В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

МетодКИХ-фильтрации на основе БПФ получил название метода быстрой свертки.При его реализации необходимо учитывать следующие два обстоятельства. Первое состоит в том, что дискретное преобразование Фурье обладает двойственностью – оно соответствует как последовательностям конечной длины, так и периодическимпоследовательностям. По этой причине перемножение коэффициентов ДПФ двух последовательностей (входного сигнала и импульсной характеристики) соответствует не обычной (апериодической), а так называемой циклической (круговой) свертке.Убедимся, что это действительно так.Пусть x[n] и h[ n] – периодические последовательности с периодом N .

Их циклическая свертка определяется выражениемN 1y[n]   x[m]h[n  m] .m0ДПФ результирующей последовательности2N 1  N 1  j nkY[k ]     x[m]h[n  m]  e N n0  m034212. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ22 N 1 j ( n  m ) k   j mkN  x[m]   h[n  m]e e N H [k ] X [k ] , n  0m0N 1(12.16)H [k ] X [k ]  H [k ] X [k ] ,где H [k ] и X [k ] находятся как ДПФ N -периодических последовательностей x[n] и h[ n] , а H [ k ] и X [ k ] – как ДПФ их конечныхфрагментов длины N согласно (12.12).При выводе (12.16) учтен тот факт, что сумма в круглых скобках во второй строке равна H [k ] независимо от m в силу периодичности суммируемых членов: при различных m суммируютсяодни и те же N слагаемых в разном порядке.

Таким образом, видно, что циклическая свертка (или свертка периодических последовательностей) соответствует поточечному произведению ДПФспектров последовательностей. При фильтрации же должна выполняться обычная апериодическая свертка, определяемая выражением (12.5).Преодолеть эту трудность можно следующим образом. Преобразование Фурье последовательности длины N дает полином (относительно e j ) степени N  1 . Полагая, что x[n] и h[n] – последовательности длины N , видим, что произведение их фурье-образов есть полином степени 2( N  1) . Но при поточечномперемножении ДПФ-спектров, имеющих по N отсчетов, получается всего N результирующих отсчетов, что соответствует полиному всего лишь ( N  1) -й степени.

Единственный способ получения правильного результата умножения двух полиномов состоит втом, чтобы точек вычисления ДПФ «хватило» для представлениярезультата. Иначе говоря, если используется N -точечное ДПФ, тостепень результирующего полинома должна быть не выше ( N  1) .Это, в свою очередь, означает, что сумма длин последовательностей x[n] и h[n] (обозначим их M и L ) должна удовлетворятьочевидному соотношению M  1  L  1  N  1 (или M  L  1  N ).Для того чтобы можно было для последовательности x[n] длиныM  N получить N отсчетов ДПФ, следует перед вычислениемДПФ последовательность x[n] дополнить N  M нулевыми отсчетами (и то же проделать с другой последовательностью).

Тогда ре-12.4. Цифровые фильтры343зультат их циклической свертки, полученный применением БПФ,совпадает с результатом апериодической свертки.Второе обстоятельство, которое должно учитываться при реализации КИХ-фильтрации методом быстрой свертки, относится кфильтрации последовательностей большой (в частности, бесконечной) длины. Если длина входной последовательности велика (сотни тысяч отсчетов и более), что типично для обработки сигналов,применяемых в радиотехнике и связи, то необходимое основаниеБПФ (число вычисляемых отсчетов) оказывается слишком большим, что влечет высокие требования к объему оперативной памятивычислителя БПФ, а также приводит к большой задержке результирующего сигнала (результат может быть получен не ранее, чемпоступит последний отсчет входной последовательности, плюсвремя, необходимое для вычисления прямого БПФ, умножения иобратного БПФ).

Для того чтобы снизить требования к памяти иуменьшить задержку, применяют так называемое секционированиесвертки [5].Пусть h[n] – импульсная характеристика фильтра, имеющаядлину M , а x[n] – сигнальная последовательность бесконечнойдлины. Представим x[n] в видеkL  n  (k  1) L x[n],x[n]   xk [n] , где xk [n]  k 0, в противном случае.Нетрудно видеть, что таким образом входная последовательность разбивается (секционируется) на совокупность неперекрывающихся примыкающих друг к другу сегментов длиной L отсчетов каждый.В силу билинейности свертки (линейности по каждому из операндов) x[n]  h[n]    xk [n]   h[n]    xk [n]  h[n]   yk [n] . k k k Как видно из полученного выражения, свертка последовательности бесконечной длины с конечной импульсной характеристикойможет быть точно заменена бесконечной суммой сверток сегментов фиксированной длины с этой же ИХ.

Каждая частичная сверткатребует для своего вычисления ( L  M  1) -точечного БПФ. Поскольку L выбирается произвольно, секционирование позволяетреализовать КИХ-фильтрацию длинных (потенциально – беско-34412. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВнечно длинных) последовательностей; при этом результат yk [n]фильтрации сегмента xk [n] появляется с задержкой, определяемойвременем прямого и обратного БПФ и умножения, но эта задержкатеперь отсчитывается от момента окончания сегмента, а не всейпоследовательности.Заметим, что результат каждой частичной свертки имеет длину( L  M  1) , а следуют секции с относительным сдвигом L . Такимобразом, результаты частичных сверток yk [n] суммируются с перекрытием носителей kL  n  (k  1) L  M  1 .

Этот метод секционирования свертки известен как метод перекрытия с суммированием (overlap-add method) [5].Альтернативный метод перекрытия с накоплением (overlapsave method) заключается в том, что перекрываются сегментывходной последовательности. Последовательность x[n] разбивается на секции xk [n] длиной ( L  M  1) , причем последние ( M  1)отсчетов каждой секции перекрываются с таким же количествомпервых отсчетов следующей секции ( M – по-прежнему длина импульсной характеристики, L выбирается произвольно).

Каждаясекция подвергается БПФ с основанием ( L  M  1) . Импульснаяхарактеристика длиной M дополняется нулями до основанияБПФ. Результат фильтрации (циклической свертки) содержит всего( L  M  1) отсчетов, из которых последние ( M  1) отсчетов –«ошибочные», не совпадающие с результатом апериодическойсвертки, а остальные L отсчетов являются «правильными».

Суммируются результаты циклических частичных сверток после отбрасывания «ошибочных» отсчетов, т. е. секции выходной последовательности длиной L следуют друг за другом без перекрытия.12.4.2. СИНТЕЗ БИХ-ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕАНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ТРАНСФОРМАЦИИСравнение БИХ-фильтров с КИХ-фильтрами показывает,что для получения примерно одинаковых частотно-избирательныхсвойств (имеется в виду крутизна спада АЧХ) КИХ-фильтр должениметь в 10…20 раз более высокий порядок.

Это вполне объяснимо,так как известно, что быстро изменяющиеся сигналы имеют широкий спектр, а благодаря двойственности (дуализму) времени и частоты отсюда следует, что круто изменяющейся функции частоты(АЧХ) должна соответствовать функция времени (импульсная характеристика) большой длительности. Но для КИХ-фильтра поря-12.4. Цифровые фильтры345док – это количество отсчетов импульсной характеристики минус 1,в то время как БИХ-фильтр даже первого порядка имеет импульсную характеристику бесконечной длительности.

Таким образом, втех случаях, когда вид фазочастотной характеристики не играетопределяющей роли для практического применения разрабатываемого фильтра, следует использовать БИХ-фильтр, так как при этомполучается существенный выигрыш в быстродействии (или в аппаратурных затратах на реализацию) фильтра. То обстоятельство,что не всякий БИХ-фильтр оказывается устойчивым, не представляет такой заметной опасности, как может показаться на первыйвзгляд. Во-первых, устойчивость может быть проверена (и обеспечена) на этапе проектирования цифрового фильтра; во-вторых, характеристики цифровых фильтров не подвержены дрейфу с течением времени и при изменении внешних условий, следовательно,устойчивый фильтр останется устойчивым в течение всего времениработы (конечно, нужно учитывать возможность выхода аппаратуры из строя в результате катастрофического отказа; при этомможет возникнуть неустойчивость).

Следует также отметить, что вцифровых БИХ-фильтрах могут возникать незатухающие паразитные колебания (так называемые предельные циклы) вследствиесвоеобразного нарушения устойчивости при округлении дробныхчисел; подробнее см. [5].Наиболее широко применяются методы синтеза цифровыхБИХ-фильтров, основанные на так называемой аналого-цифровойтрансформации, т.е. на преобразовании аналогового фильтра стребуемыми характеристиками в цифровой (дискретный) фильтр.Это объясняется, во-первых, трудностью решения задачи прямойаппроксимации желаемых характеристик дробно-рациональнымипередаточными функциями и, во-вторых, наличием развитой теории синтеза аналоговых фильтров и простотой преобразованияаналоговых фильтров-прототипов в дискретные фильтры.В качестве фильтров-прототипов наиболее часто применяютсяаналоговые фильтры Баттерворта, Чебышѐва, Золотарева – Кауэра(эллиптические) и Бесселя.

Фильтры Баттерворта имеют при заданном порядке максимально гладкую АЧХ. Фильтры Чебышѐваимеют АЧХ, пульсирующую в полосе пропускания (фильтры I рода) или в полосе заграждения (фильтры II рода). АЧХ эллиптического фильтра пульсирует как в полосе пропускания, так и в полосе заграждения и имеет поэтому максимальную крутизну спада.Все перечисленные фильтры характеризуются заметной нелинейностью фазочастотной характеристики. Фильтр Бесселя имеетФЧХ, близкую к линейной в полосе пропускания.34612.

ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВАналоговые фильтры принято описывать передаточнымифункциями, которые связаны с импульсными характеристикамипреобразованием Лапласа [8]. Преобразование Лапласа связываетаналоговый сигнал x (t ) с его образом (изображением) в видефункции X ( p) комплексного переменного p . Мнимая ось комплексной p -плоскости представляет собой ось частот в описаниианалогового сигнала. Аналогичную роль в описании дискретныхсигналов играет единичная окружность z -плоскости.Аналого-цифровая трансформация состоит в установлении связи комплексных переменных p и z . Выразив p в виде функцииp  f ( z ) и подставив в выражение передаточной функции H a ( p)аналогового фильтра-прототипа, мы получили бы функцию комплексного переменного z , имеющую смысл передаточной функции H ( z ) дискретного фильтра. Трудность состоит в том, что, вопервых, мнимая ось p -плоскости имеет бесконечную, а единичнаяокружность z -плоскости – конечную длину 2π.

Во-вторых, реализуемы только ЛИС-цепи конечного порядка, поэтому подстановкаp  f ( z ) в дробно-рациональную функцию H a ( p) должна даватьтакже дробно-рациональную функцию.Поскольку на единичной окружности z  e j , а при дискретизации должно обеспечиваться равенство  Td , связь комплексных переменных p и z , обусловленная дискретизацией аналоговых сигналов, описывается выражениямииz  e pTdp1ln z ,Td(12.17)(12.18)которые не являются дробно-рациональными. Различные способыпреодоления этой трудности лежат в основе двух рассмотренныхниже методов аналого-цифровой трансформации.Метод инвариантности импульсной характеристики.Передаточная функция произвольного аналогового фильтра (с сосредоточенными параметрами) имеет вид дробно-рациональнойфункции комплексного переменного p .

Характеристики

Список файлов книги