Семинар №3. Выведение КА на орбиту. Оптимизация и выбор программы движ-я ракеты-носителя (1245728), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Тяга двигателя P( t ) и масса КА m( t ) являются известными функциями времени. Начальные условия движения КА определены полностью, а из конечных условий известны только значения составляющих вектора скорости.8Определить закон изменения угла ϕ( t ) из условия достижения максимальной высоты в конечной точке при фиксированном значении времени работыдвигателя.Решение. Уравнения движения КА имеют следующий вид x = P cos ϕVm y = P sin ϕ − g Vmx = Vxy = Vyначальные условия движенияVx ( t 0 ) = Vx 0Vy ( t 0 ) = Vy 0x(t 0 ) = x 0y( t 0 ) = y 0граничные условия на правом концеVx ( t к ) = Vx кVy ( t к ) = Vy кФункционал, характеризующий высоту подъема КА(1)(2)(3)tкJ = y 0 + ∫ Vy dt(4)t0Введем вспомогательный функционал типа (8) (см.

Введение):PP(5)G = Vy + λ1  Vcos ϕ  + λ 2  Vsin ϕ + g  + λ 3 (x − Vx ),x −y −mmгде λ1 , λ 2 , λ 3 - неопределенные множители Лагранжа.Функция G равна основному функционалу на всех траекториях, удовлетворяющих дифференциальным связям (1), и поэтому позволяют перейти отзадачи на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум функционала.Для искомых функций Vx , Vy , x , ϕ получаем следующую систему уравнений Эйлера-Лагранжаλ 1 = −λ 3λ 2 = 1λ 3 = 0λ1 sin ϕ − λ 2 cos ϕ = 0которая имеет решение9,(6)λ1 = C1 + C 3 ( t − t 0 )λ 2 = C 2 + (t − t 0 ),(7)λ 3 = −C 3C 2 + (t − t 0 )tgϕ =C1 + C 3 ( t − t 0 )где C1 , C 2 , C 3 - неизвестные постоянные.Смысл уравнений Эйлера-Лагранжа заключается в том, что они заменяясистему оптимизируемых функций превращают функционал в функцию постоянных величин C1 , C 2 , C 3 .

Таким образом, решение задачи сводится к нахождению постоянных C1 , C 2 , C 3 , которые определяют максимальное значениефункционала (4). Поскольку на правом конце заданы только два граничныхусловия (3), то их недостаточно для определения трех констант C1 , C 2 , C 3 .Поэтому используем условие трансверсальности (12) (см. Введение) для координаты x , поскольку в момент t к на неё ограничения не наложены:∂Gδx = λ 3 δx t = t = 0 .к∂xОтсюда следует, что λ 3 к = 0 ⇒ C 3 = 0 .Тогдаt − t0C.tgϕ = 2 +C1C1Так как при t = t 0 имеемCtgϕ( t 0 ) = tgϕ 0 = 2 ,C1тоt − t0.(8)tgϕ = tgϕ 0 +C1В выражении (8) неизвестными являются tgϕ 0 и C1 , для определения которых воспользуемся двумя граничными условиями.В начальный момент времениVytgϕ 0 = 0 .Vx 0Интегрируя первые два уравнения системы (1), получаемtкPVx к = Vx 0 + ∫ cos ϕdtmt0tкPVy к = Vy 0 + ∫  sin ϕ − g dt mt0 10Отсюда можно выразить Vx 0 , Vy 0 как функции угла ϕ , исключив их извыражения для tgϕ 0 :tкPsin ϕdtmt0Vy к + g ( t к − t 0 ) − ∫tgϕ 0 =tкVx кгдеt − t0 1tgϕ+0C C1 1cos ϕ =Csin ϕ =,(9)P− ∫ cos ϕdtmt0,2t − t0 C = 1 +  tgϕ 0 + .C1 При известных величинах P , m , t 0 , t к , ϕ 0 уравнение (9) содержит толькоодну неизвестную величину C1 .

Следовательно, решив (9) относительно C1 ,полностью определим оптимальную программу угла ϕ .Определив оптимальную программу движения в однородном гравитационном поле сил, можно оценить возможность её распространения на реальноеполе сил с учетом существующих средств управления полетом РН. На практике, как правило, для удобства и надежности технической реализации, применяются квазиоптимальные программы, т.е. программы достаточно близкие коптимальным.Например, полученную программу угла тангажа видаt − t0tgϕ = tgϕ 0 +C1реализуют в виде линейной функцииϕ = ϕ 0 + ϕ ( t − t 0 ) ,которая в качестве свободных параметров содержит: ϕ 0 - начальное значениеугла тангажа; ϕ - скорость его изменения.11.

Характеристики

Список файлов семинаров