Лекция №6. Математическое обеспечение анализа проектных решений (1245000)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЛекцияМатематическое обеспечение (МО) анализа проектных решенийК МО относят алгоритмы выполнения проектных процедур, математические модели и методы их решения. Компоненты МОопределяются базовым математическим аппаратом, специфичным для каждого из иерархических уровней проектирования.На микроуровне типичные математические модели (ММ) представлены df уравнениями в частных производных с краевымиусловиями.

В качестве независимых переменных фигурируют пространственные переменные x,y,z и время t . Говорят, что вматематических моделях микроуровня пространство и время непрерывно. К этим моделям, еще называемым распределенными,относятся многие уравнения математической физики. Объектом исследования являются поля физических величин, что требуетсяпри анализе прочности и теплопроводности машиностроительных деталей, потоков частиц в электронных приборах, распространениярадиоволн в волноводах и пространстве. Число совместно исследуемых различных сред, деталей, слоев, фаз агрегатного состоянияневелико вследствии сложностей вычислительного характера.Резко снизить вычислительные затраты можно, применив иной подход к моделированию, основанный на отказе от измененияпараметров по осям координат, дискретизации пространства.

Модели называются сосредоточенными и описываются системамиалгебраических и обыкновенных df уравнений с независимой переменной - время t. Упрощение описания отдельных компонентов(деталей) позволяет исследовать модели процессов в устройствах, число компонентов в которых может доходить до тысяч.Когда число компонентов в исследуемой системе превышает некоторый порог, сложность модели вновь становится чрезмерной.Поэтому переходят на функционально-логический уровень, используя аппарат передаточных функций для непрерывныхпроцессов и аппарат математической логики и конечных автоматов для процессов с дискретным множеством состояний.(* Конечный автомат начинает работу в состоянии q0, считывая по одному символу входной цепочки.

Считанный символ переводит автомат в новое состояние всоответствии с функцией переходов. Читая входную цепочку x и делая один такт за другим, автомат оказывается в каком-то состоянии q').Для исследования производственных предприятий и их объединений, вычислительных систем и сетей, социальных сетей, применяютаппарат теорий массового обслуживания и другие подходы. Эти модели относятся к системному уровню моделирования.Требования к математическим моделям (ММ) и методам САПР.Модель всегда лишь приближенно отражает некоторые свойства объекта. Она может быть формальной, если получена израссмотрения объекта как "черного ящика" (без учета физических процессов, происходящих внутри объекта), нелинейной(зависимости между фазовыми переменными не являются прямопропорциональными), теоретической (полученная изфундаментальных физических законов природы), структурной (как совокупность элементов и связей между ними в виде графов,матриц), функциональной (на основе процессов, происходящих в объекте), дискретной (фазовые переменные принимают значенияиз конечного множества допустимых значений).Основными требованиями к математическим моделям являются требования адекватности, точности, экономичности.Адекватность - область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых пределах.Например, область адекватности линеаризованной модели поверхности детали определяется системой неравенств:где допустимыми параметрами для радиоэлемента, например, могут быть внешнее напряжение, частоты, температуры.Под точностью понимают степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели.Экономичность (вычислительная) определяется затратами ресурсов, требуемых для реализации модели.

Поскольку в САПРиспользуются математические модели, экономичность их будет характеризоваться затратами машинного времени и памяти, например,при выборе прямых или итерационных методов решения.Устойчивость определяется ростом ошибок при выполнении отдельных вычислительных операций. Неустойчивое решениеявляется результатом неудачного выбора аппроксимирующих функций, «плохой» разбивки области на КЭ, некорректного представленияграничных и начальных условий и т.

п.Под сходимостью подразумевается постепенное приближение последовательных решений к предельному, правильному.Абсцисса обозначает степень уточнения параметров дискретной модели, а ордината определяет полученное при этом уточненииприближенное решение. На графике показан монотонный тип сходимости, при котором точность решения повышается плавно.Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством в заданном пространственном и временноминтервалах.Алгебраизация – в замене производных алгебраическими выражениями.Линеаризация - разложение в ряд Тейлора в окрестности точки начального приближения к решению и пренебрежением всемичленами ряда кроме линейных.Краевые условия включают начальные условия, характеризующие пространственное распределение зависимых переменных вначальный момент времени, и граничные условия, задающие значения этих переменных на границах рассматриваемой области вфункции времени.

Различают ГУ первого рода (или условия Дирихле)U(x,t)=g(x,t)условия второго рода (Неймана)dU(x,t)/dn= g(x,t) , где n - вектор нормали к поверхности.ГУ третьего рода есть сочетание первых двух. Например, применительно к задаче теплопроводности, граничные условия первогорода задают температуру на границе, а условия второго рода задают поток на границе.Рис. Преобразование математических моделей в процессе моделирования.Выбор метода решения полученной системы алгебраических уравнений определяется ее размерностью и характером (линейныйили нелинейный).

В большинстве случаев решение df уравнений в частных производных состоит в дискретизации уравнений, т.е.представлении производных в виде приближенных выражений (конечных разностей), что позволяет преобразовать df уравнения всистемы алгебраических уравнений. Иными словами, значения переменных исследуются для некоторого подмножества точек Gобласти определения. Число неизвестных в полученной системе определяется произведением числа точек координатной сетки наколичество независимых переменных в каждой точке. В нестационарных задачах вводится дополнительно сетка времени.Для решения систем линейный алгебраических уравнений (СЛАУ) используют метод исключения Гаусса (методпоследовательного исключения неизвестных из системы уравнений), метод LU-разложения.

Для решения систем нелинейныхалгебраических уравнений и линейных систем большой размерности используют итерационные методы Якоби, Зейделя, НьютонаРафсона, Холецкого и др.Модели микроуровня – в техническом аспекте это задачи математической физики, к которым относятся задачитеплопроводности, диффузии, электростатики и электродинамики, задачи о течении жидкости, распределении плотностиэлектрического тока в проводящей среде, задачи о деформации твердых тел и многое другое.

Система дифференциальных уравнений,как правило, известна (уравнения Ламе для механики упругих сред; уравнения Навье-Стокса для гидравлики; уравнениятеплопроводности для термодинамики и т.д.). Однако точное аналитическое решение удается получить лишь для частных случаев,поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели.Для решения подобных задач используются методы конечных разностей, метод конечных элементов и интегральных граничныхуравнений, одним из вариантов последнего является метод граничных элементов. (Cущность методов интегральных граничныхуравнений состоит в преобразовании дифференциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений в качествепервого шага решения задачи. Такая операция даст систему уравнений, включающую только значения переменных на границахобласти.

Любая дискретизация будет приводить лишь к разбиению поверхности, ограничивающей область.)Пример 1. Уравнение теплопроводности:гдетеплопроводности,— удельная теплоемкость,— плотность,— температура,— время,— коэффициент— количество теплоты, выделяемой в единицу времени в единице объема.Пример 2. Уравнение диффузии:где— концентрация частиц,— коэффициент диффузии.Пример 3. Уравнения непрерывности, используемые в физике полупроводниковых приборов: для дырок и электронов (сзаменой p на n) Здесьи— концентрации дырок и электронов;электронного токов;иэлектрического поля;постоянная.— плотность электрического заряда;— заряд электрона;и— скорости процессов генерации-рекомбинации дырок и электронов;а также уравнение Пуассона:и— плотности дырочного и— напряженность— диэлектрическая проницаемость и диэлектрическаяЗаметим, приведенные уравнения «подозрительно» похожи – они описывают закон сохранения dФ/dt =-divJ +G, где Ф - фазоваяпеременная, J-поток фазовой переменной, G-скорость генерации субстанции.Здесь divA =(d/dx+d/dy+d/dz)A, grad U(вектор) = (d/dx, d/dy, d/dz)U(x,y,z)Пример 4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций