Митрохин В.Н. Электродинамические свойства материальных сред (2006) (1247706), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Этот по4πε 0 rтенциал называют экранированным потенциалом, поскольку онсущественно отличен от нуля только на расстояниях, не превышающих rD (поэтому дебаевский радиус называют также радиусомэкранировки).3. ПЛАЗМАНаряду с твердым, жидким и газообразным состояниями вещество может находиться в другом состоянии – в виде ионизированной плазмы, состоящей из двух заряженных газов: газа электронови газа ионов, между которыми действуют электрические силы.Одним из основных свойств плазмы является ее квазинейтральность (если в плазме мысленно выделить некоторую замкнутую область, то электрический заряд внутри нее в среднем всегда равеннулю). Однако в объемах, линейные размеры которых сравнимы свеличиной радиуса Дебая rD, возможны флуктуации заряда.Радиус Дебая определяется расстоянием, на котором происходит экранирование любого заряда плазмы из-за группировки вокруг этого заряда противоположно заряженных частиц.
Величинадебаевского радиуса определяет ту наименьшую плотность системы заряженных частиц, начиная с которой эта система собственнои представляет собой плазму. Эта плотность оценивается из очевидного требования, чтобы характерный линейный размер системы L был велик по сравнению с характерным плазменным размером rD т. е. L >> rD. Следовательно, плазму можно определить какквазинейтральную систему достаточно большого числа заряженных частиц, занимающую объем с линейными размерами L >> rD.3.1. Диэлектрическая проницаемость плазменной средыв линейном приближенииЗаряженные частицы плазмы движутся под действием силэлектромагнитного поля. Это приводит к поляризации среды.
Рассматривая электронно-ионную плазму, следует учитывать, чтомасса иона на несколько порядков превышает массу электрона.Поэтому ионы практически неподвижны и в первом приближениине влияют на электродинамические свойства такой среды. Значит,26пренебрегая движением тяжелых ионов, считаем, что ток в плазмеопределяется только движением электронов.Дифференциальное уравнение, описывающее движение некоторого отдельно взятого типичного электрона в пространстве,d 2rdrимеет вид m 2 + mγ = eE + e[ v,B], где r – радиус-вектор отклоdtdtнения электрона от того положения в пространстве, которое онзанимал при отсутствии поля; е, m – заряд и масса электрона; γ –так называемая частота соударений электрона с нейтральнымичастицами.
Второе слагаемое характеризует силу «внутреннеготрения», которая действует на электрон. При неупругих соударениях с нейтральными частицами электрон γ раз в секунду теряетпорции импульса по md r/dt каждая. Правая часть уравнения описывает силу, действующую на электрон со стороны внешнегоэлектрического поля.Скорости, приобретаемые электроном, полагают достаточномалыми, так что в линейном приближении можно пренебречь силой, возникающей под действием магнитного поля В, тогда уравнение движения в линейном приближении можно записать следующим образом:md 2rdt2+ mγdr= eE.dt(3.1)Предположим, что внешнее поле Е изменяется во времени погармоническому закону (еiωt).
Тогда, подставив в уравнение (3.1)функции r и Е, выраженные через соответствующие комплексныеамплитуды, получим()m −ω 2 + iωγ r = eE; r = eE/m( −ω 2 + iωγ ).(3.2)Найдем комплексные амплитуды вектора поляризации Р = Neerи вектора электрической индукции D = ε0E + P, который окончательно принимает следующий вид:N ee 2D = ε 0 1− E,2 mε 0 (ω − iωγ ) (3.3)27где Ne – концентрация электронов в плазме.На основании формулы (3.3) находим относительную диэлектрическую проницаемость плазменной средыN ee 2ε = 1−.2 mε 0 (ω − iωγ ) (3.4)В соответствии с формулами (3.3) и (3.4) диэлектрическая проницаемость плазмы существенным образом зависит от частотыприложенного электромагнитного поля. Как следствие, процессраспространения электромагнитных волн в плазме сопровождаетсячастотной дисперсией.3.2. Электродинамические характеристики плазмыРассчитать частоту соударений γ в плазменной среде оченьсложно.
Эта задача решается методами кинетической теории газов.Анализ показывает, что во многих важных для практики случаяхосновные параметры (температура электронного газа Т и средняядлина пробега электрона между двумя последовательными столкновениями lср), определяющие частоту соударений, оказываютсятакими, что на рабочей частоте ω выполняется неравенствоω >> γ.(3.5)Это позволяет приближенно считать, что в формулах (3.3) и(3.4) γ = 0. Если такая упрощенная модель справедлива, то говорято бесстолкновительной плазме. Относительная диэлектрическаяпроницаемость бесстолкновительной плазмыε =1−N ee 2mε 0 ω 2(3.6)является действительной величиной.
Она меньше единицы на всехчастотах.Из равенства (3.6) непосредственно следует, что величина εобращается в нуль на плазменной частотеωпл = N e e 2 / mε 0 ,28(3.7)которую иногда называют также ленгмюровской частотой по имени американского физика И. Ленгмюра (1881–1957).Подставив в (3.7) числовые значения, получаем формулу дляпрактических расчетовωпл = 56,41 N e , или f пл = 8,98 N e ,(3.8)где ωпл – в с–1; f пл – в Гц.Практически концентрация электронов такова, что плазменнаячастота лежит в радиодиапазоне. Так, для земной ионосферы с типичным значением Ne ∼ 1012 м–3 частота равна fпл ∼ 9 Мгц.Рассмотрим два случая. Первый случай характерен тем, что величина Ne сравнительно невелика, так что выполняется неравенство ω > ωпл.
При этом имеет место распространение волн в докритической плазме. Второй случай характерен тем, что величина Neвелика настолько, что ω < ωпл, поэтому говорят об электромагнитных процессах в закритической плазме.Рассмотрим режимы докритической и закритической плазмы.Представив выражение (3.6) в виде ε = 1 – (ωпл/ω)2, для постоянной распространения плоской электромагнитной волны получимk =β− iα =ω ε µ = ω ε µ 1− (ω / ω) 2 = k 1− (ω / ω ) 2 .аа0 0плплВидим, что в рассматриваемом случае коэффициент затуханияα = 0, в то время как фазовая постояннаяβ = k 1− (ωпл / ω) 2 .(3.9)Отсюда непосредственно вытекает формула для расчета фазовой скорости плоской электромагнитной волны в бесстолкновительной плазмеvф =ωс,=β1− (ωпл / ω) 2(3.10)где с – скорость света в свободном пространстве с параметрами ε0, µ0.Кривая, характеризующая частотную дисперсию в докритическойплазме, изображена на рис.
3.1. Следует отметить, что здесь фазоваяскорость плоских электромагнитных волн всегда больше скорости29волн в вакууме, причем vф → ∞, еслиω → ωпл. Характеристическое сопротивление докритической бесстолкновительной плазмы также зависит отчастоты, так какZ c = µ 0 / ε а = Z 0 / 1− (ωпл / ω) 2 , (3.11)где Z0 = (µ0/ε0)1/2 = 120π ≈ 377 Ом –волновое сопротивление свободногопространства с параметрами ε0, µ0. Вдокритическойплазме характеристиРис. 3.1.
Частотная зависимостьфазовой скорости плоской волны ческое сопротивление Zс являетсяв докритической плазмедействительной величиной (векторыЕ и Н изменяются во времени синфазно) и превышает величину Z0.Если ω < ωпл, то постоянная распространения плоской электромагнитной волны в плазме оказывается мнимой величинойk =ω ε µ = iω ε µ (ω / ω) 2 −1 = ik (ω / ω) 2 −1;аа0 0плплβ = 0, α = k (ωпл / ω) 2 −1.(3.12)Амплитуда электромагнитного поля вдоль произвольно выбранной оси z уменьшается помере распространения волны всоответствии с законом exp(–αz).Волновой процесс в даннойсреде фактически отсутствует,поскольку фазовая постоянная взакритической плазме равна нулю.
Ослабление амплитуды поляв закритической плазме обусловлено чисто запредельным эффектом. График частотной зависимостикоэффициента затухания,Рис. 3.2. Частотная зависимостькоэффициента затухания плоской рассчитанный по формуле (3.12),волны в бесстолкновительной плазме изображен на рис. 3.2.
Обращает30на себя внимание резкое увеличение коэффициента затухания приуменьшении рабочей частоты.Характеристическое сопротивление такой среды оказываетсячисто мнимымZ c = µ 0 / ε а = −iZ 0 / (ωпл / ω) 2 −1,(3.13)поскольку диэлектрическая проницаемость закритической плазмыотрицательна.Знак правой части равенства (3.13) указывает на то, что характеристическое сопротивление закритической плазменной средыявляется емкостным.В реальной плазме следует учитывать влияние столкновенийэлектронов с нейтральными молекулами газа.
Для оценки частотысоударений обычно используют приближенную формулуγ = 5⋅10 7 p / T ,(3.14)где γ – частота соударений, с–1; р – давление газа, Па; Т – температура, K.В том случае, когда частота ω гармонического электромагнитного поля становится сравнимой с параметром γ, электродинамические свойства плазменной среды описываются комплексной диэлектрической проницаемостью (см. формулу (3.4))ε а = ε0 −Nee2m(ω2 − iωγ )= ε0 −N e e 2 (ω2 + iωγ )m(ω4 + ω2 γ 2 ).Последнюю формулу следует преобразовать так, чтобы онаприобрела вид, характерный для диэлектрической проницаемостисреды с потерями:ε а = ε′а − i σω,2где ε′а = ε 0 1 − ωпл/(ω2 + γ 2 ) ;(3.15)2σ = ε 0 γωпл/(ω2 + γ 2 ).Для анализа зависимостей ε′а (ω) и σ(ω) удобно ввести нормированную частоту ω/ωпл, а также безразмерный параметр b = γ/ωпл,характеризующий темп соударений электронов с нейтральными31молекулами.
На рис. 3.3 и 3.4 представлены серии дисперсионныхкривых, рассчитанных по формуламεa1=1−;ε0(ω/ωпл ) 2 + b 2σb=,ωпл ε 0 (ω/ωпл ) 2 + b 2(3.16)непосредственно вытекающим из выражений (3.15).Рис. 3.3. Дисперсионные зависимости вещественной части диэлектрической проницаемости плазмыпри различных значениях частотысоударенийРис. 3.4. Дисперсионные зависимости нормированной удельнойпроводимости плазмы при различных значениях частоты соударенийАнализируя графики, следует обратить внимание на то, чтопри b << 1 действительная часть комплексной диэлектрическойпроницаемости плазмы меняет знак вблизи плазменной частоты.В постоянном магнитном поле H0 = z0H0 (z0 – орт по координате z) плазма ведет себя как анизотропная среда, диэлектрическаяпроницаемость которой является эрмитовым тензором второгоIранга ε. ОбозначивωH = eµ0H0/m, ε = 1 +получим322ω плω 2Н − ω, εα =22ω плωНω (ω 2Н − ω 2 ); εz = 1−2ω плω2, εIε = εik = iε α 0−i ε αε0.ε z 00Следовательно, при наличии постоянного магнитного поляплазма является гиротропной средой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
