В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Если цепь является каузальной (физически реализуемой), то она устойчива в томи только в том случае, если все полюсы ее передаточной функцииH ( z )   h[n]z  nn0по модулю меньше единицы, т.е. находятся внутри единичной окружности.Самый широкий класс ЛИС-цепей конечного порядка6 образуют цепи, структура которых может быть сведена к каскадному соединению трансверсальной и рекурсивной частей, что соответствует разностному уравнению видаy[n]  b0 x[n]  b1x[n  1]  ...  bN 1x[n  N  1] a1 y[n  1]  a2 y[n  2]  ...  aM 1 y[n  M  1] 6ЛИС-цепи бесконечного порядка, очевидно, нереализуемы и представляют ограниченный интерес.33612. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВN 1M 1k 0r 1  bk x[n  k ]   ar y[n  r ] ,(12.10)откуда следует выражение для КЧХ дробно-рационального видаN 1jH (e ) bk ek 0M 1j k1   ar e  j.r(12.11)r 1В общем случае ЛИС-цепь конечного порядка с КЧХ вида(12.11) имеет бесконечно длинную импульсную характеристику(БИХ), но если полином-числитель делится на знаменатель без остатка, то результатом деления оказывается полином и импульснаяхарактеристика имеет конечную длину (таковы, например, КИХфильтры на основе частотной выборки, см.

ниже).12.3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕВыражение (12.1) позволяет в принципе найти спектральнуюплотность последовательности бесконечной длины, но для этогодолжно быть известно ее описание в виде замкнутого выражения(формулы). В практике цифровой обработки сигналов чаще требуется вычислять спектральную плотность сигнала, заданного своими отсчетами (естественно, отсчетов может быть лишь конечноеколичество N ). Тогда спектральная плотность согласно (12.1)имеет форму полинома порядка N  1 :N 1X (e j )   x[n] e jn0n.Известно, что для однозначного задания полинома порядка mотносительно комплексного переменного достаточно задать егозначения в ( m  1) точках комплексной плоскости, тогда полиномможет быть восстановлен при помощи интерполяционной формулыЛагранжа (см., например, [19]).

Следовательно, для однозначногоопределения спектральной плотности сигнала длины N достаточно найти значения преобразования Фурье в N различных точках,которые можно выбрать произвольно. С точки зрения простоты33712.3. Дискретное преобразование Фурьевычислений наилучший выбор состоит в размещении N точек2 k ,равномерно на единичной окружности, так чтоk Nk  1, N  1 (рис. 12.4). Значения спектральной плотности в этихточках образуют последовательность длины NN 1X  k    x[n] en0 i 2 knN, k  1, N  1 .(12.12)Это выражение носит название дискретного преобразования Фурье(ДПФ). Обратное ДПФ определяется выражениемx[n] i 2 kn1 N 1 X  k  e N , n  1, N  1 .N n0(12.13)Нетрудно видеть, что в выражениях прямого и обратного ДПФформально можно для переменных k и n задать бесконечные пределы, при этом левые части (12.12) и (12.13) определяют N -периодические последовательности.

Таким образом, ДПФ связывает какпоследовательности конечной длины, так и периодические последовательности. Эта двойственность должна учитываться при применении ДПФ (см., например, п. 12.4.1).Дискретное преобразование Фурье представляет собой не толькоинструмент анализа, но и алгоритм ЦОС. На его основе может бытьреализована фильтрация сигналов вIm zчастотной области следующим образом: для входного сигнала вычисляетсяejДПФ, полученные спектральные отсчеты умножаются на КЧХ фильтра, арезультат умножения подвергается обRe zратному ДПФ. Этот метод фильтрации1может быть более экономичным, чемвычисление свертки входного сигналас импульсной характеристикой фильтра, благодаря существованию оченьэффективных (быстрых) алгоритмов,которые получили название быстрого Рис. 12.4. Расположениеточек вычисления ДПФпреобразования Фурье (БПФ).на 1-окружности для N  633812.

ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ12.4. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫОсновное назначение дискретных ЛИС-цепей заключается вфильтрации дискретных сигналов, т.е. в избирательном воздействии на амплитуды и начальные фазы гармонических составляющихразличных частот. Это фактически означает, что любая ЛИС-цепьпредставляет собой фильтр. Однако интерес представляет построение фильтров с заданными наперед частотно-избирательными ифазовыми свойствами. Построить (синтезировать) фильтр – значитнайти его разностное уравнение (т.е. алгоритм вычисления выходного сигнала по известному входному) и/или структурную схему.Таким образом, под синтезом цифрового фильтра (ЦФ) обычнопонимается построение дискретной ЛИС-цепи с КЧХ заданнойформы. При решении задачи синтеза обычно не делают различиямежду дискретными и цифровым цепями, хотя, строго говоря, дискретная ЛИС-цепь становится цифровой в результате квантованиякоэффициентов ее разностного уравнения7.Ранее было показано, что ЛИС-цепь конечного порядка имеет вобщем случае КЧХ дробно-рационального вида (12.11), поэтому,очевидно, задача синтеза ЦФ сводится к аппроксимации желаемойКЧХ функцией дробно-рационального вида, так как зная эту функцию, легко составить структурную схему цепи или записать разностное уравнение вида (12.10).

Указанная аппроксимация сравнительно легко выполняется для КИХ-цепей, когда дробнорациональная функция вырождается в полином, и представляетсобой непростую задачу для общего случая. Поэтому методы синтеза ЦФ с конечными и бесконечными импульсными характеристиками совершенно различны.12.4.1. МЕТОДЫ СИНТЕЗА КИХ-ФИЛЬТРОВФильтры с конечной импульсной характеристикой имеютперед БИХ-фильтрами ряд преимуществ. Во-первых, КИХ-фильтры всегда устойчивы.

Во-вторых, только КИХ-фильтр может иметьстрого линейную фазочастотную характеристику [5, 19] (фильтр слинейной ФЧХ не искажает формы сигнала, если его спектр лежитв полосе частот, где амплитудно-частотная характеристика постоянна; при этом сигнал лишь задерживается на время, пропорциональное крутизне ФЧХ). Наконец, для КИХ-фильтров наиболее7При этом квантуются также отсчеты сигнала, в результате чего цепьперестает быть линейной.33912.4.

Цифровые фильтрыпросто решается задача аппроксимации КЧХ желаемого вида реализуемой функцией (тригонометрическим полиномом). ОднакоКИХ-фильтры имеют существенный недостаток по сравнению сБИХ-фильтрами:для обеспечения сравнимыхчастотноизбирательных свойств, в частности крутизны АЧХ в переходнойполосе частот, требуется КИХ-фильтр в десятки раз более высокого порядка, чем БИХ-фильтр. На практике в зависимости от конкретных обстоятельств применяются фильтры обоих типов. Нижевкратце рассматриваются методы синтеза КИХ-фильтров.Метод взвешивания (метод функций окна)КЧХ трансверсального дискретного фильтра представляет собой тригонометрический полином, т.е.

функцию видаMH (e j )   bn e jn .n  M(12.14)Здесь не предполагается каузальность фильтра; если каузальностьнеобходима, ее легко можно обеспечить умножением (12.14) нафазовый множитель e jM . Если желаемая КЧХ имеет видH ж (e j ) , то синтез КИХ-фильтра состоит в нахождении тригоно-метрического полинома, близкого в каком-то смысле к H ж (e j ) .Обычно в качестве критерия близости выбирается среднеквадратическая ошибка аппроксимации2  H (e j )  H ж (e j ) d ,тогда наилучшая аппроксимация обеспечивается, если коэффициентами полинома (12.14) являются коэффициенты разложения желаемой КЧХ в ряд Фурьеbn 1jj n H ж (e )e d , n   M , M .2 (12.15)Эти коэффициенты представляют собой отсчеты импульсной характеристики КИХ-фильтра, в общем случае некаузального.

Послесоответствующей задержки получается импульсная характеристика каузального фильтра h[n]  bn  M , n  0, N  1 , где N  2M  1 .Поскольку всякая ЛИС-цепь однозначно определяется своей импульсной характеристикой, на этом синтез КИХ-фильтра можнобыло бы считать законченным. Однако если желаемая КЧХ раз-34012. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВрывна (например, как часто бывает на практике, требуется АЧХпрямоугольной формы), получаемая КЧХ, как сумма усеченногоряда Фурье (12.14), содержит гиббсовские осцилляции.

Поэтомуприменяют дополнительное умножение импульсной характеристики на весовую последовательность («окно») подходящей формы.Причина явления Гиббса, как отмечалось в разд. 2, заключается вслишком медленном убывании коэффициентов фурье-разложенияразрывной функции, поэтому все применяемые окна убывают отсередины к краям [5, 19]. Для достижения приемлемых избирательных свойств длина импульсной характеристики, определяющая объем вычислений, на практике составляет обычно несколькосотен.Кроме метода взвешивания, иногда применяют другой способборьбы с гиббсовскими осцилляциями.

На этапе формулированиятребований к фильтру вводят переходную полосу, в которой задают закон непрерывного изменения АЧХ (например, линейный закон) [5]. Тогда ряд Фурье сходится равномерно и явление Гиббсаотсутствует. Это не означает, что исчезает неравномерность АЧХ,просто осцилляции теперь убывают по амплитуде с увеличениемпорядка фильтра.Следует также упомянуть машинные методы синтеза КИХфильтров на основе численной оптимизации. При этом подборомкоэффициентов КИХ-фильтра минимизируется взвешенная среднеквадратическая ошибка2  q ( ) H (e j )  H ж ( e j ) d ,где q ( ) – весовая функция, позволяющая управлять относительной значимостью ошибок на разных участках частотной оси, илимаксимальная взвешенная погрешность'  max q( ) H (e j )  H ж (e j ) .Эти методы позволяют получить меньшие погрешности аппроксимации по сравнению с описанным выше методом оконноговзвешивания, но их анализ значительно сложнее [5].Метод частотной выборкиМетод синтеза фильтров с конечной импульсной характеристикой, получивший название метода частотной выборки, основан назадании значений желаемой КЧХ в точках, расположенных равно-34112.4.

Цифровые фильтрымерно на 1-окружности и соответствующих точкам частотной оси(отсюда название метода) и аппроксимации КЧХ интерполяционным полиномом Лагранжа [5]. Этот метод приводит к построениюструктуры, содержащей трансверсальную и рекурсивную части,которой, тем не менее, соответствует конечная импульсная характеристика (см. разд. 12.2). Благодаря наличию рекурсии такиефильтры при реализации требуют меньшего числа операций посравнению с рассмотренными выше КИХ-фильтрами и оказываются предпочтительными.Метод быстрой сверткиФильтрация сигналов может быть выполнена в частотной области путем вычисления спектральной плотности входного сигнала, умножения ее на КЧХ фильтра и выполнения обратного преобразования Фурье (на практике для входного сигнала, которыйпредставляет собой реализацию случайного процесса, можно вычислить только дискретное преобразование Фурье). Этот на первый взгляд сложный способ нахождения выходного сигнала оказывается на практике более эффективным в вычислительномотношении, чем прямое вычисление свертки, благодаря существованию алгоритмов быстрого преобразования Фурье.

Характеристики

Список файлов книги