Воронов Е. М. Методы оптимизации управления ММС на основе стабильно-эффективных игровых решений (2001) (1264203), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

7.17. Графики функций n 0 , f ( ξ) , ξ ,Ψ и ΨΘΘПродолжение исследования задачи будет проведено после выявленияэкстремальных структур управления в задаче максимизации расстояния,пройденного объектом (7.124) за фиксированное время T .7.3.3.Решение задачи максимизации R 2 (T )Все соотношения (7.126) – (7.128), (7.130) – (7.140), описывающие динамику основной и сопряженных систем управлений, вектор управления,начальные и конечные условия, остаются в силе.Отличие состоит в следующем: требуется не минимизировать, а максимизировать функционал-расстояние, пройденное объектом:()=J max X (T )2 + Y (T ) 2 .u(7.156)Известно, что при максимизации функционала необходимо минимизировать Гамильтониан, задаваемый соотношением (7.96), т.е. найти(7.157)min H .uСначала рассмотрим минимизацию Гамильтониана по n , тогда оптимальное значение перегрузки определяется выражениемЗадачи управления двухкоалиционными ММС.

Часть II284g cosΨgg sin  Ψg.(7.158)n0 =−n′ ⋅ sign  Θ− ΨVV cos Θ Рассуждения относительно точек переключения аналогичны задачеминимизации R 2 (T ) .Рассмотрим задачу min H . Для того чтобы достигался минимум Гаγмильтониана по переменной γ, необходимо, чтобы∂H∂γ=0;(7.159)>0.(7.160)γ0достаточно, чтобы∂2 H∂γ 2γ0Рассмотрим первое условие, совпадающее с аналогичным условием(7.105)ΨΨ.(7.161)tgg 0 =−Ψ Θ cos ΘРассмотрим второе условие (7.160)00  ΨgΨg∂2 HΘ g cosΨ g sin(7.162)=n−+>0VV cos Θ ∂g 2 g0или ΨgΨgg cos 0g sin 0 (7.163)n Θ− Ψ<0.VV cos Θ При условии, что перегрузка n принимает оптимальное значение в соответствии с (7.158), условие (7.163) принимает вид ΨgΨgg cos 0g sin 0 −n ′ ⋅ sign ⋅  Θ− Ψ×VV cos Θ (7.164)или ΨgΨgg cos 0g sin 0 × Θ− Ψ<0VV cos Θ n ′⋅0g sin 0ΨgΨgΘ g cos− Ψ>0VV cos Θ(7.165)Поскольку n ′ > 0 , то достаточное условие (7.160) в виде (7.165) справедливо всегда, если выполняется условие (7.158).

Поэтому формулы(7.158) и (7.161) определяют оптимальные значения параметров управления n 0 и γ 0 всегда, кроме отдельных моментов времени, когда терпит раз-Глава 7. Программно-корректируемое позиционное управление285рыв первого рода. Аналогично задаче минимизации, в случае, если такоймомент времени является началом участка особого управления, то γ 0 может быть любым допустимым в соответствии с условием (7.159), посколь0ку nособ= 0.Таким образом, для минимизации Гамильтониана по управлению uнеобходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (7.158) и (7.161).Повторив выкладки из предыдущей задачи, можно показать, что движение с параметрами(7.166)γ 0 (t ) =0,n 0 =−n ′ ⋅ sign [ Ψ Θ ](7.167)является экстремалью Понтрягина, причем для некоторых направлений νплоское движение (7.166) является единственным.Таким образом, и для задачи максимизации расстояния, пройденногообъектом за фиксированное время T , оптимальная траектория всегда лежит в плоскости, определяемой вектором скорости V и направлением ν .Теперь необходимо определить оптимальное управление перегрузкой0 в плоскости ( X νO0Yν ) .n при движении с креном γ 0 (t ) =Гамильтониан с учетом (7.121), (7.116), (7.166) принимает видng.(7.168)H = Y X ⋅V cos Θ + YY ⋅V sin Θ + Y ΘVВводя в рассмотрение угол ϕ , аналогично задаче минимизации расстояния, получим с учетом (7.167), (7.127)(7.169)=H A cos ξ − Ψ Θ ⋅ n ′g / V ,(7.170)Ψ = A sin ξ ,Θf (=ξ) A cos ξ .Рассмотрим графики функций (7.170) и (7.171) (рис.

7.18).f (ξ )H(t) = H(T)ξ∗ξξ (T )ξ0A− Ψ θ n′qVРис. 7.18. Условия при максимизации R 2 (T )(7.171)286Задачи управления двухкоалиционными ММС. Часть IIПовторяя рассуждения, приведенные в задаче минимизации, можновыявить четыре структуры управления-экстремали Понтрягина, среди которых есть и структура оптимального управления. Эти структуры по форме совпадают со структурами задачи минимизации расстояния.7.3.4.Выбор оптимальных управлений на множествеэкстремалей Л.С. ПонтрягинаПрограмма управления углом крена γ , определяемая соотношениями(7.122), (7.166), обладает свойствами экстремальности (экстремума) по отношению к функционалу, определяемому соотношениями (7.92), (7.156), идает максимум или минимум этому функционалу в зависимости от программы изменения другой составляющей вектора управления n , определяемой по соотношениям (7.92), (7.167). В отличие от γ 0 , программы изменения величины n 0 для минимизации и максимизации функционала вобщем случае совпадать не могут.

Как будет показано ниже, они совпадают только в том случае, когда существует единственное управление, удовлетворяющее краевым условиям.Как было показано, структуры экстремалей являются одинаковыми длязадачи минимизации и максимизации, поэтому сейчас необходимо из этихвыявленных структур выбрать две структуры: минимизирующую расстояние и максимизирующую расстояние, пройденное объектом (7.124) зафиксированное время T .

При этом необходимо обратить особое вниманиена удовлетворение краевого условия (7.126).Напомним эти четыре структуры экстремалей:1) функция n 0 знакопостоянна на всем интервале [t0 , T ] и не имеет переключений;2) функция n 0 имеет 1 точку переключения на интервале [t0 , T ] , приэтом первый участок знакопостоянства не длиннее второго;3) функция n 0 имеет l точек переключения на интервале[t0 , T ]( l 2,3, 4,...∞ ), все интервалы знакопостоянства равны друг другу по=длительности, за исключением первого, который может быть корочеостальных;4) функция n 0 имеет 2 интервала на участке [t0 , T ] : [t0 , t* ] – первый смаксимальным по модулю значением n 0 = ± n′ ; [t* , T ] – второй уча0сток особого управления nособ= 0.Структуры 1) – 3) можно условно объединить для сокращения числааналитических выражений в структуру с l точками переключения, где=l 0,1, 2,...∞ .Глава 7.

Программно-корректируемое позиционное управление287При движении в плоскости ( X νO0Yν ) (рис. 7.14) с использованием перегрузки с l точками переключения, точные аналитические выражения,определяющие координаты объекта (7.124) в любой момент времениt = T , имеют вид [54]V  n ′gt1  n ′g (t2 − t1 )  X n (T ) =(l + 1) sin  + l sin  ,n ′g VV2±Yn (T ) =V2  n ′gt1  n ′g (t2 − t1 )  1 − (l + 1) cos  + l cos  ,n ′g VVZ ν (T ) = 0 .(7.172)(7.173)(7.174)Здесь l – число точек переключения=( l 0,1, 2,3,..., ∞ ) , t1 – длительность первого участка, t2 – длительность последующих участков.Знак «плюс» или «минус» в соотношении (7.173) берется в зависимостиот знака перегрузки на первом участке с длительностью t1 .Если все периоды знакопостоянства равны по длительности, то соотношения (7.172) – (7.174) приобретают вид n ′gT V2(7.175)X=(l + 1) sin n (T ),n′g V (l + 1)  n ′gT  V2Yn (T ) =±(l + 1) 1 − cos  ,n ′g V (l + 1)  (7.176)Z ν (T ) = 0 .(7.177)При использовании четвертой структуры координаты объекта в любоймомент времени t = T описываются точными аналитическими выражениями в системе ( X νO0Yν ) :V2 n ′gt1  n ′gt1 + V cos X n (T ) = sin  (T − t1 ) ,n ′g V  V (7.178)V 2  n ′gt1   n ′gt1 (7.179)Yn (T ) =±1 − cos + V sin (T − t1 )  , V  V  n ′g (7.180)Z ν (T ) = 0 .Поскольку ускорение действует всегда перпендикулярно скорости полета, то объект, использующий управление в виде первой структуры, движется по окружности с радиусомV2.(7.181)n ′gВремя, за которое объект пройдет четверть этой окружности, определяется формулойR=Задачи управления двухкоалиционными ММС.

Часть II2882 πRπV.(7.182)⋅ 0, 25 =V2 gn ′Половина окружности будет пройдена за времяπV.(7.183)T2 =gn ′Три четверти окружности будет пройдено за время3πV,(7.184)T3 =2 gn ′а вся окружность – за время2 πV.(7.185)T4 =gn ′Цель состоит в том, чтобы из четырех структур экстремалей, удовлетворяющих принципу максимума, выбрать такие, которые максимизируют или минимизируют расстояние, пройденное объектом за фиксированное время T в заданном направлении. Поэтому, зная аналитические выражения для всех четырех структур и задавшись каким-нибудьконкретным численным значением n′ и V , необходимо получить множество точек – правых концов траекторий движения для фиксированных моментов времени, например, для T1 , T2 , T3 , T4 , определяемых поT1 =соотношениям (7.182) – (7.185). Множества точек показаны на рис.

7.19– 7.22. Для всех моментов прослеживаются следующие закономерности: получена замкнутая геометрическая фигура, границами которойявляются:а) множества, полученные на экстремалях второй структуры – ближняяграница;б) множества, полученные на экстремалях четвертой структуры – дальняяграница.Множества, полученные на экстремалях третьей структуры, всегда попадают внутрь этой геометрической фигуры, которая и является сечениемобласти достижимости (ОД) объекта (7.88) плоскостью, проходящей черезвектор начальной скорости V (t0 ) и прямую, задающую направление ν впространстве координат.Необходимо отметить, что первая структура определяет в сечении немножества, а точки, которые одновременно принадлежат и ближней гра-{}{}нице ∂ −G (t0 , T ) ∂ − G (t0 , T ) , и дальней границе ∂ + G (t0 , T ) ∂ + G (t0 , T ) областей суб- и супердостижимости (7.88).Множества, полученные на экстремалях третьей структуры, определены для l = 2;3 .Глава 7.

Программно-корректируемое позиционное управлениеРис. 7.19. ОД для t = T1Рис. 7.20. ОД для t = T2Рис. 7.21. ОД для t = T3Рис. 7.22. ОД для t = T4При l → ∞ , приняв t1 ≈ t2 , получим из выражений (7.178) – (7.180)289Задачи управления двухкоалиционными ММС. Часть II290V 2n ′gT  V 2 (l + 1)n ′gTX n (T ) = lim l + 1) ⋅ sin= V ⋅T ,(=l →∞ n ′gn′g ( l + 1)V(l + 1)V (7.186) V2 n ′gT   Yn ( T=⋅ ( l + 1) ⋅  1 − cos ± 0,) llim =→∞  n ′g V ( l + 1)   Z ν (T ) = 0 .(7.187)(7.188)То есть только в пределе, когда точек переключения бесконечно много,третья структура дает такой же максимум пройденного расстояния, что ичетвертая структура – с особым управлением. При этом условия для правого конца траектории (7.126) могут быть удовлетворены только для единственного направления – определяемого прямой ν∞ , тогда как для 4-йструктуры условия (7.126) на правом конце могут быть удовлетворены длявсех возможных направлений от ν1 до ν∞ .Необходимо отметить, что при увеличении числа l множество удовлетворимых условий на правом конце траекторий постоянно уменьшается.Например, для направлений от ν1 до ν2 вообще не найдется допустимых(в смысле удовлетворения условия на правом конце траекторий) траекторий в третьей структуре экстремалей.

Характеристики

Список файлов книги