Митрохин В.Н. Электродинамические свойства материальных сред (2006) (1247706), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если рассматривать связь зарядов вданном электрическом поле как упругую, то очевидно, что вектор поляризации Р должен быть прямо пропорционален векторунапряженности электрического поля в соответствии с первым45соотношением из (1.3), т. е. P = ε0 χ э E. Подставляя вектор поляризации в первое выражение (1.2), определяем формулу для вектора электрической индукции в виде (1.4): D = (1 + χ э )ε0 Е = ε а Е.Характер диэлектрической проницаемости εа соответствует видусреды (см.
разд. 1.1).5.1. Индуцированная поляризацияИндуцированная поляризация состоит из электронной, ионнойи ориентационной составляющих. Первая обусловлена смещениемэлектронов относительно ядра, вторая – взаимным смещением отрицательных и положительных ионов кристаллической решетки.Ориентационная поляризация проявляется в диэлектрике, молекулы которого обладают собственным электрическим моментом схаотической ориентацией их в отсутствие внешнего электрического поля. Такие молекулы называются полярными.
Под действиемвнешнего поля Е молекулы ориентируются в соответствующемнаправлении.5.1.1. Электронная поляризацияВ свободном атоме или ионе центр тяжести электронного облака, усредненного по времени, совпадает с ядром. Электрическиймомент атома равен 0. Внешнее электрическое поле Е вызываетсмещение электронного облака относительно ядра и индуцирует ватоме электрический момент piэ . Его величина зависит от напряженности поля и деформируемости электронной оболочки, определяемой соотношением напряженности внешнего и внутреннегоатомарных полей. При снятии внешнего поля электрические силыбудут возвращать заряды в положение равновесия. Однако из-заналичия массы у частиц (электронов и ионов) и связанной с неюинерцией движение частиц после снятия поля будет иметь осциллирующий характер, так что состояние равновесия наступает благодаря затуханию этих осцилляций.В соответствии с изложенным классическая теория индуцированной поляризации диэлектриков исходит из так называемой осцилляторной модели (модели квазиупругих диполей).Пусть собственная частота колебаний для электронов, ответственных за переменную электрическую поляризацию, равна ω0.
То46гда движение каждого из таких электронов в электрическом полеЕ можно описать уравнением осциллятораmd 2rdt2+ mω02r + mγdr= eE,dt(5.1)где m и е – масса и заряд электрона; r – вектор смещения электрона относительно положения равновесия; слагаемые в левой частиуравнения представляют собой соответственно силу инерции, квазиупругую силу, стремящуюся возвратить электрон в положениеравновесия r = 0, и диссипативную силу, которая является пропорциональной скорости движения электрона dr/dt и обусловливаетзатухание колебаний; γ – константа затухания, имеющая размерность частоты; в правой части уравнения (5.1) сила электрическогополя, действующего на электрон.Со смещением заряда е на расстояние r связан дипольный момент p1 = er, поэтому уравнение (5.1) можно переписать в видеd 2p1dt 2+ ω02p1 + γdp1 e2= E.dtm(5.2)Если Е∼ exp(iωt), то р1∼ exp(iωt), а (5.2) принимает вид (–ω2 ++ ω02 + iωγ)p1 = (e2/m)E.
Следовательно,p1 =e21E = ε0 χ э1E,2m ω0 − ω2 + iωγ(5.3)e212ε 0 m ω 0 − ω 2 + iωγ(5.4)гдеχ э1 =– поляризуемость одного осциллятора. Если в единице объема содержится N таких осцилляторов, то соответствующая диэлектрическая восприимчивость равнаχ э = N χ э1 =Ne 21.2ε 0 m ω0 − ω + iωγ47Обычно атому (молекуле), из которых состоит диэлектрик,можно поставить в соответствие несколько сортов осцилляторов,каждый из которых имеет собственную частоту ω0i и относительное число: fi = Ni /N.
В этом случае полная диэлектрическая восприимчивость равнаχэ =fiNe 2,∑ 2ε0 m i ω0i − ωi2 + iωγ i(5.5)где суммирование ведется по всем осцилляторам, которые вносятвклад в величины χэ и fi.С позиций квантовой механики осциллятору с частотой ω0i соответствует определенный квантовый переход между уровнямиатома (молекулы) Wn и Wm, такими, что (Wn – Wm)/ħ = ωnm ≡ ω0i.Числа fi связаны с интенсивностями соответствующих квантовыхпереходов.Обычно ω0i >> γI, и в этом случае частотная дисперсия восприимчивости χэ особенно сильно проявляется вблизи собственныхчастот, т. е.
при ω ≈ ω0i. Вблизи этих частот она носит резонансный характер. Вблизи какой-то конкретной частоты (ω0i = ω0) другими (нерезонансными) членами в сумме (5.5) можно пренебречь,и поэтому при ω ≈ ω0 можно написать следующее приближенноевыражение для диэлектрической проницаемости диэлектрика:ε = 1 + χ э ≈ 1 +где ω р =ω 2р fω 02 − ω 2 + iωγ,(5.6)Ne2– плазменная частота (см.
(3.7)); f – сила осцилляε0 mтора для рассматриваемого резонансного перехода с частотой ω0 изатуханием γ.Диэлектрическая проницаемость ε = ε′ − iε′′ (см. (2.10)) вблизичастоты ω ≈ ω0 с учетом (5.6) принимает видε′ = 1 +48f ω 2р (ω 02 − ω 2 )(ω 02 − ω 2 ) 2 + ω 2 γ 2;ε ′′ =f ωω 2р γ(ω 02 − ω 2 ) 2 + ω 2 γ 2.(5.7)Определяемые формулами (5.7)частотные зависимости ε′′(ω) иε′(ω) − 1 вблизи резонансной частоты ω0 представлены на рис. 5.1.В интервале частот порядка γ около частоты ω0 наблюдается резонансное поглощение, обусловленное величиной ε′′(ω), и аномальная дисперсия, обусловленная величиной ε′(ω) − 1.
Аномальностьсостоит в том, что в этом интервале d ε′ / d ω < 0, тогда как обычноРис. 5.1. Зависимость ε′и ε″ отвдали от линии поглощения вели- частоты: γ – ширина кривой почина ε′(ω) растет с частотой, т. е. глощения на половине ее высотыd ε′ / d ω > 0. Линия поглощения имеет резкий пик при условии,γ << ω 0.В разд. 1.2 мы отождествляли электрическое поле, действующее на атом (молекулу), со средним макроскопическим полем всреде Е. В случае разреженных газов это соответствует действительности. Однако для плотных сред, т. е.
жидкостей и твердыхтел, напряженность локального поля Елок, поляризующего частицу(«осциллятор»), может сильно отличаться от напряженности поляЕ. Как известно из общего курса физики, в случае кристаллов кубической симметрии и для изотропной среды напряженность локального поля Елок получается добавлением к Е так называемогополя Лоренца, равного Р/(3ε0), т.
е.Елок = Е + Р/(3ε0).(5.8)Именно это полное локальное поле Елок должно фигурировать в формуле (5.3) для дипольного момента одного осциллятора р1 = ε0χэ1Елок. В результате для вектора поляризации (т. е.дипольного момента единицы объема) получимР = Nр1 = ε0χэ[Е + Р/(3ε0)].(5.9)Р = ε0 χ эЛЛ Е,(5.10)Следовательно,49гдеχэЛЛ = χэ /(1 – χэ /3)(5.11)– диэлектрическая восприимчивость с учетом поправки ЛоренцаЛоренца.
Для разреженных газов эта поправка пренебрежимо мала: χэЛЛ ≈ χэ. Соответствующая диэлектрическая проницаемость сучетом этой поправки:εЛЛ = 1 + χэЛЛ = 1+ χ э /(1– χ э /3).(5.12)Заметим, что функция χ э (ω) по-прежнему определяется формулой (5.5), поэтому из (5.12) получим соотношениеω2р fiε ЛЛ − 1 1= ∑,ε ЛЛ + 2 3 i ω02i − ω2 + iωγ i(5.13)которое носит название формулы Лоренца–Лоренца.В окрестности какой-либо из частот (ω0i = ω0) диэлектрическую проницаемость (5.12) можно записать следующим образом:εЛЛ=1+1(1/ χ э − 1/ 3)≈1+ω2р fω02 − ω2 + iωγ − ω2р f / 3.Последняя формула получается из аналогичной формулы (5.6)без учета поправки Лоренца–Лоренца простой заменой:ω02 → ω02 – ω2р f /3.(5.14)Следовательно, поправка Лоренца–Лоренца приводит к сдвигурезонансной частоты в плотном диэлектрике в отличие от разреженного газа.Возвращаясь к выражению (5.10), с учетом (5.11) и соотношения P = ε0χэЕ, находим(ε–1) / (ε–2) = Nχэ1/3,где χэ1 вычисляется с помощью формулы (5.4).50(5.15)Умножая обе части (5.15) на молекулярный объем V = М /ρ, гдеМ – масса грамм-моля; ρ – плотность диэлектрика, и принимая вовнимание, что VN = NA – число Авогадро, получаем(М /ρ) (ε–1)/ (ε – 2) = PM.(5.16)Здесь PM = NА χэ1/3 – поляризуемость грамм-моля вещества,называемая молекулярной поляризацией.Уравнение (5.16) замечательно тем, что оно связывает макроскопический параметр ε с его микроскопическим параметром χэ1и называется уравнением Клаузиуса–Моссоти.5.1.2.
Ионная и ориентационная поляризации1. Ионная поляризация связана со смещением противоположнозаряженных ионов под действием внешнего электрического поля.Механизм ионной поляризации аналогичен электронной поляризации и определяется аналогичными выражениями. При этомформула (5.4) и ее вывод сохраняют свой прежний вид, если подr понимать относительное смещение положительного и отрицательного ионов (r = r+ – r–), под m – так называемую приведеннуюмассу ионов (m = m+m– /(m+ + m–)), под e – ионный заряд, а под ω0 иγ – соответственно собственную частоту и коэффициент затуханиядипольных колебаний ионов.
Здесь речь идет именно о таких колебаниях ионов в кристаллической решетке, при которых разноименные ионы в элементарной ячейке смещаются в противоположные стороны, образуя переменный дипольный электрическиймомент. Этим антифазным колебаниям ионов соответствует такназываемая оптическая ветвь упругих колебаний кристаллическойрешетки, которые на квантовом языке называются оптическимифононами.Частота ω0 представляет собой длинновóлновый предел (приk→0), который не обращается в нуль, в отличие от длинноволнового предела для акустических колебаний решетки или акустических фононов (соответствующих обычному звуку), для которыхвсе ионы в элементарной ячейке осциллируют синфазно.
Частотаакустических волн, как известно, обращается в нуль при k→0.Оптические колебания ионов с частотами порядка ω0, взаимодействуя (благодаря переменному дипольному моменту) с элек51тромагнитными волнами, образуют связанные с ними волны. Однако собственная частота ионного осциллятора будет значительнониже, чем собственная частота электронного осциллятора. Еслисобственные частоты колебаний электронов внешних оболочекатомов находятся в диапазоне видимого света (или в предельныхслучаях в УФ-диапазоне или близко к ИК-диапазону), то частотаионных колебаний попадает в далекий ИК-диапазон.Ориентационная поляризациясвязана с поворотом молекул, обладающих постоянным дипольныммоментом, под действием электрического поля.
Молекулу, обладающую дипольным моментом,можно представить в виде диполя,образованного зарядами +q и –q,которые находятся на расстоянии lРис. 5.2. Диполь в однородном друг от друга. В однородном электрическом поле Е на диполь дейэлектрическом полествует пара сил (рис. 5.2), стремящихся установить диполь по полю. Потенциальная энергия диполяв электрическом поле U = −p 0 E cos θ, где p 0 = ql – постоянныйдипольный момент молекулы; θ – угол между направлением дипольного момента и направлением вектора E напряженностиэлектрического поля.Физическая система всегда стремится к положению, соответствующему минимуму потенциальной энергии, т. е. стремится установиться по полю ( θ = 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
