Лекция №7-8. Макроуровень (1245001), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Эквивалентная схема и соответствующий ей графДля получения топологических уравнений все ветви эквивалентной схемы разделяют на подмножества хорд и ветвей дерева.Имеется в виду фундаментальное (покрывающее) дерево, т.е. подмножество издуг, не образующее ни одногозамкнутого контура, где— число вершин графа (узлов эквивалентной схемы). На рис. показан граф эквивалентной схемы,толстыми линиями выделено одно из возможных покрывающих деревьев.Выбор дерева однозначно определяет вектора напряженийдерева и приводит к записи топологических уравнений в видеи токовхорд, напряженийи токовветвей(1)(2)где— матрица контуров и сеч ени й ,— транспонированная-матрица.В случае электрических и гидравлических систем уравнения (1) представляют собой уравнения напряжений Кирхгофа дляконтуров, образованных поочередным подключением каждой из хорд в отдельности к дереву, а уравнения (2) — уравнениятоков Кирхгофа для сечений ветвей дерева, т.е.
для таких сечений, при которых пересекаются некоторые хорды иединственная ветвь дерева.-матрица несет информацию в заложенной структуре о порядке соединения элементов. Число строк соответствуетчислу хорд, число столбцов равно числу ветвей дерева.подключаются хорды. Если при подключении к деревуэлементматрицы равен-й хорды-я ветвь входит в образовавшийся контур, топри совпадении направлений ветви и подключенной хорды,направлений. В противном случаеДля схемы на рис.
1,б-матрица формируется следующим образом. Поочередно к деревупри несовпадении.-матрица представлена в виде табл. 1.Таблица 1ОбозначениеВетвь C1Хорда R11Хорда R20Хорда R30Хорда R4Хорда JВетвь C2Ветвь C3001001+11+1+100Второй шаг – решение ММ системы в виде полученных ОДУ+АУ тем или иным способом.Метод переменных состоянияУравнения электромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрическойцепи. Метод переменных состояния позволяет представить математическую модель устройства в виде системы дифференциальныхуравнений первого порядка относительно переменных состояния, вектора входных воздействий и вектора выходных параметров ввиде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования.Количество переменных состояния (число уравнений состояния), равно числу независимых накопителей энергии, вкачестве которых выступают токи индуктивностейемкостейс производнымии производные, напряжения (заряды)и источники внешних воздействий – ЭДС и тока.Полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид(2);(3).Здесьи- столбцовые матрицы переменных состояния и их первых производных по времени; U - матрица-столбецисточников внешних воздействий; Y - столбцовая матрица выходных (искомых) величин; A - квадратная размерностью n x n (гдеn – число переменных состояния) - матрица производных, называемая матрицей Якоби; B - прямоугольная матрица связиисточников с переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); C - прямоугольная матрицасвязи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); D прямоугольная размерностью к x m -матрица связи входа с выходом.
Начальные условия для уравнения (2) задаются векторомначальных значений(0).Пример 1). Рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токии.По законам Кирхгофа для данной цепи запишем;(4)(5);(6).Посколькус учетом соотношения (6) перепишем уравнения (4) и (5) в видеВектор начальных значений(0)=.Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказатьсязатруднительным.
В этой связи используем методику упорядоченного составления уравнений состояния, которая включает в себяследующие основные этапы:1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы иисточники напряжения (ЭДС) в последовательности E, C, R, L, J. Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охватадеревом всех узлов. В ветви связи (хорды) включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме). Первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами,затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивнымиэлементами (см. рис. 4,б).3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи.
В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются ветви- емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются хорды резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.Таблица соединенийВетви/хорды С->11R1->22 uR2->33-100L->44111J10Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи дополучения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+»записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющиепротивоположную ориентацию. Осуществляется сканирование таблицы по столбцам и по строкам.
В первом случае получаютсяуравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму.В рассматриваемом случае (равенствотривиально),откуда в соответствии с нумерацией токов в исходной цепи.При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками,противоположными табличным:(7)Эти уравнения совпадают соответственно с соотношениями (6) и (5).Из (7) непосредственно вытекает.Таким образом, формализованным способом получены уравнения в форме Коши, аналогичные составленным выше сиспользованием законов Кирхгофа. http://www.ups-info.ru/for_partners/library/teoreticheskie_osnove_ilektrotehniki_dlya_ibp_ups_/integral_dyuamelya_metod_peremenneh_sostoyaniya/ТОЭ.
http://ndo.sibsutis.ru/bakalavr/sem3/course110/main.htmПример 2). МПС это единственный из методов формирования ММС, который позволяет получить математическую модель внормальной форме Коши. Рассмотрим получение ММС на примере механической системы (рис.1)Рис.11.
Составляем эквивалентную схему (рис.2).Рис. 2.2. Строим граф эквивалентной схемы (рис.3) Граф практически повторяет эквивалентную схему, но без условных изображенийветвей.Рис. 3.3. Выбираем нормальное дерево графа. Нормальное дерево — это фундаментальное дерево (не образующее контуров), в котороеветви включены согласно приоритету E,C,R,L,I (в соответствии с аналогиями физических однородных подсистем). В данном случаев качестве ветвей дерева нужно использовать ветви m1 и m2. (рис.4)Рис.
4.4. Строим матрицу контуров и сечений, где столбцы соответствуют ветвям дерева, а строки — хордам.5. Для получения топологических уравнений сканируем М-матрицу по строкам и столбцам. При сканировании по строкам получаемуравнения непрерывности (неразрывности), при сканировании по столбцам - уравнения равновесия. При получении уравненийнепрерывности знаки элементов матрицы меняются на противоположный (сумма равна 0).VTR1=-Vm1VTR2=-Vm2Vc=Vm1-Vm2VF=-Vm2Fm1=FTR1-FcFm2=FTR2+Fc+F6. Добавляем компонентные уравнения всех ветвей.FTR1= КTR1VTR1FTR2= КTR2VTR2=Fm1=Fm2=CVc7.
Получаем нормальную форму Коши, раскрывая правые части последних трех уравнений=(FTR1-Fc)==(FTR2+Fc+F)=( КTR1VTR1-Fc)=( КTR1(-Vm1)-Fc)( КTR2VTR2+Fc+F)=( КTR2(-Vm2)+Fc+F)=C(Vm1-Vm2)Далее, используя численный метод интегрирования, решаем систему и получаем переходные процессы.Примечание 1. Нормальная форма Коши не может быть получена, если в ветви дерева попадет ветвь типа L или в хорды - ветвь типаC. В ряде случаев "особых" систем линейных алгебраических уравнений малые изменения параметров приводят к чрезвычайнобольшим изменениям в решении этих уравнений, поэтому приведение математических моделей к форме Коши нежелательно дляавтопилотов, задач устойчивости сооружений и т.п., где ошибки в высших порядках округлений расчетов могут привести ккатастрофам.Узловой метод получения ММСМетод развивался в домашинное время в электротехнике как метод узловых потенциалов и в строительной механике как методперемещений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
