9-10Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1273137), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Такоевыражение — общее решение неоднородной системы, записанное «на языке систем».Найдем частное решение неоднородной системы. Для этого положим значения свободныхпеременных равными0,0и вычислим базисные переменные:1112134521⋅0 0 1235⋅0⋅0421,010и тогда вектор— частное решение неоднородной системы.00Приведенная однородная система — система из примера 1.Воспользуемся решением предыдущего примера:1̅, ̅0110̅— фундаментальная система приведенной однородной системы,— общее решение приведенной однородной системы.11000Тогда ̅общеерешениенеоднороднойсистемы.Проверим:1 22 03 21 2̅1110224C21311142⋅2622C22C2C6C1231.Верно.1Ответ: Система совместна, ее общее решение ̅общ.реш.неоднор.сист..Вычисление обратной матрицы методом Гаусса-ЖорданаПусть A — обратимая квадратная матрица.
Обозначим— j-й столбец обратнойматрицы. Тогда, поскольку A·A-1=E, то, очевидно, справедливо:⋅,0 0 ... 1 ... 0 ,1, ,12т.е.— матрица-столбец, все элементы которой, кроме j-го равны нулю, а элемент,расположенный в j-й строке равен единице.Эти n систем можно решать методом Гаусса-Жордана одновременно, поскольку у всех уних одна и та же матрица. Запишем матрицу, содержащую в первых n столбцах матрицусистемы, а в последних n столбцах — единичную матрицу, и выполним Гауссовоисключение так, чтобы получилось:Матрица, расположенная в последних n столбцах — обратная матрица.
Действительно, в,(n+1)-м столбце — решение системы ⋅ ̅1 0 ... 0 , т.е. первый столбецобратной матрицы, в (n+2)-м столбце — решение системы ⋅ ̅,0 1 ... 0 , т.е.второй столбец обратной матрицы, и т.д., в (n+ n)-м столбце — решение системы ⋅ ̅,0 0 ... 1 , т.е. n-й столбец обратной матрицы.Пример 3. Найдем методом Гаусса-Жордана матрицу, обратную к матрицеРешение1 20 12 43 1 0 0 1 21 0 1 0→0 11 0 0 1 0 01 2 0→0 1 0Т.е.31510521520531 0 051 0 1 0→51 0 0 150 0 112 11.0Проверим. ⋅1 20 12 41 21 0 00 10 1 0→2 0 1 0 031⋅112101 0 00 1 0.0 0 11Верно. Ответ:2101.1125253 1 01 0 120152101 0 00 1 0,0 0 11 20 12 4001→5115151⋅21011 2⋅0 12 431131.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
