинаково»: для наблюдаемого значения y ,зависящего от принятой реализации z (t ) , вычисляется значение отношенияправдоподобия, которое сравнивается с порогом; порог равенp0Π 01дляp1Π10приемника, оптимального в смысле критерия минимума среднего риска,p0 / p1 для идеального приёмника Котельникова и 1 для приёмника максимального правдоподобия.12.3.
Приём полностью известного сигнала (когерентныйприём)Рассмотрим принятие решения в системе связи при следующих условиях: синхронизация является точной и форма сигнала на интервале наблю51дения точно известна, неизвестен лишь сам факт наличия либо отсутствиясигнала в наблюдаемом колебании. (Эта ситуация наиболее близка к реальности в кабельных линиях связи, где условия распространения сигналов известны и практически неизменны.)Будем считать, что на интервале наблюдения независимо от сигналаприсутствует гауссовский шум с нулевым средним и спектральной плотностью мощности N 0 / 2 , постоянной в некоторой полосе частот − F < f < F(«квазибелый» шум).
Полагая, что длительность интервала наблюдения равнаτ , возьмем n отсчетов наблюдаемого колебания с шагом ∆t =1 τ= , при2F nэтом отсчеты шума являются некоррелированными вследствие того, что корреляционная функция квазибелого шума (вида “sin x / x ”) пересекает ось абсцисс при значениях времени, кратных ∆t . Поэтому совместная плотностьраспределения вероятности взятых отсчетов (выборочных значений) равна вотсутствие сигналаw( y1,..., yn | H 0 ) =−1(2π σ)21n∑ yk22e 2σ k =1,где σ 2 = N 0 F = N 0 /(2∆t ) .
Напомним, что для гауссовских случайных величин некоррелированность влечёт независимость.Если сигнал присутствует и принимает в моменты взятия отсчетов значения sk = s (tk ) , то совместная плотность распределения вероятности выборочных значенийw( y1,..., yn | H1) =−1(2π σОтношение правдоподобия52)21n∑ ( yk − sk )22e 2σ k =1.n1 n22−−ysy()∑∑kkkw( y1,..., yn | H1)2σ 2 k =1k=1.Λ==ew( y1,..., yn | H 0 )−Подставляя 2σ 2 = N 0 / ∆t , получим−Λ=en1 n2()y−s∆t−yk 2 ∆t ∑∑k kN 0 k =1k =1.(16)Устремляя ∆t к нулю ( n → ∞ ), запишем логарифм отношения правдоподобия1 τ1 τ 22ln Λ = −∫ [ y (t ) − s(t )] dt + N ∫ y (t )dt =N0 0002 τ1 τ 2=∫ y (t ) s(t )dt − N ∫ s (t )dt .N0 000(17)Поскольку логарифм является монотонной функцией, правило обнаружения сигнала известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное в смысле критерия максимального правдоподобия, основано насравнении с нулевым порогом величиныτ∫ y (t ) s(t )dt − 0,5E ,(18)0τгде E = ∫ s 2 (t )dt – энергия сигнала.
Поскольку энергия сигнала известна, то0при обнаружении можно сравнивать значение корреляционного интеграла(случайное в силу случайности реализации y (t ) ) с порогом, равным 0,5E .Правило различения M сигналов известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное в смысле критерия максимальногоправдоподобия,основанонасравненииτмеждусобойвеличин∫ y (t ) si (t )dt − 0,5Ei , i = 1,..., M . Решение принимается в пользу того сигнала,053для которого эта величина максимальна. Структура оптимального приемникадля различения M сигналов показана на рис. 7.Т∫Xy (t )+0_S 0 ( t)Т∫XУE02t =T ВH i*М+0_S M −1 (t )E М −12Рис.
7. Структура приемника максимального правдоподобияПервое слагаемое в выражении (18) называется корреляционным интегралом, так как совпадает по форме с выражением взаимно-корреляционнойфункции сигнала и наблюдаемого процесса при нулевом сдвиге. Устройствовыбора максимума УВМ вырабатывает на выходе номер канала, в которомвеличина (18) максимальна. Приёмник упрощается, когда энергии всех сигналов равны.Пример 10.
В проводных системах связи с амплитудной телеграфиеймогут применяться посылки в форме прямоугольного видеоимпульса. Предположим, что сигнал, соответствующий символу “1”, представляет собойпрямоугольный видеоимпульс с амплитудой a и длительностью τ . Тогдакорреляционный интеграл имеет видττ00∫ y (t ) s(t )dt = a ∫ y (t )dt ,а порог равен E / 2 = a 2T / 2 , тогда решающее правило имеет видττ00∫ y (t )dt > aT / 2 → "1" , ∫ y (t )dt ≤ aT / 2 → "0" .Структурная схема приемника (демодулятора) показана на рис. 8.54y (t )τиТX∫0cos(ω 0t + ϕ )C1РУλ0 =aτ и4 RC0Рис. 8.
Структурная схема приемника прямоугольного видеоимпульса на фонегауссовского шумаПостоянная времени интегрирующей цепи должна быть много большедлительности посылки. В этом случае начальный участок экспонентыa (1 − e−t /( RC ) ) , отображающей заряд емкости, можно аппроксимироватьпрямой линией с тангенсом угла наклона a /( RC ) , равным производной экспоненты в нуле. Тогда за время τ напряжение на входе решающего устройства, обусловленное сигналом, составит aτ /( RC ) , а значение порога должнобыть равно aτ /(2 RC ) ♦Пример 11. Предположим, что в двоичной системе связи с амплитуд-ной телеграфией сигнал, соответствующий символу “1”, представляет собойпрямоугольный радиоимпульс с амплитудой a и длительностью τ . Тогдаs (t ) = a cos(ω 0t + ϕ ) , корреляционный интеграл имеет видττ00∫ y (t ) s(t )dt = a ∫ y (t )c os(ω0t + ϕ )dt ,а порог равен E / 2 = a 2T / 4 .
Сокращая на a и применяя реальный интегратор в виде RC -цепи, получаем структуру приемника, показанную на рис. 9.♦55y (t )X∫τиТ0Ccos(ω 0t + ϕ )1РУaτ иλ0 =4 RC0Рис. 9. Структурная схема приемника прямоугольного радиоимпульса на фонегауссовского шумаПример 12. В двоичной системе связи с фазовой телеграфией сигналыs1(t ) и s2 (t ) , соответствующие символам “1” и “0”, являются противоположнымиs1(t ) = a cos(ω0t + ϕ ) ;s2 (t ) = a cos(ω0t + ϕ + π ) = − s1(t ) .Принятие решения основано на сравнении величинτ∫ y (t ) s1(t )dt − 0,5E10иτ∫ y (t ) s2 (t )dt − 0,5E2 . С учетом равенства энергий правило принятия реше-0ния упрощается и принимает видττ00∫ y (t )cos(ω0t + ϕ )dt > 0 → "1" , ∫ y (t )cos(ω0t + ϕ )dt ≤ 0 → "0" .♦12.4. Согласованная фильтрацияВ случае приема сигнала известной формы, как было показано, устройство принятия решения (демодулятор) должно вычислять значение корреляционного интеграла, которое и сравнивается с порогом, выбираемым в соот-56ветствии с принятым критерием эффективности.
Устройство, вычисляющеекорреляционный интеграл, называется коррелятором (рис. 10).y (t )∫XТ0s (t )Рис. 10. Структура коррелятораКоррелятор является нестационарным (параметрическим) устройствоми включает генератор опорного колебания, совпадающего по форме с ожидаемым сигналом на интервале наблюдения и интегратор, на выходе которого в момент окончания интервале наблюдения формируется значение, сравниваемое с порогом. В некоторых случаях удобнее использовать линейнуюстационарную (инвариантную к сдвигу) цепь, которая вычисляет значениекорреляционного интеграла и называется согласованным фильтром.
Этотфильтр, как и любая линейная инвариантная к сдвигу (ЛИС) цепь исчерпывающим образом описывается импульсной характеристикой hсф (t ) , при этомвыходной сигнал определяется сверткой (интегралом Дюамеля) которая длямомента t0 сравнения с порогом равна∞∫ y (t )hсф (t0 − t )dt , а с учетом финит-−∞τности посылки ∫ y (t )hсф (t0 − t )dt .0Учитывая, что в момент t0 на выходе согласованного фильтра должнобыть выработано значение корреляционного интеграла, приходим к выводу,что должно выполняться равенствоττ00∫ y (t )hсф (t0 − t )dt = ∫ y (t ) s(t )dt ,откуда hсф (t0 − t ) = s (t ) , следовательно, hсф (t ) = s (t0 − t ) . Импульсная характеристика согласованного фильтра, таким образом, совпадает по форме сожидаемым сигналом, обращенным во времени и задержанным на время t0 .57Для выполнения требования каузальности (причинности, физической реализуемости) очевидно, необходимо, чтобы t0 было не меньше, чем τ , рис.
11.t0 ≥ τ иs 0 (t )th сф (t )tt0 − τ иt0Рис. 11. Сигнал и импульсная характеристика согласованного фильтра.Найдем комплексную частотную характеристику согласованногофильтра:H сф ( jω ) ==∞∞∫ hсф (t )e− jω tdt =−∞∫ s(τ )e− jω (t0 −τ )∞− jω tdt =∫ s(t0 − t )e−∞dτ = e− jω t0−∞∞jωτ∫ s(τ )e dτ =−∞*∞− jω t0 − jω t0 *=eS ( jω ) . ∫ s (τ )e− jωτ dτ = e −∞Таким образом, КЧХ согласованного фильтра является комплексносопряженной функцией по отношению к спектральной плотности ожидаемого сигнала, умноженной на фазовый множитель, соответствующий задержкена t0 , необходимой для обеспечения каузальности.Для понимания физического смысла согласованной фильтрации целесообразно рассмотреть отдельно составляющие КЧХ – амплитудночастотную и фазочастотную характеристики.Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) совпадает по форме смодулем спектральной плотности сигнала. Это означает, что согласованныйфильтр имеет больший коэффициент передачи для более интенсивных час58тотных компонент сигнала («подчеркивает» сильные гармоники и подавляетслабые).Фазочастотная характеристика состоит из двух сомножителей, а именно: аргумента функции S * ( jω ) , обратного фазовому спектру спектральнойплотности сигнала, и фазового множителя e− jω t0 .
Первый сомножительобеспечивает суммирование всех частотных компонент сигнала «в фазе»,благодаря чему в момент времени t0 , обусловленный множителем e− jω t0 ,имеет место максимальное значение отклика, численно равное энергии сигнала11ττ00∫ s(t )hсф (t0 − t )dt = ∫ s(t ) s(t )dt = Es .Для произвольного момента времени отклик согласованного фильтрана «свой» сигналτиτи00∫ s(t − τ )hсф (τ )dτ = ∫ s(t − τ ) s(t0 − τ )dτ = Bs (t0 − t ) ,где Bs (t ) – автокорреляционная функция сигнала, которая, как известно, достигает максимума, равного энергии сигнала, при нулевом значении аргумента.Согласованный фильтр для сигнала произвольной формы может бытьреализован (приближенно) на основе линии задержки с отводами, рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
