В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Такая функция можетбыть представлена в виде суммы дробейNAk,H a ( p)  k 1 ( p  pk )34712.4. Цифровые фильтрыгде pk , k  1, N – полюсы передаточной функции, а коэффициентыAk определяются из условия равенства числителя передаточнойфункции H a ( p) и числителя правой части после приведения ее кобщему знаменателю. (Здесь мы рассматриваем лишь практическиважный случай, когда степень числителя H a ( p) меньше степенизнаменателя, а все корни знаменателя некратные.)Ввиду линейности преобразования Лапласа импульсная характеристика такого фильтра имеет вид суммы экспоненциальныхNфункций непрерывного времени ha (t )   Ak e pk t  (t ) , гдеk 1(t ) –функция Хевисайда, определяемая выражением (2.1).Очевидно, для того чтобы импульсная характеристика затухаласо временем (т.

е. фильтр был устойчивым), необходимо и достаточно, чтобы все полюсы были расположены в p -плоскости слеваот мнимой оси.Метод аналого-цифровой трансформации, известный под названием метода инвариантности импульсной характеристики, основан на прямом применении теоремы отсчетов (теоремы Котельникова).

Рассматривая импульсную характеристику аналоговогофильтра-прототипа как функцию времени (сигнал), можно заменить ее последовательностью отсчетов, выбранных с достаточномалым шагом дискретизации Td .Результатом дискретизации импульсной характеристики аналогового фильтра будет последовательностьNNk 1k 1h[n]  ha (nTd )   Ak e pk nTd  u[n]   Ak rk n  u[n] ,где rk  e pkTd – полюсы передаточной функции цифрового фильтра,1, n  0,u[n]  0, n  0.Из полученного выражения видно, что при дискретизацииимпульсной характеристики каузального аналогового фильтрас дробно-рациональной передаточной функцией получается суммакаузальных экспоненциальных последовательностей, следовательно, реализуемому аналоговому фильтру соответствует реализуемый цифровой фильтр.

Кроме того, полюсы цифрового фильтра связаны с полюсами фильтра-прототипа соотношением34812. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВrk  e pkTd , k  1, N , поэтому устойчивому аналоговому фильтру( Re{ pk }  0 ) соответствует устойчивый цифровой фильтр того жепорядка N (так как rk  e pkTd  1 ). Зная полюсы цифровогофильтра, можно сразу записать его передаточную функциюNAk,H ( z)  1k 1 (1  rk z )и на этом аналого-цифровая трансформация заканчивается, так какзная передаточную функцию, легко составить структурную схемуи разностное уравнение цифрового фильтра.Поскольку импульсная характеристика цифрового фильтра естьпродукт дискретизации импульсной характеристики аналоговогофильтра, КЧХ цифрового фильтра связана с КЧХ аналоговогофильтра соотношением (см.

разд. 2.11)1 H (e j )  H (e j Td )  H a  j   k d  , (12.19)Td k где d  2 / Td – частота дискретизации. Очевидно, если КЧХпрототипа не финитна, а это всегда так для фильтров конечногопорядка, то неизбежно наложение (суммирование) «хвостов» сдвинутых копий Ha () , и, как следствие, искажение формы получаемой КЧХ дискретного фильтра по отношению к КЧХ фильтрапрототипа. Этот эффект ограничивает практическое применениеметода инвариантности импульсной характеристики в основномзадачами синтеза цифровых фильтров нижних частот.Метод билинейного преобразования основан на аппроксимациивыражения (12.18), позволяющей сохранить дробную рациональность передаточной функции. Подставив разложение функции логарифма в ряд, ограниченное первым слагаемым, получим3 2 z 1 z  152  z  1  z  1p...,Td  z  1 3  z  13 5  z  15 Td z  1илиp2 1  z 1.Td 1  z 1(12.20)Это выражение дробно-рационально относительно z 1 , поэтомупосле его подстановки в дробно-рациональную передаточную34912.4.

Цифровые фильтрыфункцию H a ( p) аналогового прототипа получается снова дробнорациональная, а следовательно, реализуемая передаточная функцияH ( z ) цифрового фильтра.Выясним, как располагаются в z -плоскости полюсы передаточной функции H ( z ) , если полюсы передаточной функции прототипа H a ( p) находятся в левой части комплексной плоскости(иными словами, является ли устойчивым цифровой фильтр, еслиустойчив фильтр-прототип).Выразим на основе (12.20) комплексное переменное z через p :отсюдаz 1 pTd  pTd  2  2 z 1 ;z2  pTd.2  pTd(12.21)Чтобы выяснить, в какое множество z -плоскости отображаетсямнимая ось p -плоскости (ось частоты), подставим в это выражение j вместо p , тогда получим выражение для образа мнимойоси p -плоскости при отображении, описываемом выражением(12.21):2 / Td  jz.2 / Td  jЧислитель и знаменатель этой дроби суть комплексно-сопряженные числа, поэтому модуль дроби равен единице при всех .Это означает, что мнимая ось p -плоскости отображается преобразованием (12.21) на единичную окружность z -плоскости.

Но переменная– это частота, соответствующая описанию аналогового фильтра; роль частотной оси для цифровых цепей играетединичная окружность на z -плоскости (множество точек e j призначениях , принимающих значения из интервала от  до ).Заменяя z на e j , получимej тогда2 / Td  j2 / Td  j1  j Td / 2;1  j Td / 21  j Td / 2 Td, arg   2arctg21  j Td / 2 35012. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВследовательно, связь «аналоговой» и «цифровой» частот при билинейном преобразовании описывается выражениямиT arctg d ,22Td(12.22) tg .22Поскольку   , а     , нетрудно видеть, что всяаналоговая частотная ось (бесконечной длины) отображается наединичную окружность (длины 2 ), причем это отображение однократно в отличие от (12.19), и вследствие этого различные участки осииспытывают различное «сжатие» при отображении на(единичную окружность).

Это необходимо учитывать приосьпроектировании цифровых фильтров на этапе определения требований к частотам среза фильтров-прототипов.Заслуживает внимания вопрос, насколько вредна нелинейнаятрансформация частотной оси с точки зрения задачи синтеза цифровых фильтров. Очевидно, что при проектировании фильтров с желаемыми АЧХ кусочно-постоянного вида указанная нелинейностьтрансформации частотной оси не влияет на качество цифровогофильтра, так как приводит лишь к необходимости на этапе построения аналогового фильтра-прототипа учитывать последующее изменение характерных частот фильтра (граничных частот) при билинейном преобразовании. Если же требуется построить фильтр, неявляющийся типовым (ФНЧ, ФВЧ, полосовым или режекторным),то в общем случае нелинейность отображения частотной оси приводит к искажению формы АЧХ.

Например, интегрирующий аналоговый фильтр имеет амплитудно-частотную характеристику гиперболического вида  1/и при билинейном преобразовании неприводит к интегрирующему цифровому фильтру.Для того чтобы устойчивый аналоговый фильтр трансформировался в устойчивый же цифровой фильтр, требуется, чтобы прибилинейном преобразовании левая полуплоскость p -плоскостиотображалась внутрь единичной окружности. Разлагая p на мнимую и вещественную части, получим для билинейного преобразования (12.21)2  Re  pTd   j Im  pTd z.2  Re  pTd   j Im  pTd Поскольку мнимые части числителя и знаменателя одинаковы,модуль дроби будет меньше 1, если Re  pTd   0 .

Тогда любойполюс функции H a ( p) , лежащий слева от мнимой оси, отобража-12.4. Цифровые фильтры351ется в полюс функции H ( z ) , расположенный внутри 1-окружности. Это означает, что устойчивый аналоговый фильтр трансформируется преобразованием (12.20) в устойчивый дискретныйфильтр.Итак, установлено, что билинейное преобразование трансформирует устойчивый реализуемый аналоговый фильтр в устойчивыйреализуемый цифровой фильтр.

При этом вследствие однократности отображения частотной оси на 1-окружность отсутствует наложение «хвостов» КЧХ, что является достоинством билинейногопреобразования. К недостаткам следует отнести то, что не сохраняются ни импульсная, ни фазочастотная характеристики фильтра(точнее говоря, импульсная и фазочастотная характеристики дискретного фильтра могут сильно отличаться по форме от соответствующих характеристик прототипа).Порядок расчета цифрового фильтра методом билинейногопреобразования состоит в следующем:1) определение характерных частот ЦФ и пересчет их в частотыаналогового фильтра в соответствии с (12.22);2) синтез аналогового фильтра, удовлетворяющего заданнымусловиям;3) подстановка формулы (12.20) билинейного преобразования ввыражение H a ( p) передаточной функции фильтра-прототипа.Реализация цифровых фильтров (и других алгоритмов цифровой обработки сигналов) возможна на различной элементной базе.Выбор конкретного воплощения алгоритма ЦОС производитсяразработчиком с учетом различных показателей, к которым относятся стоимость, массогабаритные характеристики, энергопотребление, быстродействие и т.п.

В каждом конкретном случае одинили несколько показателей играют наиболее важную роль в выбореспособа реализации. Например, в системах подвижной радиосвязиглавными показателями являются быстродействие (обработкадолжна выполняться в реальном времени) и массогабаритные характеристики, при этом желательно обеспечить малое энергопотребление и умеренную цену мобильной станции. Устройство обработки сигналов в таких системах работает по жесткималгоритмам, которые не изменяются в течение всего срока эксплуатации изделия; точность представления данных (разрядность)должна быть достаточна для обеспечения комфортности восприятия речи (разборчивости и возможности узнавания собеседника) иявляется поэтому сравнительно невысокой.

Характеристики

Список файлов книги