6Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1273135), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

... ... ......∣ i1 ...⋅ pj , поскольку определитель отличается отin ∣ ∑p=... ... ... ... ......n1 ...nnтолько j-м столбцом.Тогда111k ⋅1k12k1⋅2k...nkk=1ik⋅⋅pk2k⋅pknk⋅pk...k=...1⋅pkp=1⋅⋅p=⋅1kk=pkp=⋅p=,k=⋅ Δ=b ,ikk=⋅ik1⋅⋅0pk0при.p=k=1⋅p=Т.е.⋅k=поскольку1p=⋅...nk⋅p=p=1⋅1pkp=k=11⋅k=k=k=⋅ik⋅pkk=⋅ X=BприX=....Формулы Крамера доказаны.Замечание. Нетрудно, показать, что выражения X=A⋅ и X=...— две формызаписи одного и того же равенства.Действительно,j111...1⋅ B=⋅ 1idet...1n...............j1...ji...jn...............j=n1...ni......⋅...1...⋅jij=nn...1 ...⋅..........jnj=2xПример.

Решим по формулам Крамера систему:3x6x5x2x1,2,3.1 2 311 2A= 0 5 6, B= 2, Δ=detA= ∣ 0 50 0 230 01 2 31 1∣2 5 6∣7,∣0 23 0 20 371410,x101 2 3Проверим: 0 5 6 ⋅0 0 21036 ∣ 10 0,231 2 114,∣0 5 2∣6∣20 0 3715 3,x.510 215,12.3Элементарные преобразования матрицПомимо операций с матрицами определены операции с элементами матриц, операции состолбцами и строками матрицы — так называемые элементарные преобразования матриц.Определение.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы;2. умножение любой строки (столбца) на произвольное, отличное от нуля, число;3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной(умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.4. к элементарным преобразованиям иногда относят и операцию транспонированияматрицы.Приведение матрицы к ступенчатому виду Гауссовым исключениемУтверждение. Любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарныхпреобразований привести к ступенчатой форме.Это утверждение на лекции доказано.12Пример. Приведем к ступенчатой форме матрицу 11321234213 11 105⇒12343 63 242 86 281 2342⋅⇒ ,∣0339∣1⋅⇒ ,0339∣1 ⋅⇒ , ⇒⇒0 0003⋅⇒ ,∣0 06 12∣2⋅⇒ ,0 12 12 36211268343 105.343 246 281⇒ ,1 230 110 1⋅ ⇒ ,∣⇒30 12⇔ ,∣0 010 0⋅⇒ ,∣6101 ⋅⇒ ,∣01⇒0⋅ ⇒ ,∣1200⇒10⇔ ,∣0⇒∣1 ⋅⇒ ,000∣⋅3111210433⇒3620210100310110210000311000430⇒320432.000Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарныхпреобразований называют Гауссовым исключением или методом Гаусса..

Характеристики

Список файлов лекций