Лекция №6. Математическое обеспечение анализа проектных решений (1245000), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Будем считать, что удлинение внутри конечного элемента меняется по линейному закону:(1)Предполагаем, что нам известны узловые значения удлинений,Из (1) при:, при:.и(см. рис. 2):Рис. 2.Из данной системы уравнений находим значенияии подставляем в (1), выделяя коэффициенты прии:где— вектор функции формы конечного элемента, егосоставляющие элементы — глобальные базисные функции, отличные от нуля в пределах этого элемента.3. Разбиваем область на конечные элементы. В отличие от метода конечных разностей разбиение может быть совершеннопроизвольно.

При этом следует принимать во внимание априорно известное распределение фазовой переменной: там, где возможнорезкое изменение фазовой переменной, сетку следует делать более густой.4. Получение локальных матрицы жесткости и вектора нагрузок конечного элемента. Локальная матрица жесткости и векторнагрузок — математическая модель конечного элемента. Фактически для их получения необходимо применить метод взвешенныхневязок в пределах конечного элемента с аппроксимацией, полученной в п. 2.

В соответствии с методом Галеркина в качестве весовыхиспользуются пробные функции:Идея метода взвешенных невязок основана на подборе решения, но не произвольным образом, а целенаправленно, в видепри этом функцияна границе точно удовлетворяет граничным условиям, а функциифункциями, на границе принимают нулевое значение, т.е.При подстановке, которые называются пробными.в (1) получим невязкуЗдесь некоторый дифференциальный операторусловия первого рода (на границе), описывает поведение некоторой сплошной средыи заданы граничные.Необходимо сформулировать условие, позволяющее минимизировать эту невязку по всей области. Одним из вариантов такого условияможет быть следующее уравнение:Здесь Wn,l – некоторые весовые функции, в зависимости от выбора которых различают варианты метода взвешенных невязок,S – область пространства, в которой ищется решение.где- функции, которые называются весовыми.От выбора весовых функций зависит к какому конкретно варианту метода взвешенных невязок мы придем.

Наиболее употребимымиявляются метод поточечной коллокации, метод коллокаций по подобластям и метод Галеркина, в котором в качестве весовыхфункций используются сами пробные функцииПрименим этот метод к данной задаче:.илиРаскрываем интеграл в предположении, что площадь поперечного сечения элемента постоянна:(2)Приводим уравнение к следующему виду умножением на 2Получили локальные матрицу жесткости и вектор нагрузок.(2):5. Ансамблирование.

Ансамблирование выполняется в соответствии с основной идеей МКЭ, согласно которой- то есть интеграл по всей области равен сумме интегралов по подобластям. Интеграл по одномуконечному элементу мы вычислили в (2).Глобальная матрица жесткости будет иметь размерность, определяемую числом узлов сетки, в нашем примере — 4. Вектор неизвестныхсоставляют перемещения в этих узлах. Локальная матрица жесткости каждого конечного элемента даст аддитивный вклад в глобальнуюматрицу в соответствии с узлами подключения конечного элемента (это же касается и вектора нагрузок).

Смысл глобальной единичнойматрицы – определение и учет направлений сил в каждой точке разбиения:- в точке 0 действуют две противоположные силы вдоль оси х, 1 и -1- на точку 1 действует сила со стороны точки 0 (-1), две силы в сторону точки 2 и реакция со стороны точки 2 (-1)- и так далее до точки 3, на которую действует сила со стороны точки 2(равная -1) и сила вдоль оси х (1). Получилась матрица передстолбцом Y6. Учет граничных условий. В нашем примере, то есть можно вычеркнуть первый столбец и первую строку.7. Решение системы уравнений.

В результате найдем удлинение в каждом узле.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Приложение.НазваниеДифференциальнаяформаИнтегральная формаПримерное словесное выражениеЗакон индукцииФарадеяrotE=−∂B/∂t∮LEdl=−∫S∂B∂tdSИзменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое полеЗакон Ампера(с добавкойотМаксвелла)rotH=j+∂D/∂t∮LHdl=Iencl+∮S∂D∂tdSЭлектрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитноеполеТеорема ГауссаdivD=ρ∮SDdS=QenclЭлектрический заряд является источником электрической индукцииТеорема ГауссаdivB=0∮SBdS=0Магнитная индукция не имеет источников.Введённые обозначения:ρ — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³)j — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²)E — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м)H — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м)D — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²)B — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м²= кг·с-2·А-1)Qencl — сторонний электрический заряд, заключенный внутри поверхности S (в единицах СИ — Кл)Iencl — электрический ток, проходящий через поверхность S вызванный движением свободных зарядов (в единицах СИ — А)rot — дифференциальный оператор ротораdiv — дифференциальный оператор дивергенцииS — замкнутая двумерная поверхностьL — замкнутый контур.

Характеристики

Список файлов лекций