Семинар №3. Выведение КА на орбиту. Оптимизация и выбор программы движ-я ракеты-носителя (1245728)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар № 3Выведение КА на орбитуОптимизация и выбор программыдвижения ракеты-носителяПостановка задачи. Пусть движение РН описывается обыкновеннымдифференциальным уравнением, представленным в нормальной форме Коши: (1)x = f ( x , u , t ) ,где x = [ x 1 ,, x n ] - вектор фазовых координат, определяющий состояние системы в момент t ;u = [u 1 ,, u m ] - вектор управляющей функции.Требуемое управление u ( t ) выбирается с учетом фазовых ограничений(2)x ( t ) ∈ Wxи ограничений на управляющую функцию(3)u ( t ) ∈ WuЗдесь Wx , Wu - некоторые заданные множества.Движение РН может быть ограничено некоторыми начальными и конечными условиями(4)(x, t 0 ) ∈ Φ 0 ,(5)(x, t к ) ∈ Φ к ,Условие (5) называется целью управления.Задача оптимального управления движением РН может быть сформулирована следующим образом: определить управления (3) при t ∈ [ t 0 , t к ] , достав ляющие экстремум функционалу J = J ( x , u ) при дифференциальных связях (1),ограничениях вдоль траектории (2), (3) и граничных условиях (4), (5).Вектор-функцию u ( t ) , которая удовлетворяет указанным условиям, называют оптимальной программой управления.Основные уравнения.Если на функции, обеспечивающие минимум функционала, ограниченияне наложены, то поиск решения сводится к вариационным задачам на безусловный экстремум.

При каких-либо ограничениях или особых условиях,наложенных на эти функции, возникает вариационная задача на условный экстремум.Задача о нахождении безусловного экстремума при фиксированных граничных условиях сводится к решению n уравнений Эйлера-Лагранжа∂ψ ∂  ∂ψ (6) −    = 0,∂x ∂t  ∂x   где ψ ( x , u , t ) - дифференциальная функция своих переменных, являющаясяподынтегральной функцией функционала.1Задача о нахождении условного экстремума функционала при наличии mсвязей сводится к решению n уравнений Эйлера-Лагранжа для вспомогательного функционалаtкJ в = ∫ Gdtс подынтегральной функцией(7)t0 mG = ψ + ∑ λ j ( t )f j ,(8)j=1где f j [ x i ( t ), x ( t ), t ] = 0 ; i = 1, n ; j = 1, m ;λ j - неопределенные множители Лагранжа при выполнении неравенстваm<n.В задаче с подвижными концами 2n произвольных постоянных определяются из условия трансверсальности при зависимых вариациях δx i , δt 0 , δt к :при t = t 0при t = t кnn∂G ∂G  G − ∑ x iδt t = t + ∑δx i0∂x i i =1 ∂xi =1t =t0= 0;(9)nn∂G ∂G δt t = t + ∑ G − ∑ x i(10)δx i t = t = 0 ;кк∂x∂xi =1i =1i Если вариации δx i , δt 0 , δt к независимы, то равенства (9) и (10) распадаются:n∂G ∂G  G − ∑ x iδt t = t = 0 ;(11)δx i t = t = 0 ; i = 1, n00∂x i ∂x ii =1n ∂G δt t = t = 0 ; G − ∑ x iкx∂i =1i ∂Gδx i∂x it =tк= 0;i = 1, n(12)Задача 3.1.Ракета-носитель совершает полет под действием реактивной силы в центральном гравитационном поле сил притяжения Земли.

Предполагая, что атмосфера отсутствует, величина тяги и масса ракеты-носителя являются известными функциями времени. Управления выбираются из открытой области.Определить законы изменения местного угла тангажа θ , угла рыскания ψ итяги двигателя P из условия достижения на момент t к максимума полноймеханической энергии ракеты-носителя.Решение. В представленной формулировке задача определения оптимальнойпрограммы управления относится к классу вариационных задач на условный2экстремум. Для описания движения центра масс ракеты-носителя воспользуемся дифференциальными уравнениями в цилиндрической системе координатµ v2Pvr = sin θ cos ψ − 2 + u ,mrrvvPvu = cos θ cos ψ − u r ,mrP(1)vb = sin ψ ,mr = vr ,vu = u ,rb = vb .Здесь vr , vu , vb - составляющие вектора скорости в проекциях на радиус,трансверсаль и бинормаль соответственно; u - аргумент широты ракетыносителя, отсчитываемый в плоскости орбиты (основной плоскости) без учетабокового смещения.Функционал имеет вид vr2 + vu2 + vb2 µ (2)J = m−  .2rПусть δJ к - вариация функционала в окрестности t = t к при известных кинематических характеристиках движенияµδJ к = m vr к δvr к + vu к δvu к + vb к δvb к + 2 δrк  .rкЕсли характеристики движения и программа управления выбраны оптимальными, то δJ к = 0 , и тогда1(3)(vr к δvr к + vu к δvu к + vb к δvb к ) = − µ2 .δrкrкПри неоптимальности управления, очевидно, δJ к < 0 .Предположим теперь, что известно некоторое текущее значение функционала.

Очевидно, что вариация функционала δJ к является функцией кинематических характеристик движения в момент t к , которые в свою очередь зависят отпринятой программы управления. Определим такие вариации управлений и соответствующие им вариации кинематических параметров движения, которые вкаждый момент времени обеспечивают максимальное изменение вариацииδJ к .Найдем вариации элементов траектории выведения в конечной точке при варьировании управляющих функций на текущий момент t . для этой цели воспользуемся линейными уравнениями в вариациях системы (1)32µvu2δr ,rr2r3vvvv(4)δvu = − u δvr − r δvu + u 2 r δr ,rrrδr = δvr .δvb = 0 ,Анализ системы уравнений (4) показывает, что на участке непрерывного выведения вариации δvr , δvu , δr в зависимости от времени изменяются незначительно.

В связи с этим указанные вариации при интегрировании системы уравнений (4) вынесем за знаки интегралов и приравняем их вариациям на текущиймомент времени t . Теперь проинтегрируем систему уравнений (4):δvr =tкδvr к = δvr + 2 δvu∫tδr +2vuδvu −tкtкv2vu1dt − δr u2 dt + 2µδr 3 dt ,rrrtt∫∫tкtкtкvvvv(4')δvu к = δvu + δr u 2 r dt − δvr u dt − δvu r dt ,rrrtttδvb к = δvb ,δrк = δr + δvr ( t к − t ) .После этого найдем связь вариаций кинематических характеристик движения с вариациями управлений θ , ψ , P в некоторой текущей точке:sin θ cos ψ PδP  δt ,δvr =  (cos θ cos ψδθ − sin θ sin ψδψ ) +mmcos θ cos ψ  P(5)δvu =  − (sin θ cos ψδθ + cos θ sin ψδψ ) +δP  δt ,m msin ψ PδP  δt ,δvb =  cos ψδψ +mmδr = 0 .Используем последнее из равенств (5), упростим выражения (4'):∫∫tкδvr к = δvr + 2 δvu∫ttкδvu к = δvu − δvr∫t∫vudt ,rtкvuvdt − δvu r dt ,rr∫t(6)δvb к = δvb ,δrк = δvr ( t к − t ) .Исключим из левой части равенства (3) вариации δvr к , δvu к , δvb к с помощью соотношений (6).

В результате получим1(7)(Kδvr + L δvu + vb к δvb ) = −λ ,δvr4где обозначеноλ=µ( tк − t ) ,rк2K = vr к − vu к u 1 ,L = 2vr к u 1 + vu к  1 − lntкu1 =∫tvudt .r(8)(9)rк ,к(10)(11)Затем исключим вариации δvr , δvu , δvb , δr в равенстве (7) с помощью соотношений (5). В результате получим линейное соотношение относительно вариаций δθ , δψ , δP :sin θ cos ψ λ  cos θ cos ψδθ − sin θ sin ψδψ +δP  =Psin θ cos ψ = − K  cos θ cos ψδθ − sin θ sin ψδψ +δP  +Pcos θ cos ψ sin ψ + L sin θ cos ψδθ + cos θ sin ψδψ −δP  − vb к  cos ψδψ +δP  .PPТак как вариации δθ , δψ , δP независимы, то полученное равенство должнообращаться в тождество при их любых значениях.

Это означает, что коэффициенты, стоящие у каждой вариации, должны быть равны нулю. Из этого условиянаходим(12)λ cos θ cos ψ = − K cos θ cos ψ + L sin θ cos ψ ,(13)− λ sin θ sin ψ = K sin θ sin ψ + L cos θ sin ψ − vb к cos ψ ,− λ sin θ cos ψ = K sin θ cos ψ + L cos θ cos ψ + vb к sin ψ .(14)Из выражений (12) и (13) следуетλ+K,(15)tg θ =Lvb кtg ψ =.(16)L2 + ( λ + K ) 2Проанализируем равенство (14).

так как законы изменения углов θ и ψ выражаются зависимостями (15) и (16), то с использованием этих соотношенийравенство (14) перепишем в таком виде:L2 + vb2 к + [K + µ( t к − t ) ]2 = 0 .Это равенство выполняется только при t = t к , vr к = vu к = vb к = 0 , что невозможно по условию задачи. Тогда для выполнения необходимого условия оптимальности следует принять δP = 0 , т.е. вариация от величины тяги на участкевыведения равна нулю.5Оптимальные законы изменения управляющих функций θ и ψ зависят отэлементов траектории выведения на правом конце ( rк , vr к , vu к , vb к ) и их текущих значений ( r , u 1 ).Значения rк , vr к , vu к , vb к , обеспечивающие максимум функционала J ,определяются последовательным интегрированием системы (1), причем прикаждом новом интегрировании в выражения (15) и (16) подставляются те величины скоростей и радиуса-вектора, которые получаются на правом конце траектории.

первые приближения этих величин определяются исходя из условиявыведения КА на приближенно заданную орбиту, например, vu к = 8 км с ,vr к = vb к = 0 , rк = 6570 км .Если на граничные условия на правом конце определены, т.е. поставлена задача о выведении КА на заданную орбиту, то величины rк , vr к , vu к , vb к определяются непосредственно через элементы орбиты:µvr к =e sin ϑ к cos( ∆i ) ,pvu к =µp( 1 + e cos ϑ к ) cos( ∆i ) ,vu к ( ∆i ),cos u кp,rк =1 + e cos ϑ кh + hπ,a =R+ αvb к =hα − hπ,p = ( 1 − e2 ) a ,22 R + hα + hπгде hα , hπ - соответственно высоты апогея и перигея;ϑ к - истинная аномалия точки выведения;∆i = i к − i 0 - разность углов между плоскостью орбиты и основной плоскостью цилиндрической системы координат, определяемой азимутом стрельбы.e=Задача 3.2.Определить скорость изменения углов тангажа и рыскания при движенииракеты-носителя по оптимальной траектории.Решение.

В задаче 3.1 были получены программы угла рыскания и местногоугла тангажа из условия обеспечения максимальной механической энергии аппарата в точке выведения на орбиту. Эти программы имеют видλ+K,(1)tg θ =tg ψ =Lvb кL +( λ + K )262,(2)гдеλ=µ( tк − t ) ,rк2K = vr к − vu к u 1 ,L = 2vr к u 1 + vu к  1 − lntкu1 =∫trк ,кvudt .rУгол тангажа ϕ связан с местным углом тангажа θ следующей зависимостью(3)ϕ = θ − ( u − uc ) ,где u с - аргумент широты точки старта. Из выражения (3) следует(4)ϕ = θ − u .Используя дальше соотношение (1), получаемk − k2,(5)θ = 1k3 + k4гдеr k 1 = − b + cu1 − b ln к (bu + d ) ,r  vk 2 = (a − bu 1 − dt ) b r + cu  , r2r k 3 =  b + cu1 − b ln к  ,r k 4 = (a − bu 1 − dt )2 ,a = vr к + dt к ,b = vu к ,c = 2vr к ,d=µ.rк2Для оценки величины скорости θ упростим выражение (5).

Так как величинаrrln к является малой, то положим ln к = 0 . Поскольку оптимальной программеrrсоответствует выведение в перигей орбиты, то в этом случае vr к = 0 и поэтомувыражение (5) упрощается:vgg v− u − к − к r (t к − t ) + r u 1rvu к vu к r,(6)θ =2[g (t − t ) − vu к u1 ]1+ к кvu2 кгде7gк =µ.rк2Так как знаменатель выражения (6) больше единицы и, учитывая, что слагаемое vr u 1 r по своей величине мало по сравнению с остальными слагаемыми,то окончательно получимg  v(7)θ m ≈ − u − к 1 + r (t к − t ) ,vu к rа из соотношений (4) и (7) следуетg  v(8)ϕ m ≈ − к 1 + r (t к − t ) + 2 u  .vr uкИз выражения (8) видно, что при движении на внеатмосферном участке угловая скорость ϕ достигает наибольшего значения в окрестности конечнойточки.Дифференцируя выражение (2), получаемv (C − C 2 ),(9)ψ = − b к 1C 3C 4гдеv C 1 =  2vr к u 1 + vu к r  L ,r C 2 = (K + λ )(vu к u 1 + g к ) ,С 3 = L2 + vb2 к + (K + λ )2 ,Полагая, как и выше,C 4 = L2 + (K + λ )2 .rк=0rи пренебрегая малыми слагаемыми, окончательно получаемvb к g к2(t к − t ),ψ m ≈ 2vк vu кгдеvк2 = vu2 к + vb2 к .vr к = ln(10)Задача 3.3.КА совершает плоское движение в однородном гравитационном поле безатмосферы под действием реактивной тяги P , направленной под углом ϕ кплоскости горизонта.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров