В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Основные понятия цифровой обработки сигналов…329где – вещественный параметр3. ЛегкоIm zвидеть, что изменениена величинуej k  2 при любом целом k никак невлияет на результат преобразования. ТаRe zким образом, величинуможно пони1мать, как угол, а e j – как точку на комплексной плоскости, находящуюся наокружностиединичногорадиуса(рис. 12.1). Поэтому выражение (12.1) Рис. 12.1. Угловая интеропределяет на единичной окружностипретация частотыфункцию вещественной переменной ,которая имеет смысл круговой частоты.Вспомним, что при восстановлении аналогового сигнала моделью дискретного сигнала служит идеализированный АИМ-сигнал,состоящий из -функций, умноженных на отсчеты сигнала (2.58)v(t )   xa (nTd ) (t  nTd ) .n Найдем преобразование Фурье этого аналогового сигнала, обозначив круговую частоту в его спектральном описании буквой :n   xa (nTd )e jnTdV ( )   v(t )e j t dt   xa (nTd )  (t  nTd )e j t dt n .(12.2)Сравнивая выражения (12.1) и (12.2), легко видеть, что при условияхx[n]  xa (nTd ) , Td ,  (12.3)их левые части совпадают.

Это означает, что выражение (12.1) определяет спектральную плотность дискретного сигнала, совпадающую3Обозначение спектральной плотности в виде X (e j ) общепринято в литературе по ЦОС и обусловлено связью преобразования Фурье с z-преобразованием (см. разд. 12.2).33012.

ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВпо форме со спектральной плотностью идеального АИМ-сигнала(который при воздействии на идеальный ФНЧ с П-образной характеристикой позволяет точно восстановить исходный аналоговыйсигнал)4.Из условия (12.3) следует, что необходимо выполнение неравенства TdTd, или, что то же самое, d2d2, где2– круговая частота дискретизации. Иными словаTdми, мы снова получили условие выбора частоты дискретизации,как минимум, вдвое выше верхней частоты спектра аналоговогосигнала (ср.

разд. 2).Таким образом, формальное совпадение левых частей (12.1) и(12.2) позволяет оперировать спектральной плотностью X (e j )последовательности x[n] вместо спектральной плотности аналогового сигнала, но лишь при условии ее финитности и правильноговыбора шага дискретизации, когда копии спектральной плотностипериодически повторяются вдоль оси частот без перекрытия.

Присоблюдении этого условия любые действия над дискретным сигналом эквивалентны соответствующим действиям над аналоговымсигналом и обработка сигнала может производиться в цифровойформе.Рассмотрим выражение (12.1) как разложение 2 -периодической функции аргумента в комплексный ряд Фурье по базиснымфункциям e jn , n  ,  . Тогда, очевидно, отсчеты x[n] суть нечто иное, как коэффициенты этого ряда и могут быть найдены пообщей формуле для вычисления коэффициентов комплексного ряда Фурье:d 2 Fd x[n] 1X (e j )e j n d ,2 n  ,  .(12.4)Это выражение представляет собой обратное преобразование Фурье для последовательности (дискретного сигнала).4Более детально взаимосвязь аналогового и дискретного сигналов рассматривается, например, в [19].12.2.

Стационарные линейные дискретные цепи33112.2. СТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕДИСКРЕТНЫЕ ЦЕПИПреобразования дискретных сигналов в процессе их обработки могут выполняться специализированными цифровыми устройствами или универсальными вычислителями (процессорами) подуправлением программ; в любом случае удобно считать, что преобразование выполняется некоторой дискретной цепью. Таким образом, дискретной цепи соответствует отображение множествавходных (дискретных) сигналов на множество выходных сигналов.Задать отображение – значит задать эти множества и каждомувходному сигналу поставить в соответствие единственный выходной.

Как и для аналоговых цепей, для упрощения этой задачи наотображение (цепь) накладываются определенные ограничения.Прежде всего, положим, что множества входных и выходныхсигналов совпадают (рассматривается задача фильтрации), тогдапонятие отображения сужается до оператора. Будем также считать, линеен, т.е. удовлетворяет принципу сучто оператор цепи  перпозиции  1 x1  2 x2   1  x1  2   x2  ,где 1 , 2 – скалярные коэффициенты (вещественные или комплексные), x1  x1[n] , x2  x2 [n] – дискретные сигналы. Произвольный дискретный сигнал (последовательность) x[n] можнопредставить в виде обобщенного ряда Фурье относительно базиса,состоящего из сдвинутых -последовательностей (см.

разд. 2)x[n]   x[k ] [n  k ] ,k где отсчеты этого сигнала x[k ] рассматриваются как постоянныекоэффициенты при базисных функциях [n  k ] , k  ,  . Тогдарезультат воздействия линейного оператора (линейной цепи) наэтот сигнал равен y[n]     x[k ] [n  k ]   x[k ]   [n  k ]   x[k ]h[n, k ] ,k  k k где h[n, k ] представляет собой отклик цепи в момент времени n на-последовательность, имеющую единичное значение в момент33212.

ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВвремени k . Если кроме линейности потребовать, чтобы весоваяпоследовательность h[n, k ] зависела только от разности аргументов, h[n, k ]  h[n  k ] , то цепь станет инвариантной к сдвигу (стационарной), а формула нахождения выходного сигнала приметформу дискретной сверткиk k y[n]   x[k ]h[n  k ]   h[k ]x[n  k ] .(12.5)Последовательность h[n] называется импульсной характеристикой линейной инвариантной к сдвигу (ЛИС) цепи и является ееисчерпывающей характеристикой, так как позволяет найти сигнална выходе данной ЛИС-цепи для произвольного входного сигнала.Здесь уместно отметить одно важное свойство дискретных цепей, отличающее их от аналоговых.

Дискретная свертка представляет не только метод анализа ЛИС-цепи, подобно интегралу Дюамеля для аналоговых цепей, но также алгоритм работывычислительного устройства. Таким образом, задача анализа дискретных ЛИС-цепей оказывается тесно связанной с задачей синтеза (подробнее см., например [19]).Рассмотрим ЛИС-цепь при воздействии на ее вход комплексной экспоненциальной последовательности x[n]  e j n приn  ,  , тогда выходной сигнал в соответствии с (12.5)y[n]   h[k ]e j n e  jk где H (e j )   h[n]e  jn nkejn h[k ]e  jk k e j n H (e j ) ,– комплексная частотная характери-стика ЛИС-цепи.Рассматривая выражение (12.4) как представление произвольного дискретного сигнала x[n] суперпозицией несчетного множества комплексных экспоненциальных последовательностей e j n1( [ , ] ), умноженных на весовые коэффициентыX (e j ) ,2легко видеть, что выходная последовательность получается домножением каждой из них на значение КЧХ:y[n] 1H (e j ) X (e j )e j n d , n  ,  .2 (12.6)33312.2.

Стационарные линейные дискретные цепиСравнивая выражения (12.6) и (12.4), видим, что спектральнаяплотность выходного сигнала равна Y (e j )  H (e j ) X (e j ) . Полученное выражение составляет основу спектрального метода анализа ЛИС-цепей.Предположим, что импульсная характеристика некоторой цепиh[n] имеет конечную длину N , т.е. h[n]  0 , n  0, N  1 . Тогдасвертка (12.5) принимает вид конечной суммыN 1N 1k 0k 0y[n]   h[k ]x[n  k ]   bk x[n  k ] ,и может быть записана в виде разностного уравненияy[n]  b0 x[n]  b1x[n  1]  b2 x[n  2]  ...

 bN 1x[n  N  1] . (12.7)Вычисление каждого значения выходного сигнала требует учета текущего и N  1 предшествующих отсчетов входного сигнала иможет быть выполнено цепью, структурная схема которой показана на рис. 12.2. Такие цепи называются трансверсальными, илицепями с конечной импульсной характеристикой (КИХ-цепями).y[n]x[n]h[0]z-1x[n–1]h[1]–1zx[n–2]h[2]z–1x[n–N–1]h[N–1]Рис. 12.2.

Структура цепи с конечнойимпульсной характеристикойКомплексная частотная характеристика КИХ-цепи имеет видполинома порядка N  1 относительно e j :N 1H (e j )   h[n]e jn0n b0  b1e  j  b2e  j2  ...  bN 1e  j ( N 1) .Таким образом, КИХ-цепь умножает спектральную плотностьвходной последовательности на полином. Другой важный для33412. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВпрактики класс дискретных ЛИС-цепей составляют цепи, которыене умножают, а делят спектральную плотность входной последовательности на полином некоторого порядка M  1 относительноe j . Обозначим этот полином A(e j )  0  1e j  2e j2  ......  M 1e j ( M 1) , тогда спектральные плотности входной и выходнойпоследовательностейсвязанывыражениемjjjjY (e )  X (e ) / A(e ) , следовательно, X (e )  Y (e j ) A(e j ) ,откуда по аналогии с (12.7) можно записатьx[n]  0 y[n]  1 y[n  1]  2 y[n  2]  ...

 M 1 y[n  M  1] .Решая это уравнение относительно выходного сигнала, получаем1y[n] x[n]  1 y[n  1]  2 y[n  2]  ...  M 1 y[n  M  1] ,0000откуда, вводя обозначения b  1/ 0 , ai   i / 0 , находим окончательно разностное уравнение рекурсивной цепи5y[n]  bx[n]  a1 y[n  1]  a2 y[n  2]  ...  aM 1 y[n  M  1] ,структура которой показана на рис.

12.3.x[n]y[n]bz–1a1z–1a2z–1aM 1Рис. 12.3. Структура рекурсивной цепиОбычно к ЛИС-цепям предъявляется требование устойчивости. Напомним, что линейная цепь называется устойчивой, если5Отметим, что трансверсальные цепи иногда называют нерекурсивными.12.2. Стационарные линейные дискретные цепи335отклик на воздействие, ограниченное по модулю, также ограничен.Для устойчивости ЛИС-цепи необходимо и достаточно, чтобы ееимпульсная характеристика была абсолютно суммируемой, т.е.выполнялось условие [5, 19] h[n]   .n (12.8)Очевидно, для импульсных характеристик конечной длины этоусловие выполняется всегда, поэтому КИХ-цепи всегда устойчивы.Рекурсивные цепи могут быть неустойчивыми из-за наличия обратных связей.

Анализ устойчивости ЛИС-цепей основан на использовании z -преобразования, которое формально может бытьполучено из преобразования Фурье (12.1) заменой величины e jна комплексное переменное z :X ( z )   x[n]z  n .n (12.9)z -Преобразование может сходиться для одних значений комплексного переменного z и расходиться для других. Множествоточек комплексной z -плоскости, в которых z -преобразованиесходится, называется областью сходимости. Для абсолютно суммируемой импульсной характеристики область сходимости ееz -преобразования содержит единичную окружность.

Характеристики

Список файлов книги