Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (3-е изд., 2015) (1246992), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Вход в атмосферу и посадкаПри заданных значениях r0 , V0 , θ0 , μ и ΔV можно численным решениемуравнения (6.1.10) найти все значения угла χ, которые удовлетворяют необходимому условию оптимальности, а затем определить угол ориентации тормозногоимпульса, который действительно обеспечивает максимальную величину углавхода в атмосферу |θen |max (по определению угол входа θen < 0).В частном случае, когда θ0 = 0, можно найти аналитическое решение рассматриваемой задачи. Этот случай соответствует проведению тормозного маневра накруговой орбите, в апоцентре (перицентре) эллиптической орбиты, в перицентрепараболической или гиперболической орбиты. Указанные случаи представляютнаибольший практический интерес.6.1.2. Торможение в апоцентре или перицентре эллиптической орбиты.В предположении θ0 = 0 уравнение (6.1.10) принимает следующий вид:(V0 ΔV cos χ − ΔV 2 − η) sin χ = 0.(6.1.10а)Отсюда определяются два значения угла χ, которые удовлетворяют необходимомуусловию оптимальности (6.1.10а):χ1 = 0,(6.1.11)2χ2 = arccosЗдесьΔṼ =ΔV,V0ΔṼ + η̃.ΔṼ(6.1.12)η.V02(6.1.13)η̃ =В рассматриваемом случае θ0 = 0 истинная аномалия в точке торможения ϑ = 0для перицентра орбиты и ϑ = π для апоцентра орбиты.
Скорость СА зависит отточки торможения и вычисляется по формуле' μV (ϑ) =1 + 2e cos ϑ + e2 .pОтсюда максимальная скорость в перицентре составляет'μ(1 + e),Vmax = Vp =pа минимальная скорость в апоцентре равна'μVmin = Va =(1 − e).pТаким образом, для точки торможения, где θ0 = 0, можно записать следующеесоотношение:μV02 = (1 ± e).(6.1.14)pЗдесь знак «+» соответствует торможению в перицентре, а знак «−» соответствуетторможению в апоцентре орбиты. Тогда согласно (6.1.13) окончательно имеем:2(r̃ − 1)η̃ =.(6.1.15)1±e6.1.
Оптимальный маневр торможения на орбите243В фазовой плоскости параметров (ΔṼ , η̃) можно построить область Γ, в которой χ2 ≥ 0. Граница этой области задается условием χ2 = 0. С учетом соотношения(6.1.12) условие χ2 ≥ 0 соответствует следующему:2ΔṼ − ΔṼ + η̃ ≤ 0.(6.1.16)Таким образом, область Γ является частью фазовой плоскости, которую ограничивает парабола (6.1.16) и ось η̃ = 0, так как η̃ ≥ 0. Окончательно условие χ2 ≥ 0можно записать двумя соотношениями: 'ΔṼ − 1 ≤ 1 − η̃,(6.1.17)240 ≤ η̃ ≤1.4(6.1.18)Область Γ для произвольной орбиты в точке, где θ0 = 0, показана нарис. 6.3 [6.2].Рис. 6.3. Область ненулевой ориентации вектора тормозного импульса244Глава 6. Вход в атмосферу и посадкаРассмотрим теперь вторую производную d 2 θen /dχ2 при условии, что θ0 = 0.Дифференцируя уравнение (6.1.9) по углу χ и подставляя θ0 = 0, получим2d 2 θen dθen=−ctg θen +dχ2 θ0 =0dχ θ0 =0⎡⎤2223V0 ΔV sin χ (V0 − ΔV cos χ)+−⎢⎥⎥(V12 + η)5r̃at ⎢⎢⎥+⎢⎥.sin θen ⎢ V 2 ΔV cos χ−V0 ΔV 2 cos2 χ + 2V0 ΔV 2 sin2 χ ΔV cos χ ⎥⎣+ 0⎦−223(V1 + η)V1 + η(6.1.19)Теперь исследуем знак d 2 θen /dχ2 в стационарных точках.
При подстановкеχ = χ1 = 0 в уравнение (6.1.19) получим, переходя к безразмерным параметрам(6.1.13):ΔṼd 2 θen r̃2ΔṼ=−−ΔṼ+η̃. (6.1.20)3dχ2 θ0 =0, χ=χ1 =0sin θen (1 − ΔṼ )2 + η̃2Знак (6.1.20) зависит от знака множителя (ΔṼ − ΔṼ + η̃), который обращаетсяв нуль на границе области Γ. Поэтому (с учетом θen < 0) имеем⎧⎨ > 0 вне области Γ,d 2 θen = 0 на границе области Γ,dχ2 θ0 =0, χ=χ1 =0 ⎩< 0 внутри области Γ.Легко проверить, что на границе области Γ выполняются условияd 3 θen = 0,dχ3 θ0 =0, χ=χ1 =02d 4 θen 3r̃ΔṼ= > 0.dχ4 θ0 =0, χ=χ1 =0(1 − ΔṼ )3 1 − r̃2 (1 − ΔṼ )Следовательно, условие ориентации тормозного импульса χ1 = 0, т. е.
противнаправления движения обеспечивает максимальный по величине угол входа в атмосферу |θen |max , если начальные параметры ΔṼ и η̃ находятся вне области Γ илина ее границе.Установим теперь знак d 2 θen /dχ2 при χ = χ2 . Если угол χ2 , определяемыйусловием (6.1.12), подставить в (6.1.19), то можно получить соотношение22d 2 θen r̃ (ΔṼ + ΔṼ + η̃)(ΔṼ − ΔṼ + η̃)'=.(6.1.21) 3dχ2 θ0 =0, χ=χ2sin θen21 − (ΔṼ + η̃)2Знак (6.1.21) зависит от множителя (ΔṼ − ΔṼ + η̃), который отрицателенв области Γ, равен нулю на границе области и положителен вне области Γ.
Тогда6.1. Оптимальный маневр торможения на орбите245с учетом θen < 0 имеем⎧⎨ > 0 внутри области Γ,d 2 θen = 0 на границе области Γ,dχ2 θ0 =0, χ=χ2 ⎩ < 0 вне области Γ.Итак, если начальная точка ΔṼ , η̃ находится внутри области Γ, то дляполучения максимального по величине угла входа в атмосферу |θen |max вектортормозного импульса следует прикладывать под углом χ2 > 0. Величину углаχ2 можно вычислить с помощью соотношения (6.1.12), если начальные параметрыΔṼ и η̃ удовлетворяют условиям (6.1.17) и (6.1.18), соответственно.Используя (6.1.15) и (6.1.18), можно определить радиус предельной орбиты докоторой существует ненулевой угол оптимальной ориентации тормозного импульса(χ2 > 0):1(6.1.22)r̃lim = 1 + (1 ± e).8Здесь знак «+» соответствует тормозному маневру в перицентре произвольнойорбиты, а знак «−» отвечает торможению СА в апоцентре эллиптической орбиты.С помощью интегралов энергии и момента количества движения можно определить скорость и угол входа в атмосферу.
При импульсном торможении, когданачальные параметры находятся внутри области Γ (χ2 > 0), на границе входав атмосферу получаются следующие величины относительной скорости и угланаклона траектории (угла входа):2Ṽ en = 1 − ΔṼ − η̃, 2(6.1.23)θen = − arccos r̃ 1 − ΔṼ − η̃ ,гдеVenV0— относительная (безразмерная) скорость входа. Из (6.1.23) можно найти величинуминимального тормозного импульса, который обеспечивает заданный угол входа∗в атмосферу θen:!2∗cos θen.(6.1.24)ΔṼ = 1 − η̃ −r̃Ṽ en =Величина тормозного импульса ограничена снизу дополнительным условиемcos θen ≤ 1. В случае χ2 > 0 это условие с учетом (6.1.15) и (6.1.23) можнопривести к виду:'2(r̃ − 1)2r̃ 1 − ΔṼ −≤ 1.1±eСледовательно, минимальная величина тормозного импульса ограничена условием2ΔṼ ≥ 1 −12(r̃ − 1).−r̃21±e(6.1.25)246Глава 6.
Вход в атмосферу и посадкаУсловие (6.1.25) может сдвигать вправолевую границу области Γ.Когда начальные параметры ΔṼ , η̃ находятся вне области Γ или на ее границеи оптимальный тормозной импульс направлен против движения СА (χ1 = 0),скорость и угол входа определяются соотношениямиṼ en = (1 − ΔṼ )2 + η̃,r̃(1 − ΔṼ )θen = − arccos .(1 − ΔṼ )2 + η̃(6.1.26)В этом случае минимальная величина тормозного импульса для получения задан∗ного угла входа θenсоставляет!η̃.(6.1.27)ΔṼ = 1 −∗ )2 − 1(r̃ sec θenВ случае χ1 = 0 условие cos θen ≤ 1 обеспечивается при следующем ограничении на величину импульса ΔṼ с учетом уравнений (6.1.15) и (6.1.27):r̃(1 + ΔṼ )≤ 1.2(1 + ΔṼ )2 + 2(r̃−1)1±e!ОтсюдаΔṼ ≥ 1 −2.(1 + r̃)(1 ± e)Теперь рассмотрим частный случай маневра торможения в апоцентре эллиптической орбиты. Такое положение СА обеспечивает оптимальные условиядля получения максимальной величины угла входа θen при заданной величинетормозного импульса ΔṼ .
В этом случае начальный параметр2(r̃ − 1)1−eимеет неограниченный диапазон измененияη̃ =2 (r̃ − 1) < η̃ < ∞.Область Γ ненулевой ориентации тормозного импульса скорости задаетсяусловиями 'ΔṼ − 1 ≤ 1 − 2(r̃ − 1) , 1 ≤ r̃ ≤ 1 + 1 (1 − e).241−e8Предельный радиус апоцентра согласно (6.1.22) вычисляется как9 er̃lim = − .8 8Если e → 1, то предельный радиус r̃lim → 1. Это означает, что при оптимальномимпульсном маневре торможения в апоцентре эллиптической орбиты с большимэксцентриситетом тормозной импульс должен быть направлен против орбитальнойскорости СА.6.1. Оптимальный маневр торможения на орбите2476.1.3. Тормозной маневр на круговой орбите. Все полученные выше соотношения существенно упрощаются в случае круговой начальной орбиты.
Действительно, эксцентриситет круговой орбиты равен нулю (e = 0), и начальный параметрη̃ согласно (6.1.15) задается соотношениемη̃ = 2 (r̃ − 1) .(6.1.28)rcirrat— относительный радиус круговой орбиты.Для круговой орбиты условия (6.1.17) и (6.1.18), описывающие область Γ,принимают следующий вид [6.3]: ! 1ΔṼ − ≤ 2 9 − r̃ ,(6.1.29)28Здесьr̃ =9.(6.1.30)8Прокомментируем условия (6.1.29) и (6.1.30).
Возможны три случая.1. Если относительный радиус круговой орбиты r̃ > 9/8, то направлениетормозного импульса против движения СА (χ1 = 0) является оптимальнымнезависимо от величины тормозного импульса ΔṼ . Обычно условная границаатмосферы принимается на высоте hat = 100 км. Отсюда предельный радиус круговой орбиты rlim = 9/8rat = 7 280 км и высота ее составляет hlim = 909 км. Есливысота начальной круговой орбиты больше 909 км, то направление тормозногоимпульса против орбитального движения СА является оптимальным независимоот величины импульса.2.
Если r̃ < 9/8 (hcir < 909 км) и относительный тормозной импульс удовлетворяет условиям! 19ΔṼ ≤ − 2− r̃28! или19ΔṼ ≥ + 2− r̃ ,281 ≤ r̃ ≤то направление тормозного импульса против орбитального движения СА такжеявляется оптимальным.3. Если r̃ < 9/8 (hcir < 909 км) и относительный тормозной импульс удовлетворяет условиям! ! 1199− 2− r̃ ≤ ΔṼ ≤ + 2− r̃ ,2828то оптимальный угол тормозного импульса отличен от нуля (χ2 > 0), а еговеличина определяется уравнением2ΔṼ + 2(r̃ − 1)χ2 = arccos.ΔṼ248Глава 6.
Вход в атмосферу и посадкаКогда начальная точка находится внутри области Γ, то скорость и угол входавычисляются по простым формулам:2Ṽ en = 3 − 2r̃ − ΔṼ ,2θen = − arccos r̃ 3 − 2r̃ − ΔṼ .В этом случае минимальный потребный импульс скорости для обеспечения задан∗ного угла входа θenравен!2∗cos θenΔṼ = 3 − 2r̃ −.r̃Найдем ограничение на минимальную величину тормозного импульса из усло∗вия cos θen≤ 1 в случае круговой орбиты и χ2 > 0:2ΔṼ ≥ 3 −или1− 2r̃,r̃21(r̃ − 1)2 (2r̃ + 1).r̃2Последнее условие выполняется всегда, т. е. траектория спуска с круговой орбитывсегда входит в атмосферу, если начальная точка (ΔṼ , η̃) находится внутриобласти Γ.В случае χ1 = 0 скорость и угол входа при спуске с круговой орбитывычисляются по формуламṼ en = (1 − ΔṼ )2 + 2(r̃ − 1),2ΔṼ ≥ −r̃(1 − ΔṼ )θen = − arccos .(1 − ΔṼ )2 + 2(r̃ − 1)∗опреМинимальный потребный тормозной импульс для заданного угла входа θenделяется соотношением!2(r̃ − 1)ΔṼ = 1 −.(6.1.31)(r̃ sec θen )2 − 1Если начальная орбита круговая, а начальная точка находится вне области Γ,∗то существует ограничение на минимальную величину ΔṼ из условия cos θen≤ 1:'2.ΔṼ ≥ 1 −1 + r̃Оптимальная величина угла χ направления тормозного импульса и параметрывхода Ṽ en θen при спуске с круговой орбиты показаны на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
