Лекция №7-8. Макроуровень (1245001), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Метод узловых потенциалов не привносит ничего нового к правилам Кирхгофа и закону Ома. Он лишьформализует их использование настолько, чтобы их можно было применить к любой сколь угодно сложной цепи и пригодендля расчёта посредством компьютеров. Исходная информация вводится в виде эквивалентной схемы.Если в цепи, состоящей из У узлов и Р рёбер, известны все характеристики звеньев (полные сопротивления R, величиныисточников ЭДС E и тока J), то возможно вычислить токи Ii во всех рёбрах и потенциалы φi во всех узлах на основе законовКирхгофа.
Перед началом расчёта выбирается один из узлов (базовый узел), потенциал которого считается равным нулю. Затемузлы нумеруются, после чего составляется система уравнений для каждого узла, кроме базового. При расчёте цепи имеем У-1+Рнеизвестных переменных: У–1 узловых потенциалов и Р токов в рёбрах.Рис. 1. Фрагмент цепи: узел с примыкающими звеньямиСогласно 1-му закону Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю:Ток в звене определим, исходя из закона Ома для участка цепи:откудаилиОбозначив проводимости рёбер черезполучим окончательное уравнение для узлаПри формализации слева от знака равенства записывается потенциал рассматриваемого узла, умноженный на суммупроводимостей ветвей, примыкающих к нему, минус потенциалы узлов, примыкающих к данному, умноженные напроводимости ветвей, соединяющих их с данным узлом.Справа от знака равенства записывается сумма всех источников токов, примыкающих к данному узлу, плюс суммапроизведений всех ЭДС, примыкающих к данному узлу, умноженная на проводимость соответствующего звена.Последнее уравнение получено, исходя из предположения, что все источники тока и ЭДС направлены в сторону рассматриваемогоузла.
Если какой-либо источник направлен в противоположную сторону, его ЭДС или ток необходимо взять с обратным знаком.В общем виде:А). Составляется матрица инцидентности А=(aij), которая содержит информацию о структуре схемы (что с чем соединено).Если i – номер узла, j – номер ветви, aij =(+\-)1, если узел i и ветвь j инцидентны. Иначе 0.(+) если в ветви направление тока к узлу, (-) если направление тока от узла.Пример:R1Ист.
токаR2С1R3L1C2Эквивалентная схемаМатрица инцидентности А :Узлы1234C1 C2 R1 R2 R3 L10 0 -1 0 00-1 0 +1 -1 0 00 00 +1 -1 +10 -1 00 +1 0J1000Б). Составляется матрица проводимости ветвей y = dI/dU:-резистивная ветвь yi =1/Ri-источник токаyi = 0-емкостная ветвьIс = С dU/dt. Производим замену производных конечными разностямиIn = C (Un –Un-1)/h , h – шаг интегрирования. In = y Un + q , где y = c/h , q = - c/h Un-1 .-индуктивная ветвь Un = L (In – In-1)/ h,In=y Un + q , где y = h/L,q = In-1В общем виде I = Y U + Q - набор компонентных уравнений, где Q – набор известных параметров на предыдущем шагеинтегрирования.В развернутом виде:IC1IC2IR1IR2IR3IL1IJ1Uc1 Uc2 UR1 UR2 UR3 UL1 UJ1C1/hC2/h1/R11/R21/R3h/L1K0-C1/h U1n-1-C2/h U2n-11/R1 U11/R2 U21/R3 U3h/L1Un-130матрица узловых проводимостей Yвектор невязок QY – матрица узловых проводомостей Q – вектор невязокВ).
Записываем топологические уравнения в матричной форме: сумма токов каждого узла равна 0.AI =0Подставляем вместо тока его значение из матричной формы компонентных уравненийA Y U + A Q = 0Переходим от напряжений к потенциалам: любой элемент вектора U есть разность потенциалов инцидентных узлов, что м.б.выражено в матричной форме через матрицу инциденций:U = Aт Фи(фи1, фи2, …)илиA Y Aт Фи = A QЯ Фи = A Q- получена система ММС в виде САУ,(1)где Я – матрица Якоби (матрица узловых проводимостей Я = dI/ dФи).Для решения этой системы представим ее в видегде-матрица Якоби ,Представим СНАУ в видеРазлагая— вектор правых частей.(2)в ряд Тейлора в окрестностях некоторой точки,получаемСохраняя только линейные члены, получаем СЛАУ с неизвестным вектором:(3)где— матрица Якоби.Решение системы (3) дает очередное приближение к корню системы (2), которое удобно обозначитьВычислительный процесс стартует с начального приближениякогда погрешность, оцениваемая как.и, в случае сходимости итераций, заканчивается,станет меньше допустимой погрешности.Ограничения классического узлового метода:- в схемах не должно источников напряжения- в аргументах зависимых ветвей могут быть только потенциалыВ программах анализа, использующих модифицированный узловой метод, эти ограничения сняты за счет усложнения СЛАУ.Модифицированный узловой метод лежит в основе блоков анализа эквивалентных схем программ PA-9, OrCad, МiltiSim, Adams.Алгоритм анализа на макроуровне включает в себя:а) получение информации о соединении элементов в узлы на основе эквивалентной схемы или в программно-логистическойформе (VHDL, Verilog).
Вводимые данные преобразуются во внутреннее представление с помощью графического илингвистического препроцессоров, в которых предусмотрена диагностика эквивалентной схемы и нарушений формальныхязыковых правил.б) алгоритм получения MMC на основе компонентных и топологических уравнений, М-матрицы или матрицы инциденций,узлового методав) решение полученной СОДУ:- при помощи дискретизации и алгебраизиции получается СНАУ, которая решается методами прямой итерации (Зейделя), припомощи неявного метода Эйлера или комбинацией явного и неявного методов Эйлера (метод трапеций). Для них необходимовыполнение довольно жестких условий сходимости, характерна сравнительно медленная сходимость.- при помощи линеаризации (метод Ньютона, разложение в ряд Тейлора) СНАУ заменяется СЛАУ в окрестности некоторой точки(программно изменяется шаг в окрестности этой точки).Граф-схема вычислительного процесса при анализе во временной области на макроуровне представлена на рис.Рис.
Граф-схема вычислительного процесса при анализе во временной области на макроуровне.Алгоритм отражает решение системы алгебро-дифференциальных уравненийНа каждом шаге численного интегрирования решается система нелинейных алгебраических уравненийметодом Ньютона.На каждой итерации выполняется решение системы линейных алгебраических уравненийДругие используемые обозначения:— начальные условия;и— шаг интегрирования и его начальное значение;— вектор внешних воздействий;и— число ньютоновских итераций и его максимально допустимое значение;— предельно допустимая погрешность решения СНАУ;— погрешность, допущенная на одном шаге интегрирования;— максимально допустимое значение погрешности интегрирования на одном шаге;— нижняя граница коридора рациональных погрешностей интегрирования.Из рисунка ясно, что прификсируется несходимость ньютоновских итераций и после дробления шага происходитвозврат к интегрированию при тех же начальных для данного шага условиях.
При сходимости рассчитываетсяот того, выходит погрешность за пределы диапазонаПараметрыи в зависимостиили нет, шаг изменяется либо сохраняет свое прежнее значение.задаются "по умолчанию" и могут настраиваться пользователем.Матрицу Якобии вектор правых частейнеобходимо рассчитывать по программе, составляемой для каждого новогоисследуемого объекта. Составление программы выполняет компилятор, входящий в cостав программно-методического комплекса.Общая структура такого комплекса представлена на рис.
вверху.Анализ процессов в проектируемых объектах можно производить во временной и частотной областях.Анализ во вр еменной области (динамический анализ) позволяет получить картину переходных процессов, оценитьдинамические свойства объекта, он является важной процедурой при исследовании как линейных, так и нелинейных систем.Методы анализа во временной области, используемые в универсальных программах анализа в САПР — это численные методыинтегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), методы алгебраизации.
Формулы интегрированияСОДУ могут входить в математическую модель (ММ) независимо от компонентных уравнений или быть интегрированными в ММкомпонентов, как это выполнено в узловом методе.От выбора метода решения СОДУ существенно зависят такие характеристики анализа, как точность и вычислительнаяэффективность. Эти характеристики определяются прежде всего типом и порядком выбранного метода интегрирования СОДУ.Применяют два типа методов интегрирования — явные мето ды (иначе экстраполяционные или методы, основанные наформулах интегрирования вперед), и неявные (интерполяционные, основанные на формулах интегрирования назад).
Различиямежду ними удобно показать на примере простейших методов первого порядка — методов Эйлера .Формула явного метода Эйлера представляет собой следующую формулу замены производных в точке tnВ формуле неявного метода Эйлера использовано дифференцирование назад:Доказано, что неявные методы более трудоемкие, но и более универсальные в связи с большей устойчивостью (погрешностьинтегрирования остается ограниченной при любом шаге). Выбор порядка метода решения СОДУ довольно прост:во-первых, более высокий порядок обеспечивает более высокую точностьво-вторых, среди неявных разностных методов, кроме метода Эйлера, A-устойчивы также методы второго порядка и среди них —метод трапеций.
Поэтому преобладающее распространение в программах анализа получили методы второго порядка —модификации метода трапеций (комбинация явного и неявного методов Эйлера).Анализ в частотной области более специфичен по сравнению с анализом во временной области. Анализ в частотной областивыполняется по отношению к линеаризованным моделям объектов. Для линейных систем дифференциальных уравненийсправедливо применение для алгебраизации дифференциальных уравнений преобразования Фурье, в котором операторзаменяется на оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
