Семинар №1. Выведение КА на орбиту. Граничные условия. Уравнения движения (1245726)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар №1Выведение КА на орбитуГраничные условия. Уравнения движения.Задача 1.1.Определить суммарную характеристическую скорость, обеспечивающуювозможность выведения КА на круговую орбиту спутника Земли высотой h .Решение. Искомая характеристическая скорость выведения на орбиту включает три слагаемых. Первое - характеризует работу, которую нужно совершить,чтобы поднять КА на высоту h и сообщить ему круговую скорость, соответствующую заданной высоте; второе - обусловлено затратами энергии на преодоление сопротивления атмосферы и третье - затратами на перемещение топлива и элементов конструкции ракеты-носителя.Первое слагаемое определяется работой, состоящей из двух частей:1.

Работа, необходимая для поднятия КА с расстояния R от центра Земли (споверхности Земли) до расстояния r = R + h (потенциальная энергия).Так как сила притяжения, действующая на единичную массу со стороныЗемли, равна µ r 2 , то для перемещения этой массы из положения R в положение r потребуется работаrEП =µ∫r2 1 1− .R rdr = µR2. Работа, которую нужно совершить, чтобы сообщить КА круговую скорость (кинетическая энергия).Для единичной массы, с учетом зависимостиµv=EK =Полная энергияrv22=,µ.2r1 1− , R 2r E = E П + E K = µи, следовательно, первое слагаемое характеристической скорости определяетсяиз соотношенияv121 1= µ −  ,2 R 2r откуда следует1v1 =R2µ 1 −  .R  2r (1)Таблица 1.1.Круговая vк и характеристическая v1 скорости (в м/с)выведения КА без учета потерь энергии на участкевыведения для различных высот полетаВысота,Земляvкv1км0791279121007851797320077918031300773280884007675814250076198194*35809307610758* - стационарная орбита.МарсЛунаvкv1vкv1356235103461341433693325356236123660370437453784167916331590155115141480167917241764179818291857В таблице 1.1 приведены значения круговых скоростей для различных высотполета над поверхностью планет и величины соответствующих значений характеристической скорости, рассчитанных по формуле (1).

Приведенные результаты показывают, что с увеличением высоты орбиты величина характеристической скорости v1 также возрастает. Так, для орбиты с высотой 200 кмхарактеристическая скорость составляет 8031 м/с, а для высоты 300 км онаувеличивается до 8088 м/с, т.е.

возрастает на 57 м/с (при падании круговойскорости на 59 м/с).Второе слагаемое суммарной характеристической скорости обусловлено потерями на преодоление сопротивления атмосферы. Величина её в значительноймере зависит от аэродинамических характеристик ракеты-носителя и скоростидвижения на активном участке. Она составляет примерно 0,1÷0,5 км/с.Третье слагаемое суммарной характеристической скорости связано с гравитационными потерями.

Они обусловлены тем, что приходится тратить энергиюне только на подъем и сообщение скорости полезной нагрузке, но и на перемещение элементов конструкции ракеты-носителя и топлива. Величина этих потерь в существенной степени зависит от параметров ракеты-носителя и времени движения на активном участке. При увеличении времени подъема назаданную высоту при прочих равных условиях указанные потери возрастают.Для околокруговых орбит с высотой 200 км гравитационные потери составляют 1000÷1200 м/с. Значит, для запуска КА на высоту 200 км величина характеристической скорости составит 9,0÷9,5 км/с.2Задача 1.2.Определить граничные условия на правом конце траектории выведения КАна стационарную орбиту в центральном и нормальном гравитационном поляхЗемли.Решение.

Известно, что круговая стационарная орбита лежит в плоскостиэкватора Земли, а период обращения T равен звездному периоду вращенияЗемли вокруг своей оси. Граничными условиями выведения для такой орбитыявляются:• радиус круговой орбиты;• величина и направление скорости;• долгота выведения.1. Предположим, что гравитационное поле Земли является центральным.Так как по условию орбита является круговой, то величина радиуса ее можетбыть определена из уравненияT = 2πr3,µ(1)где T = 23 ч 56 мин 04 с .2T r = µ  2π Величину круговой скорости находим по формулеµ.v1 =3(2)rЭта скорость должна быть направлена в сторону вращения Земли по нормалик радиусу-вектору в плоскости экватора.Долгота выведения характеризует положение КА на стационарной орбите ивыбирается в соответствии с назначением КА.В рассматриваемом случае граничные условия примут следующие значения:v = 3076 м с , h = 35809 км , r = 42187 км , θ = 0 ,где θ - угол наклона вектора скорости к местному горизонту.2.

Учтем сжатие Земли, т.е. отличие нормального гравитационного поля отцентрального.Сжатие Земли приводит к вековому изменению периода обращения за одинвиток по отношению к движению в центральном гравитационном поле на величину4π J 3,(3)∆T = −µr µгде J 3 = 2 ,634 ⋅ 10 10 км 5 с 2 - третий коэффициент в разложении гравитационного потенциала Земли в ряд по сферическим функциям.Для вычисленного значения r величина ∆T за виток составит -6,4 с.

Этоозначает, что если КА будет выведен на стационарную орбиту с граничными3условиями, соответствующими центральному гравитационному полю сил, тофактический период обращения его окажется на 6,4 с меньше требуемого. Врезультате КА начнет смещаться вдоль экватора со скоростью около 20 км заодин виток (т.е. за сутки). Чтобы этого не произошло, необходимо увеличитьпериод обращения на величину ∆T и сохранить движение КА на круговой орбите.

Это можно достигнуть путем увеличения радиуса круговой орбиты и соответствующего изменения скорости.Из выражения (1) найдем связь вариаций ∆T и ∆r :2π 3 1 233T∆T =∆r .r ∆r = Tr 1 2 r − 3 2 ∆r =22 rµ2Используя соотношения (1), (3), найдем величину ∆r , на которую необходимо увеличить радиус орбиты КА:2 r2 rµ 4π J 3 4 J 3.(4)∆r =∆T ==3T3 2 π r 3 µr µ 3 µrДля приведенных параметров стационарной орбиты ∆r = 2 ,1 км .Для определения поправки к скорости полета найдем связь вариации скорости кругового движения с вариацией радиуса орбиты. Из равенства (2)v ∆r11 µ1 µ.(5)∆v = −µ r − 3 2 ∆r = −∆r = −∆r = −322 r2r r2 rВ рассматриваемом случае ∆v = −0 ,08 м с .Из проведенного анализа следует, что для определения приближенных граничных условий выведения КА на стационарную орбиту необходимо найти ихзначения в центральном гравитационном поле сил, а затем радиус увеличить на2,1 км и скорость полета уменьшить на 0,08 м/с.Задача 1.3.Используя уравнения Лагранжа второго рода, составить дифференциальные уравнения поступательного движения центра масс ракеты-носителя внормальном гравитационном поле Земли в цилиндрической системе координатпри отсутствии влияния атмосферы.Решение.

Для составления дифференциальных уравнений движения ракетыносителя в ряде случаев удобно использовать уравнения Лагранжа 2-го родаd  ∂E K  ∂E K−= Fi ,i = 1, n ,dt  ∂q i  ∂q iгде q i - обобщенные координаты; Fi - обобщенные силы; E K - кинетическаяэнергия.Введем цилиндрическую систему координат, в которой r - радиус, u - аргумент широты, b - расстояние по нормали к плоскости орбиты.Пусть r , u , b - обобщенные координаты и r , u , b - обобщенные скоростиракеты-носителя в цилиндрической системе координат.4Кинетическая энергия ракеты-носителяEK =m( r 2 + r 2 u 2 + b 2 ) ,2Используя уравнения Лагранжа, получаемmvu2+ Fr ,rmv vmvu = − u r + Fu ,rmvb = Fb .(1)mvr =(2)Так как гравитационное поле сил притяжения Земли является консервативным, то∂U 0∂U 0∂U 0,,Fb =Fu =Fr =,∂b∂r∂uгде Fi ( i = r , u , b ) - производная по соответствующему направлению, U 0 гравитационный потенциал Земли, который для случая нормального поля может быть записан в формеU0 =µr1+3 J2  21sin B 0 −  ,3 2 r1 3(3)где J 2 = −1 ,756 ⋅ 10 10 км 5 с 2 - второй коэффициент в разложении гравитационного потенциала Земли в ряд по сферическим функциям;B 0 - геоцентрическая широта,1(4)sin B 0 = ( r sin u sin i + b cos i ) ,Таким образом,r1r12 = r 2 + b 2 .∂U 0J2µ9 J 2r3 J22=− 3r−sin+3+BkbsinBr,00∂r2 r152 r15r1r15∂U 0J= 3 42 r sin B 0 sin i cos u ,∂ur1∂U 0Jµ9 J 2b 23 J2= − 3 b−sin B 0 − 3 52 kr sin B 0 +b.5∂b2 r12 r15r1r1Проекции вектора тяги P определяются формуламиPr = P sin θ cos ψ ,Pu = P cos θ cos ψ ,Pb = P sin ψ ,5где θ - угол между вектором тяги и местным горизонтом, ψ - угол рыскания.В результате получаем систему уравнений движения ракеты-носителя:vu2+ Br + Cb ,rvvvu = A cos θ cos ψ − u r + D ,rvb = A sin ψ + Bb − Cr ,r = vr ,vu = u ,rb = vb ,vr = A sin θ cos ψ +гдеA=P,mB=−µ31(5)m = m0 − m ( t − t 0 ),−()3 J23 sin 2 B 0 − 1 ,52 r1rJC = 3 52 k sin B 0 ,r1JD = 3 42 sin B 0 cos u sin i ,r1b sin u sin i − r cos ik=.r1Задача 1.4.Составить уравнения движения центра масс ракеты-носителя (РН) дляучастка выведения в стартовой системе координат в нормальном гравитационном поле Земли.Решение.

Запишем уравнение движения центра масс РН в абсолютной системе координат. Для этого воспользуемся уравнением Мещерского, которое врассматриваемом случае может быть представлено в виде (1)mva = F + P ,гдеva - вектор абсолютной скорости центра масс РН;F - вектор внешних сил, приложенных к РН;P - вектор реактивных сил.Величина P , как известно, определяется соотношением6P = P уд m g 0 + ( pa − p ) S c ,где P уд - удельная тяга двигателя;m - массовый секундный расход рабочего тела;g 0 - ускорение силы тяжести на поверхности Земли ( g 0 = 9 ,81 м с 2 );pa - давление газов на срезе сопла;p - атмосферное давление;S c - площадь выходного сечения сопла.Абсолютное ускорение va можно представить в форме  va = v + ve + vk ,(2)(3)где v - относительное ускорение;ve - переносное ускорение;vk - кориолисово ускорение.При описании движения РН в стартовой системе координат ускорение силыпритяжения Земли удобно разложить на две составляющие:♦ gTr , направленную к центру Земли;♦ gT ω , направленную параллельно оси вращения Земли.В рассматриваемом случае эти составляющие определяются формуламиgTr =µr2+gT ω = −33 J2( 5 sin 2 B 0 − 1) ,42rJ2sin B 0 ,r4(4)(5)где µ - гравитационный параметр Земли ( µ = 3 ,986 ⋅ 10 5 км 3 с 2 );J 2 - второй коэффициент в разложении гравитационного потенциала Землив ряд по сферическим функциям ( J 2 = −1 ,756 ⋅ 10 10 км 5 с 2 );B0 - геоцентрическая широта.Аэродинамические силы, возникающие при движении РН в атмосфере, можно привести к одной результирующей силе, проходящей через центр масс РН иназываемой полной аэродинамической силой.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров