Васюков В.Н. - Теория электрическо связи - Часть 3. Теория информации и теория помехоустойчивости (1275348), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Улучшитьэффективность решения можно путем «накопления» нескольких ( K ) отсчетов, взятых в i -е моменты времени, i = 1,..., K ; при этом φ (t ,θ ) =K∑ δ (θ − ti 0 ) .i =1Учесть различную значимость отсчетов для принятия решения можно, введявесовые коэффициенты при δ -функциях, тогда φ (t ,θ ) =K∑ hiδ (θ − ti 0 ) . Уве-i =1личивая K , в пределе получаем непрерывное ядро оператора обработкиφ (t ,θ ) = h(t ,θ ) – весовую функцию линейного фильтра (см. п. 2.4).
Вообщеговоря, оптимальная обработка может быть нелинейной.44Материалом для принятия решения в демодуляторе служит в рассматриваемом случае реализация колебания z (t ) на интервале длительности τ .Если бы помеха отсутствовала, то эта реализация совпадала бы с элементарным сигналом (посылкой), который можно считать точкой в гильбертовомпространстве сигналов, определенных на заданном временном интервале.Все возможные в данной системе связи посылки изображаются различнымиточками, и демодулятор должен вырабатывать свои решения в зависимостиот того, какой именно точке соответствует принятая реализация z (t ) .
Реализация помехи, взаимодействуя с посылкой, смещает точку, изображающуюпринятую реализацию, причем смещение случайно вследствие случайногохарактера помехи. Если смещения будут значительными, демодулятор можетошибаться. Ошибки являются случайными событиями, поэтому качество решений можно описывать вероятностью ошибки.Задача синтеза оптимального демодулятора (приёмника) ставится следующим образом: нужно найти оптимальный алгоритм обработки и оптимальное правило решения, обеспечивающие максимальную вероятность безошибочного(правильного)решения.МаксимумэтойвероятностиВ.А. Котельников назвал потенциальной помехоустойчивостью, а приёмник,реализующий этот максимум – идеальным приёмником.Алгоритм работы приёмника состоит в разбиении гильбертова пространства реализаций входного колебания на области, так что решение принимается в соответствии с тем, какой области принадлежит принятая реализация.
Количество областей равно количеству различных кодовых символовданной системы связи. Ошибка возникает в том случае, если в результатевоздействия помехи реализация попадает в «чужую» область. Оптимальныйприёмник разбивает пространство реализаций наилучшим образом, так чтосредняя вероятность ошибки минимальна среди всех возможных разбиений.Каждая область соответствует предположению (гипотезе) о том, чтопередан был один из возможных сигналов. Поэтому каждая простая гипотеза есть предположение о том, что наблюдаемое колебание представляет со45бой реализацию случайного процесса, описываемого определенной многомерной плотностью распределения вероятностей10 или функционалом плотности распределения.Пример 9. Предположим, что результатом обработки в двоичной сис-теме связи с амплитудной телеграфией является значение y , соответствующее окончанию интервала наблюдения.
Если в колебании z (t ) присутствуеттолько шум, имеющий гауссово распределение с нулевым математическиможиданием и среднеквадратическим отклонением σ , то плотность распределения величины y имеет видw0 ( y ) =−y221e 2σ ,2π σ(12)если кроме шума на вход приемника поступает сигнал, то результат обработки имеет ненулевое (для определенности – положительное) среднее a , иплотность распределения величины y имеет вид( y − a )2w1( y ) =−21e 2σ .2π σ(13)Гипотезы, соответствующие выражениям (12) и (13), являются простыми.
Если среднеквадратическое отклонение σ неизвестно, гипотезы являются сложными. ♦Рассмотрим систему связи, в которой используются K различных символов. Тогда демодулятор должен различать K различных гипотез. При этомвозможны ошибки: может быть принято решение в пользу j -й гипотезы, в товремя как справедливой является i -я гипотеза. Такая ситуация описывается{}условной вероятностью ошибки pij = P H j | H i . Различные ошибки могутнаносить разный вред, поэтому вводится численная характеристика Π ij , на-10Часто гипотезе соответствует не одно распределение, а класс распределений, тогда гипотеза называетсясложной.46зываемая риском, или потерей.
Иногда потери объединяют в квадратную{ }K × K -матрицу Π ij , называемую матрицей потерь, при этом её главнаядиагональ содержит нули, что соответствует нулевым потерям при правильных решениях.Символы, которым соответствуют разные гипотезы, могут иметь разные вероятности появления в сообщении.
Поэтому каждая ( i -я) гипотеза характеризуется некоторой вероятностью pi осуществления, которая называется априорной вероятностью. Итак, суммируя, можно ввести усреднённуюхарактеристику (критерий) качества принятия решения, называемую среднимрискомR=K K∑ ∑ pi pij Πij .i =1 j =1Средний риск представляет собой математическое ожидание потерь,связанных с принятием решения.Если априорные вероятности гипотез точно известны, а потери назначены обоснованно, то приёмник, обеспечивающий наименьший средний рискбудет наиболее выгодным.
Критерий минимума среднего риска называюттакже критерием Байеса.Иногда потери, связанные с различными ошибками, принимают равными друг другу Π ij = Π , Π ii = 0 , i = 1,..., K , тогда оптимальный байесовскийприёмник обеспечивает минимальную среднюю вероятность ошибки (критерий идеального наблюдателя)pош =K K∑ ∑ pi piji =1 j =1i≠ jи называется идеальным приемником Котельникова.47Если также принять равными априорные вероятности гипотезpi = 1/ K , i = 1,..., K , то критерий Байеса сводится к критерию минимума суммарной условной вероятности ошибкиpош усл =K K∑ ∑ pij .i =1 j =1j ≠i(14)Проблема синтеза оптимального демодулятора состоит в нахожденииграниц областей, разбивающих пространство наблюдений наилучшим образом в соответствии с выбранным критерием качества.
Ниже эта задача рассматривается для простейшего случая двух простых гипотез, что соответствует АТ-системе связи с пассивной паузой.12.2. Бинарная задача проверки простых гипотезНаиболее просто задача построения оптимального демодулятора (приёмника) решается для случая амплитудной телеграфии с пассивной паузой,что соответствует принятию решения о том, что передавался символ «0»(сигнала нет) или символ «1» (сигнал есть).
Таким образом, решается задачаобнаружения сигнала в наблюдаемом колебании. Далее предполагается, чтопомеха в канале представляет собой гауссовский шум с нулевым средним иизвестной дисперсией, который взаимодействует с сигналом аддитивно(суммируется). Результатом обработки наблюдаемого колебания являетсяслучайная величина y , которая может иметь различное распределение в зависимости от того, есть ли сигнал в наблюдаемом колебании, а именно: распределение при гипотезе H 0 – «сигнала нет» – является гауссовским с нулевым средним, а распределение при гипотезе H1 – «сигнал есть» – отличаетсясдвигом на величину a , зависящую от способа обработки (например, еслиобработка сводится к взятию отсчета в момент, когда несущее колебаниедостигает максимума, величина a представляет собой его амплитуду).
Значение a предполагается известным. Таким образом, проверяемые гипотезы48описываются двумя условными плотностями распределения вероятностиw ( y | H 0 ) и w ( y | H1 ) , изображенными на рис. 6.w( y )w( y | H 0 )w( y | H1 )yРис. 6. Условные плотности распределения вероятности величины yпри простых гипотезахВ данной постановке демодулятор (приёмник) может принимать решение, основываясь только на наблюдаемом значении y : очевидно, чем большенаблюдаемое значение, тем с большей уверенностью можно утверждать, чтосигнал в принятом колебании есть.
Разумный алгоритм принятия решения втаком случае должен сравнить y с некоторым фиксированным значением(порогом) yп и если y больше порога, принять решение о наличии сигнала, впротивном случае – о его отсутствии, что можно кратко записать в следующей символической форме:y > yп → "1"y ≤ yп → "0" .Каким бы ни был порог yп , очевидно, есть некоторая ненулевая вероятность p01 принять решение о наличии сигнала при его фактическом отсутствии. Эта вероятность называется условной вероятностью ошибки первогорода («ложной тревоги») и определяется выражениемp01 =∞∫ w( y | H 0 )dy .yп49Аналогично, существует ненулевая вероятность принять решение оботсутствии сигнала, в то время как на самом деле он есть (условная вероятность ошибки второго рода, или пропуска сигнала)p10 =yп∫ w( y | H1)dy .−∞Анализ рисунка показывает, что сумма указанных условных вероятностей минимальна, если порог yп находится, как абсцисса точки пересеченияусловных плотностей w ( y | H 0 ) и w ( y | H1 ) .
Очевидно, при таком выборе порога приёмник является оптимальным по критерию минимума суммарнойусловной вероятности ошибки (14) и принятие решения основывается насравнении значений функций w ( y | H 0 ) и w ( y | H1 ) при наблюдаемом значении y :w ( y | H 0 ) < w ( y | H1 ) → "1" ;w ( y | H 0 ) ≥ w ( y | H1 ) → "0".Это правило принятия решения можно переписать также в формеw ( y | H1 )w ( y | H1 )> 1 → "1";≤ 1 → "0 ".w( y | H0 )w( y | H0 )(15)Решение, таким образом, принимается в пользу той гипотезы, котораяпредставляется более правдоподобной при данном значении y , поэтому отношениеw ( y | H1 )называется отношением правдоподобия и обозначаетсяw( y | H0 )Λ( y ) . Правило (15) называют правилом максимального правдоподобия.Критерий идеального наблюдателя предполагает учёт априорных вероятностей гипотез, и оптимальный в смысле этого критерия приёмник обеспечивает минимум средней вероятности ошибки, то есть наименьшую суммубезусловных вероятностей ошибок первого и второго рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
