Лекция №7-8. Макроуровень (1245001), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для линейной спиральной пружины справедливо уравнение: M=Cφ ,где φ - угол закручивания пружины. Дифференцируя по времени получим 3-е компонентное уравнение вращательной упругости.Для бруса с круглым поперечным сечением справедливо уравнение: M = GJpθ, где М - крутящий момент, G - модуль сдвига ,Jp - полярный момент инерции сечения, θ=относительный угол закручивания.
Для бруса конечной длины θ=где φ- угол закручивания , l - длина бруса. Продифференцировав обе части уравнения по времени получим:=, или ω=где C=,.Условные изображения на эквивалентных схемах представлены на рис.Топологические уравнения для механической вращательной подсистемы.а) уравнение равновесияб) уравнение непрерывности(принцип Даламбера для вращательных подсистем)(принцип сложения скоростей)Эквивалентные схемы гидравлических закрытых подсистемВ гидравлических закрытых подсистемах влиянием высоты столба жидкости на давление можно пренебречь, так как рабочеедавление существенно превышают те, которые обусловлены высотой столба жидкости.Переменной типа потока является объемный расход G, переменной типа потенциала давление P.Простейшие элементы: потеря давления R, сжимаемость Cg, инерционность Lg, компонентные уравнения которых:G=P, G=Cg, P=Lgи источники расхода и давления с компонентными уравнениямиG=G(Z), P=P(Z), где в качестве Z может фигурировать время или фазовая переменная.Топологические уравнения - гидравлическая (пневматическая) закрытая подсистема.а) уравнение равновесияб) уравнение непрерывностиGi=0 (сумма расходов в узле равна нулю)Pj=0 (сумма разностей давлений при обходе по замкнутому контуру равна нулю)Алгоритм составления эквивалентных схем1.
Базовый узел эквивалентной схемы соответствует точке отсчета давления - либо абсолютному нулю, либо атмосферномудавлению. Выбор точки отсчета зависит от реализованных в математических моделях зависимостях, например, зависимостимодуля упругости от газосодержания и температуры.2. В подсистеме выделяются элементы, сжимаемость жидкости в которых оказывает существенное влияние на динамикуподсистемы, как правило это резервуары значительного объема. На эквивалентных схемах такие элементы одним полюсомподключаются к базовому узлу.
Все взаимодействия с окружающей средой осуществляются через второй полюс.3. В гидравлических подсистемах, кроме резервуаров, из пассивных элементов присутствуют дроссели и трубопроводы. Онивключаются между соответствующими резервуарами или между собой. Трубопровод, когда можно пренебречь волновымипроцессами, отображается элементом потерь или последовательно включенными элементом потерь и элементом инерционности, впротивном случае необходимо использовать более сложные модели, например модели с распределенными параметрами.4.
Активные компоненты - насосы, аккумуляторы давления отображаются на эквивалентных схемах в виде источниковрасхода и давления ограниченной мощности.Пример эквивалентной схемы для гидравлической подсистемы представлен на рис.4. Дроссели Д1-Д3 представленыэлементами потери давления R1-R3, трубопроводы от насоса Н к резервуарам С1-С3 элементами R4-R6.Рис. 4.Эквивалентные схемы гидравлических открытых подсистемВ открытых гидросистемах давления определяются высотой столба жидкости или напором h, поэтому переменной типапотенциала можно выбрать эту величину, а переменной типа потока, как и в закрытых подсистемах, оставить объемный расходG.
Сжимаемостью жидкости при давлениях, характерных для открытых гидросистем, можно пренебречь. Простейшие элементы:потеря давления R, емкость C, инерционность L, компонентные уравнения которых:G=h, G=C, h=Lи источники расхода и напора с компонентными уравнениями:G=G(Z) и h=h(Z), где в качестве Z может фигурировать время или фазовая переменная.Алгоритм составления эквивалентных схем1. Базовый узел эквивалентной схемы соответствует атмосферному давлению.2. В подсистеме выделяются элементы, в которых возможно изменение уровня жидкости, на эквивалентных схемах такиеэлементы одним полюсом всегда подключаются к базовому узлу, все взаимодействия осуществляются через второй узел.3.
Трубопроводы отображаются также как в закрытых гидросистемах.4. Слив из резервуара и перетекание жидкости из одного резервуара в другой моделируются с помощью зависимыхисточников расхода и давления, как это показано в следующем примере.Для участка некоторой технологической цепочки, представленной на рис.3 составлена эквивалентная схема, показанная нарис.4а) уравнение равновесияб) уравнение непрерывностиGi=0 (сумма расходов в узле равна нулю)hj=0 (сумма разностей напоров при обходе по замкнутому контуру равна нулю).Рис.5Эквивалентные схемы тепловых подсистемПеременной типа потока является тепловой поток Ф, переменной типа потенциала - температура Т. Простейшие элементы:теплопроводность R, теплоемкость C, компонентные уравнения которых:Ф=T , Ф=Cи источники теплового потока и температуры с компонентными уравнениями:Ф=Ф(Z), Т=Т(Z),нетФТРис.
6.Алгоритм составления эквивалентных схем.1. Базовый узел эквивалентной схемы соответствует условному телу с температурой 0С или 0K. Выбор точки отсчета зависитот реализации математических моделей элементов, но для всех элементов должен быть одинаков.2. В подсистеме выделяются элементы, у которых необходимо учесть теплоемкость. На эквивалентных схемах такие элементыодним полюсом подключаются к базовому узлу. Весь теплообмен с данным элементом осуществляется через другой полюс.3. Между соответствующими узлами включаются элементы теплопроводности.Рассмотрим построение эквивалентной схемы для объекта, представленного на рис.2.Рис.2Рис.3Здесь П-плита, Н - нагреватель с теплоемкостью Сн и мощностью Р.
Считая, что плита расположена горизонтально,теплоотдачей вниз от нее пренебрегаем. Представим плиту в виде четырех элементов с теплоемкостью каждого участка Сп. Дляполучения более точных результатов, необходима большая дискретизация, но в данном случае для иллюстрации полученияэквивалентной схемы достаточно предложенного разбиения.Сп - теплоемкость участка плиты, которая считается сосредоточенной в центре участка, R1-R4 -теплопроводности междуучастками платы, R5- теплопроводность между нагревателем и платой, R6-R10 - конвекционные теплопроводности, Т- источниктемпературы, равный температуре окружающей среды, Ф=Р - источник теплового потока, определяемый мощностью нагревателя.Топологические уравнения - тепловая подсистема.а) уравнение равновесияб) уравнение непрерывностиФi=0 (сумма тепловых потоков в узле равна нулю)Тj=0 (сумма разностей температур при обходе по замкнутому контуру равна нулю)Типы связей между физическими однородными подсистемамиТипы связей между подсистемами можно классифицировать следующим образом:1) трансформаторный2) гираторный 3-4-5)-дифференциальный, интегральный, через зависимые параметры.Трансформаторный тип связи.
Энергия (потенциальная) переходит в другой тип (кинетическую) с каким-токоэффициентом преобразования и потерями. Эквивалентная схема этого типа связи представлена на рис.1Рис.1Рассмотрим эквивалентную схему объекта, представленного на след. рисункеЗдесь источники V1 и M1 представляют трансформаторное взаимодействие поступательной подсистемы с массой m1 ивращательной, а источники V2 и M2 - взаимодействие поступательной подсистемы с массой m2 и вращательной.Гираторный тип связиДля этого типа можно предложить два равноценных варианта эквивалентных схем, которые отличаются использованиемзависимых источников различных типов - потока (рис.4) или потенциала (рис.5).Рис.
4.Рис. 5.Учитывая особенности методов формирования ММС предпочтение следует отдать первой схеме рис.4.Рассмотрим этот вид взаимодействия при построении эквивалентной схемы простейшего одностороннего гидроцилиндра(рис.6). Предполагая, что корпус цилиндра неподвижен, можно построить эквивалентную схему, показанную на рис.7.Рис. 6.Рис. 7.Здесь P - источник внешнего давления на входе в трубопровод, Rg и Lg - потери и инерция движения жидкости втрубопроводе, Сg - полость гидроцилиндра, М - масса поршня, TR1 - трение поршня о стенки, U1 - упругость штока от поршня достенки, U2 - упругость остальной части штока, F2 - внешнее воздействие на шток.
Источники Q и F - элементы гираторной связи скомпонентными уравнениями G=V*S где S -площадь поперечного сечения поршня, V - скорость движения поршня, и F=Pc*S, Pc давление в гидроцилиндре.Формирование математической модели системы (ММС)Известен ряд методов формирования ММС на макроуровне. Получаемые с их помощью модели различаются ориентацией на теили иные численные методы решения и набором базисных фазовых переменных, остающихся в уравнениях итоговой ММС.Общим для всех методов является исходная необходимость получения информации об эквивалентной схеме исоединении элементов в узлы.При записи топологических уравнений используют промежуточную графическую форму — представление модели ввиде эквивалентной схемы , состоящей из двухполюсных элементов.
Общность подхода при этом сохраняется, так каклюбой многополюсный компонент можно заменить подсхемой из двухполюсников.Эквивалентную схему из двухполюсных элементов рассматривают как направленный граф, дуги которого соответствуют ветвямсхемы. Граф, подграф, сурграф (подграф, включающий все вершины графа), нормальное дерево (фундаментальноедерево, которое не имеет циклов и любая пара вершин соединена единственным маршрутом) с ветвями, рассматриваемыми впоследовательности E, C, R, L, J- эти понятия из теории графов понадобятся при рассмотрении.
Направления потоков в ветвях выбираются произвольно (еслиреальное направление при моделировании окажется противоположным, то это приведет лишь к отрицательным численнымзначениям потока).Пример некоторой простой эквивалентной схемы и соответствующего ей графа приведен на рис. 1,a. Для конкретности ипростоты изложения на рис. 1,a использованы условные обозначения, характерные для электрических эквивалентных схем, иприменяется электрическая терминология. Очевидно, что поясненные выше аналогии позволяют при необходимости легко перейтик обозначениям и терминам, привычным для механиков.Рис. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
