Воронов Е. М. Методы оптимизации управления ММС на основе стабильно-эффективных игровых решений (2001) (1264203), страница 91

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 91)

СТЭК при управлении производственными предприятиями 509Введем безусловную функцию полезностиV= U + λ ⋅ s ,которую необходимо максимизировать. Необходимое условие экстремумафункции V [8]: ∂V ∂U−λ=( h 1, m );Ph 0, =a ∂=C ∂Ch h∂U ∂V− λ==rg 0,( g 1, n ); б = ∂S g ∂S g(11.8) ∂V = s= 0;в ∂λ∂U ∂Ch ∂U ∂S gа, б ⇒= =λ(h =1, m; g =1, n ).∂Ph∂rgДля функции полезности U в форме Кобба–ДугласаαβαβU = M ∗ C1 1 ∗ ...

∗ Cmm ∗ S1 1 ∗ ... ∗ Sn n ,(11.9)где 0 < αh < 1; 0 <β g <1; C h ≥ 0; S g ≥ 0; U ≥ 0; M > 0, h = 1,…,m; g = 1,…,n.Используя (11.8а, б), получаемαh UСh =× ,(h =1,…, m );Ph λβg USg =× ,rg λ(g =1,…, n ).Подставляя Ch и S q в (11.7) или в (11.8в), получаемСh=Iah=× , ( h 1, m );a1 + ... + am + β1 + ... + βn Pha(11.10)I=× , ( g 1, n ).бa1 + ...

+ am + β1 + ... + βn rgДля проверки выполнения достаточного условия экстремума используем гессианский определитель вторых производных [58].Окончательно функция спроса для потребителяαj,C j ⋅ Pj = v j ⋅ I , ν j =mm∑ α j + ∑β jβg=Sg11где ν j – доля бюджета, планируемая для покупки товара C j .Для рынка j-го товара, на котором спрос формируют потребителиk= 1, …, lll∑ Pj ⋅ C jk = ∑ ν k ⋅ I k=k 1=k 1или Pj ⋅ Q j =const ,(11.11)где Q j – суммарный объем продаж j-го товара на потребительском рынке.510Исследование стабильности, эффект. и элементов СТЭК. Часть IVЕсли данный товар производит N предприятий, то функция спросапринимает видN∑ PjiQ ji =const .i =1(11.12)()При одинаковой цене однородного товара Pij = P получим функциюспроса в видеNP ∑ Qi = const .(11.13)i =111.3.

ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРЕДПРИЯТИЯДЛЯ СТАТИЧЕСКОЙ ОЛИГОПОЛИИФормирование модели производственных связей и целевого показателя. Предполагаем, что задача предприятия заключается в максимизации прибыли на долговременном этапе и контроле издержек. Предположение о максимизации прибыли часто используется в микроэкономике, так как с его помощью можно точно прогнозировать поведение предприятия.Прибыль представляет собой разницу между доходом и издержкамипроизводства.Совокупный доход R , получаемый предприятием, равен цене продуктаP умноженной на количество продаваемых единиц Q :R ( Q )= P ⋅ Q .(11.14)Размер дохода зависит от объема выпуска продукции.Валовые издержки TC на производство определенного объема продукции равны сумме издержек на оплату рабочей силы w ⋅ L ( w – средняязарплата работающих, L – количество занятых в производстве человек) икапитальных издержек r ⋅ K ( K – капитал, участвующий в производстве,r – доля капитала, уплачиваемая за аренду оборудования):(11.15)TC = w ⋅ L + r ⋅ K .Аналогично функции полезности набора товара для потребителя вводится функция полезности использования факторов производства, описывающая объем выпускаемой продукции при данном уровне развития производства и количестве используемых факторов:()Q =⋅G K γ1 ⋅ Lγ 2 ,(11.16)где G; 0 < γ1 < l , 0 < γ 2 < l – коэффициенты, определяемые уровнем развития производства.Если считать ограничение по валовым издержкам аналогом ограничения по бюджету, то, не проводя рассуждений об эффективности использо-Глава 11.

СТЭК при управлении производственными предприятиями 511вания факторов производства, можно утверждать, что решение( L, K )представляет собой семейство точек касания кривых, описывающих Q, ипрямых линий, описывающих TC (рис. 11.3).Рис. 11.3. Связь издержек с объемом производстваТаким образом, для любого объема производства можно однозначноопределить валовые издержки.Прибыль предприятия равна:(11.17)ℑ = π ( Q ) = R ( Q ) − TC ( Q ) .Очевидно, что прибыль достигает максимума, когдаδR ( Q ) δTC ( Q ).(11.18)=δQδQПолучение производственной функции Кобба–Дугласа. Производственная функция (ПФ) – это функция, независимые переменные которойпринимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов,а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска.Экономист Пол Дуглас показал, что распределение национального дохода между капиталом и трудом почти не изменяется с течением времени.Другими словами, по мере роста производства как рабочие, так и собственники капитала пользуются благами возросшего процветания экономики в постоянной пропорции.

Этот результат поставил вопрос о причинах постоянства долей факторов производства.Описывающая этот факт производственная функция должна обладатьсвойствами:Исследование стабильности, эффект. и элементов СТЭК. Часть IV512 δQ доход на капитал = P ⋅  ⋅ K = γ ⋅ R (Q ) , δK  δQ доход на труд = P ⋅  ⋅ L= ( l − γ ) ⋅ R ( Q ) , δK (11.19) δQ где  – предельный продукт капитала: количество продукта, произ δK веденного на единицу капитала; ∂Q / ∂L – предельный продукт труда: количество продукта, произведенного на единицу труда; Q – производственная функция; 0 < γ < 1 – постоянная, измеряющая долю капитала в доходе(определяет, какая часть дохода достается владельцам капитала, а какаяидет на оплату труда).Математик Чарльз Кобб показал, что функцией, обладающей такимисвойствами, является(11.20)Y =F ( K , L ) =A ⋅ K γ ⋅ Ll −γ ,где A – положительный параметр, измеряющий производительность существующей технологии.

Эта функция стала известна как производственная функция Кобба–Дугласа.Многие экономисты подтвердили, что функция Кобба–Дугласа правильно отражает то, каким образом экономика преобразует производственные ресурсы в конечную продукцию.31− γγ2,521,510,501945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 годРис. 11.4. Отношение дохода труда к доходу капитала в США с 1948 г. по 1989 гНа рис. 11.4 показано отношение дохода труда к доходу капитала вСША с 1948 г. по 1989 г. Несмотря на множество изменений в экономике,имевших место за последние четыре десятилетия, это отношение оставалось в границах от 2 до 3 (см.

рис. 11.4). Такое распределение дохода легкоГлава 11. СТЭК при управлении производственными предприятиями 513объясняется производственной функцией Кобба–Дугласа, в которой долякапитала γ равна приблизительно 0,3.Формирование модели управления ресурсами на товарном рынке,использующей статическое описание олигополии. Борьбу на рынке ведут несколько предприятий-фирм. Каждая фирма должна решить, сколькопродукции ей выпускать. Все фирмы принимают решение в одно и то жевремя.

Вводится следующая модель описания рынка и каждой фирмы.1) P ⋅ ∑ i Qi =const – функция спроса на товар, производимый фирмами,которая была получена с использованием функции полезности Кобба–Дугласа, где Qi – объем производства i-й фирмой, P – цена товара нарынке, const – определяется бюджетными ограничениями потребителяи его предпочтениями.2) Совокупный доход, получаемый i-й фирмой, где N – число фирм:const.(11.21)Ri (Qi ) =P ⋅ Qi =Qi ⋅ N∑ Qii =13) Прибыль, получаемая фирмой, определяется не только доходом, получаемым от продажи продукции, но и издержками производства. Еслидоход определяется лишь сложившейся конъюнктурой рынка готовойпродукции, то издержки определяются особенностями производства(организацией процесса производства, используемыми технологиями).4) Объем выпускаемой продукции каждой из фирм описывается следующим образом:Qi =Ai ⋅ K iγi ⋅ Lli −γl – для i-й фирмы,(11.22)где Ki – капитал, участвующий в производстве продукции i-й фирмой;Li – количество работников на i-й фирме, i = 1, N ; Ai и 0 < γ i < 1 – по-казатели технологического процесса для i-й фирмы, i = 1, N .5) Вектор управляющих параметров имеет следующий вид:qi =K i  – для i-й фирмы. Li (11.23)6) Валовые издержки имеют видTCi = Li ⋅ w + K i ⋅ r – для i-й фирмы,где w – средняя зарплата работающих в данной отрасли; r – доля капитала, уплачиваемая за аренду оборудования.Таким образом, прибыль каждой фирмыπi = Ri − TCi , где i = 1, N .(11.24)514Исследование стабильности, эффект.

и элементов СТЭК. Часть IV7) Задача каждой фирмы состоит в максимизации собственной прибылипри условии ограничений на превышение производственными затратами запланированных производственных затратI iT = [ Fi1 , Fi 2 ] – вектор показателей для i-й фирмы.Задача сводится к задаче минимизации:Fi1 = −πi → min ,(11.25)если TCi ≤ TCi* 0,→ min .** TCi − TCi , если TCi ≥ TCi8) Формируется обобщенный скалярный критерий для i-й фирмы:(11.26)ℑ=Fi1 + αi ⋅ Fi 2 → min ,iFi 2)(где αi – штрафные веса, определяющие учет превышения реальныхиздержек над планируемыми.11.4. СТАБИЛЬНО-ЭФФЕКТИВНЫЕ КОМПРОМИССЫНА МОДЕЛЯХ СТАТИЧЕСКОЙ ОЛИГОПОЛИИРасчет СТЭК для задачи управления ресурсами на товарном рынке, использующей статическое описание дуополии ( N = 2 ) .

Для дуополии модель принимает вид:const– цена товара.Q2 + Q2Совокупный доход, получаемый каждой фирмой, равенconstconst.R1 ( Q1 ) =P ⋅ Q1 =Q1 ⋅, R2 ( Q2 ) =P ⋅ Q2 =Q2Q1 + Q2Q1 + Q2Объем выпускаемой продукции каждой из фирмP=Q1 =A1 ⋅ K1γ1 ⋅ L11−γ1 Q2 =A2 ⋅ K 2γ 2 ⋅ L12−γ 2 .Векторы параметровq1 = K1  , q 2 =  K 2  . L2  L1 Валовые издержки имеют видTC1 = L1 ⋅ w + K1 ⋅ r , TC2 = L2 ⋅ w + K 2 ⋅ r .Прибыль каждой фирмы:π1 = R1 − TC1 , π2 = R2 − TC2 .Вектора показателей принимают вид:J1T =  F11 , F12  ,Глава 11. СТЭК при управлении производственными предприятиями 515 0,если TC1 ≤ TC1*где F11 = −π1 → min , F12 =→ min ;** TC1 − TC1 , если TC1 ≥ TC1)(I 2T =  F21 , F22  , 0,если TC2 ≤ TC2*где F21 = − π 2 → min, F22 =→ min .** TC2 − TC2 , если TC2 ≥ TC2Обобщенные критерии:ℑ=F11 + α1 ⋅ F12 → min , ℑ=F21 + α2 ⋅ F22 → min.12Исходные данные для предприятия среднего уровня:1) годовая характеристика спроса на товар, определяемая бюджетнымиограничениями потребителей и их предпочтениями const = 2 млрд.руб.;2) средняя зарплата работающих в данной отрасли w =36 тыс.

Характеристики

Список файлов книги