Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (3-е изд., 2015) (1246992), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Заметим, что при полете на активномучастке корпус ЛА перемещается на сотни километров и приобретает скоростьнесколько километров в секунду, в то время как сам центр масс перемещаетсяотносительно корпуса на несколько метров со скоростью, равной несколькимсантиметрам в секунду. Поэтому во многих задачах баллистики и некоторыхзадачах динамики можно отождествлять движение центра масс ЛА с движениемкорпуса и описывать его уравнениемc = mWF + P.(1.8.1) — главный вектор c — вектор абсолютного ускорения центра масс ЛА, Fгде Wвсех внешних сил, приложенных к ЛА, P — главный вектор реактивных сил (тягадвигателя).1.8.1. Движение центра масс. Получим уравнения движения в начальной стартовой (инерциальной) системе координат.
Предположим, что система управленияЛА имеет ГСП с тремя акселерометрами, ориентированными по взаимно перпендикулярным направлениям, и БЦВМ для решения задач навигации, управленияи стабилизации.Если пренебречь уходом осей гироскопов на активном участке, то можно считать, что ГСП определяет направление осей начальной стартовой (инерциальной)системы координат (см. п. 1.2.2). Проектируя уравнения движения (1.8.1) на осиэтой системы координат, получим(ph)Wx ln = Wx ln + gx ln ,(ph)Wy ln = Wy ln + gy ln ,где(ph)Wz ln = Wz ln + gz ln ,(1.8.2)1(ctr)Px ln + Xln + Xln,m1(ph)(ctr)Py ln + Yln + YlnWy ln =,(1.8.3)m1(ph)(ctr)Pz ln + Zln + ZlnWz ln =m— составляющие кажущегося ускорения; gx ln , gy ln , gz ln – составляющие ускорениясилы притяжения; Px ln , Py ln , Pz ln — составляющие тяги маршевых двигателей;(ctr)(ctr)(ctr)Xln , Yln , Zln — составляющие полной аэродинамической силы; Xln , Yln , Zln —составляющие тяги управляющих двигателей.Акселерометры, ориентированные по осям начальной стартовой системы координат, будут в процессе полета измерять составляющие кажущегося ускорения(ph)Wx ln =1.8.
Уравнения движения в начальной стартовой (инерциальной) системе координат(ph)(ph)53(ph)Wx ln , Wy ln , Wz ln . Если измеряемые величины вводить в БЦВМ как правыечасти уравнений движения (1.8.2) и добавлять к ним составляющие ускорениясилы притяжения gx ln , gx ln , gx ln , то, как уже отмечалось, можно интегрироватьуравнения движения на борту ЛА. Это позволяет решать навигационную задачупо определению текущего вектора состояния ЛА (включающего его координатыи составляющие вектора скорости), что необходимо для выбора потребного управления на оставшейся части траектории.
Начальные условия интегрирования могутбыть нулевыми, например, когда ЛА начинает движение со стартового устройства,или отличаться от нуля, например, при спуске ЛА с орбиты на поверхность Земли.1.8.2. Составляющие гравитационного ускорения. Наряду с начальной стартовой системой координат 00i xln yln zln , для дальнейших расчетов, связанных с определением текущего радиуса-вектора r и широты ϕ, удобно ввести земную инерциальную систему координат 00 xE yE zE . Ее начало совпадает с исходной, ось00 yE направлена по радиусу-векторуR0, проведенному из центра общего земногоэллипсоида через точку старта 00 в начальный момент времени t = 0, ось 00 xEнаправлена в плоскости местного меридиана к северному полюсу, а ось 00 zEдополняет систему координат до правой (рис.
1.19). Чтобы перейти от начальнойстартовой системы координат 00i xln yln zln к земной инерциальной 00 xE yE zE , надовыполнить два поворота: на величину угла азимута A вокруг оси 00i yln , чтобысовместить промежуточную ось 00 x с плоскостью местного меридиана, и наугол Δϕ0 вокруг оси 00i zE , чтобы ось 00i yln совпала с направлением радиусавектора R0 , проведенного из центра общего земного эллипсоида через точкустарта в момент времени t = 0 (рис. 1.20).
Здесь Δϕ0 — разность геодезическойи геоцентрической широт в точке старта. Матрица перехода от начальной стартовойсистемы координат к земной инерциальной имеет вид: cos Δϕ0 cos A sin Δϕ0 − cos Δϕ0 sin A N =sin Δϕ0 sin A − sin Δϕ0 cos A cos Δϕ0.sin A0cos AПересчет составляющих произвольного вектора a из начальной стартовойсистемы координат в земную инерциальную осуществляется по формулеaE = Naln .В частности, по известным составляющим текущего радиуса-вектора ЛА в начальной стартовой системе координат xln , yln , zln можно вычислить его составляющие в земной инерциальной системе координат:xE = xln cos Δϕ0 cos A + yln sin Δϕ0 − zln cos Δϕ0 sin A,yE = −xln sin Δϕ0 cos A + yln cos Δϕ0 + zln sin Δϕ0 sin A,zE = xln sin A + zln cos A.Рассмотрим теперь в земной инерциальной системе координат два единичныхвектора, один из которых направлен по вектору угловой скорости вращения Земли E0 = (cos ϕ0 , sin ϕ0 , 0),ω54Глава 1.
Уравнения движенияРис. 1.19. Земная инерциальная система координата второй направлен по радиусу-вектору r, проведенному из центра общего земногоэллипсоида в центр масс ЛА,r =0xE R + yE zE,,rrr,где ϕ0 — широта точки старта,r=x2E + (R + yE )2 + z2E .Скалярное произведение этих векторов позволяет определить текущую геоцентрическую широтуϕ = arcsin(ωE0 ·r0 )илиϕ = arcsinxER + yEcos ϕ0 +sin ϕ0 .rr1.8. Уравнения движения в начальной стартовой (инерциальной) системе координат55Рис. 1.20. Переход от начальной стартовой системы координат к земнойРасстояние R (вдоль текущего радиуса-вектораr) от центра до соответствующейточки на поверхности общего земного эллипсоида вычисляется по формуле√1 − e2R = a,1 − e2 cos2 ϕоткуда с точностью до членов первого порядка относительно сжатия имеемR ≈ a(1 − α sin2 ϕ).где a — экваториальный радиус, e — эксцентриситет эллипса в меридиональнойплоскости, α — сжатие общего земного эллипсоида.
В частности, при ϕ = ϕ0получим R = R0 .Знание текущих величин геоцентрического радиуса-вектора r и геоцентрической широты ϕ дает возможность вычислить с приемлемой точностью составляющие вектора ускорения силы притяжения, т. е. гравитационного ускорения,направленные соответственно по радиусу (gr ) и перпендикулярно ему (gϕ ) [1.28]:2 2Rav Ravq 21 − 3 sin ϕ ,1+α−gr = −gavrr222Rav q Ravα−sin 2ϕ,gϕ = −gavr2rαμω 2 a3, gav = 2 , q = E .Rav = a 1 −3RavμПереходя к начальной стартовой системе координат, получим:gxln = gϕ cos Δϕ0 cos A − gr sin Δϕ0 cos A,gyln = gϕ sin Δϕ0 + gr cos Δϕ0 ,gzln = −gϕ cos Δϕ0 sin A + gr sin Δϕ0 sin A.56Глава 1. Уравнения движенияПосле подстановки этих величин в уравнения движения (1.8.2) последниеможно интегрировать. Вычисленная величина r позволяет определить текущуювысоту относительно общего земного эллипсоида (рис.
1.19)h = r − R.Если уравнения (1.8.2) интегрируются не на борту ЛА в процессе полета, а припроведении баллистических расчетов с использованием ЭВМ, то составляющиекажущегося ускорения (1.8.3) следует определять как функции текущих параметровдвижения. Выведем необходимые соотношения.1.8.3. Составляющие тяги двигателей и аэродинамической силы. Составляющие векторов тяги маршевых двигателей P и тяги управляющих двигателей Fctr ,а также составляющие вектора полной аэродинамической силы Ra естественнозадавать в связанной системе координат. Действительно, маршевые двигателинеподвижны относительно корпуса ЛА.
Управляющие двигатели или другие «рули»должны поворачиваться относительно корпуса для создания соответствующих сили моментов, а аэродинамические силы для ЛА типа ракеты всегда определяютсяв виде осевой и нормальной составляющих. Для ЛА самолетного типа, имеющихтолько плоскость симметрии, аэродинамические силы обычно задаются в полусвязанной системе координат, но их легко привести к связанным осям, которыеповернуты на угол атаки α относительно полусвязанных осей.Итак, будем полагать, что известны составляющие векторов тяги маршевыхи управляющих двигателей, а также составляющие полной аэродинамической силыв связанной системе координатP = (Px , Py , Pz ) , Ra = (X , Y , Z) , F ctr = (Xctr , Yctr , Zctr ,) ,заданные соотношениями (1.4.2), (1.6.1), (1.6.3), (1.6.4) и условием ориентациимаршевых двигателей относительно корпуса ЛА.
Используя матрицу перехода L−1от связанной к начальной стартовой системе координат, получим составляющиеуказанных векторов в начальной стартовой системе координат:⎡⎤⎡⎤(ctr)Px ln + Xln + XlnPx + X + Xctr⎢(ctr) ⎥⎣ Py ln + Yln + Yln⎦ = L−1 ⎣ Py + Y + Yctr ⎦(ctr)Pz + Z + ZctrPz ln + Zln + Zlnили подробно(ctr)Px ln + Xln + Xln = (Px + X + Xctr ) cos ϑ cos ψ ++ (Py + Y + Yctr ) (sin γ sin ψ − cos γ sin ϑ cos ψ) ++ (Pz + Z + Zctr ) (cos γ sin ψ + sin γ sin ϑ cos ψ) ,(ctr)Py ln + Yln + Yln = (Px + X + Xctr ) sin ϑ ++ (Py + Y + Yctr ) cos γ cos ϑ − (Pz + Z + Zctr ) sin γ cos ϑ,Pz ln + Zln +(ctr)Zln= − (Px + X + Xctr ) cos ϑ sin ψ ++ (Py + Y + Yctr ) (sin γ cos ψ + cos γ sin ϑ sin ψ) ++ (Pz + Z + Zctr ) (cos γ cos ψ − sin γ sin ϑ sin ψ) .(1.8.4)1.8.
Уравнения движения в начальной стартовой (инерциальной) системе координат57Уравнения (1.8.4) после деления на массу m будут определять три компонентыкажущегося ускорения.1.8.4. Уравнения движения ЛА относительно центра масс. Как уже отмечалось, движение ЛА относительно центра масс удобно рассматривать в связаннойсистеме координат. Если распределение массы ЛА имеет плоскость симметрии, тоIxz = Iyz = 0. Тогда из векторного уравнения (1.1.12), описывающего движение ЛАотносительно центра масс, получаются следующие уравнения для производных повремени составляющих угловой скорости ЛА в связанных осях:Izz − IyyIxyΣMx1ω̇x =−ωy ωz − ωx ωz +2 /I I1 − IxyIIIxxxx yyxxxxIxy ΣMyIxyIxx − Izz+−ωx ωz − ωy ωz ,IxxIyyIyyIyyIxyΣMy1Ixx − Izz−ωx ωz + ωy ωz +(1.8.5)ω̇y =21 − Ixy /Ixx Iyy IyyIyyIyyIxy ΣMxIzz − IyyIxy+−ωy ωz − ωx ωz ,IyyIxxIxxIxxIyy − IxxIxy 2ΣMzω̇z =ωx − ωy2 .−ωx ωy −IzzIzzIzzЗдесь ΣMx , ΣMy , ΣMz — составляющие в связанных осях всех действующих на ЛАмоментов.Вектор угловой скорости ЛА можно представить в виде суммы следующихслагаемых: ω = γ̇ + ϑ̇ + ψ̇.Проектируя это уравнение на оси связанной системы координат, получимкинематические соотношенияωx = γ̇ + ψ̇ sin ϑ,ωy = ϑ̇ sin γ + ψ̇ cos γ cos ϑ,ωz = ϑ̇ cos γ − ψ̇ sin γ cos ϑ.Отсюда можно определить производные по времени углов рыскания, тангажаи крена:ψ̇ = (ωy cos γ − ωz sin γ)1,cos ϑϑ̇ = ωy sin γ + ωz cos γ,(1.8.6)γ̇ = ωx − (ωy cos γ − ωz sin γ) tgϑ (cos ϑ = 0) .При cos ϑ = 0 ϑ = ± π2 движение по крену перестает отличаться от движенияпо рысканию.
Если в исследуемой задаче такая ситуация возможна, то ее следуетпроанализировать особо.Установим теперь связь аэродинамических сил и моментов с текущими параметрами движения ЛА. Сначала рассмотрим осесимметричный ЛА типа ракеты,для которого аэродинамические силы и моменты зависят от пространственного58Глава 1. Уравнения движенияугла атаки αs . Для определения этого угла предварительно рассмотрим скоростьЛА относительно вращающейся атмосферы =V abs − VωE × r, abs — вектор абсолютной скорости ЛА, где VωE — вектор угловой скорости вращенияЗемли, r– текущий радиус-вектор ЛА, проведенный из центра Земли.
Тогдаединичный вектор относительной скорости ЛА вычисляется как0 = V .V||VВеличину углаαs можно найтииз скалярного произведения единичного вектора 0 = V 0 , V 0 , V 0 , задаваемого в начальной стартовой системескорости Vz lnx lny ln 0 , направленного по связанной оси 0x:координат, и единичного вектора X0 ·X 0.cos αs = VСоставляющие единичного вектора в начальной стартовой системе координатопределяются первой строкой матрицы перехода L. Тогдаαs = arccos Vx0ln cos ϑ cos ψ + Vy0ln sin ϑ − Vz0ln cos ϑ sin ψ .(1.8.7)Зная угол атаки αs , текущее число M и высоту h полета, можно по заданнымаэродинамическим характеристикам ЛА определить коэффициенты осевой Cτ (αs ,M, h) и нормальной Cn (αs , M, h) составляющих полной аэродинамической силы.Нормальная составляющая будет располагаться в плоскости угла атаки, образован0 иX 0 , причем она будет направлена перпендикулярно продольнойной векторами V0оси, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
