Лекция №6. Математическое обеспечение анализа проектных решений (1245000), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В каждом узле модели определяется значение непрерывной функции.3. С помощью полиномов (функции формы) значение непрерывной функции в узловых точках интерполируется на область элемента.Функция формы подбирается для каждого элемента, зависит только от координат узлов элемента и является непрерывной на границеэлементов.В общем виде значение искомой величины φ в любой точке внутри элемента будет иметь вид, индекс e означаетпроизвольный элемент; [N] – функция формы, определенная внутри элемента и, как уже говорилось, зависит исключительно отгеометрии элемента; {T} – вектор в n-мерном пространстве, где n – количество узлов, значения температуры в узлах данного элемента.Наиболее известный вариант МКЭ использует формулировку принципа возможных перемещений.
В матричной форме длятрехмерного тела принцип возможных перемещений можно записать следующим образом:где векторы напряжений и деформаций соответственно равны:а векторы объемных, поверхностных сил и перемещений следующие:Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей(элементов). В каждом из элементов выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первойстепени.
Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (узлах) являютсярешением задачи и заранее неизвестны.Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах междуэлементами и выражаются через значения функций в узлах. Составляется система линейных алгебраических уравнений.Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, умноженному на число узлов и ограничивается тольковозможностями ЭВМ. Каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, поэтому СЛАУ имеет разрежённый вид, чтосущественно упрощает её решение.Форма элементов может быть произвольной - треугольной, четырехугольной, прямоугольной. Наиболее простое решение получаетсяпри разделении среды на элементы треугольной формы. Сетка разбивки может содержать одновременно элементы разной формы иразмеров.
Расчет напряженно-деформированного состояния конструкции в рамках линейной теории упругости при действии на неестатических нагрузок сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).В конечно-элементных комплексах программ используются разнообразные методы решения больших систем уравнений: впрограммах ADINA реализован блочный метод Гаусса, в ASKS, SAP-7 - ленточный метод Гаусса, в NASTRAN - LТDL декомпозиция, вANSYS фронтальный метод и разложение Холецкого.Метод конечных элементов — универсальный метод решения систем дифференциальных уравнений в частных производных.По способу получения основных уравнений различают четыре основных вида метода конечных элементов: прямой, вариационный,взвешенных невязок и энергетического баланса.Создание смешанной сетки конечных элементовМетод взвешенных невязок — универсальный метод нахождения коэффициентов в аппроксимациях. Применительно крешению систем дифференциальных уравнений в частных производных этот метод можно продемонстрировать следующим образом.Пусть есть некоторый дифференциальный оператор, описывает поведение некоторой сплошной средыизаданы граничные условия первого рода.Идея метода взвешенных невязок основана на подборе решения, но не произвольным образом, а целенаправленно, в видепри этом функцияна границе точно удовлетворяет граничным условиям, а функциифункциями, на границе принимают нулевое значение, т.е.При подстановке, которые называются пробными.в (1) получим невязкуНеобходимо сформулировать условие, позволяющее минимизировать эту невязку по всей области.
Одним из вариантов такого условияможет быть следующее уравнение:Здесь Wn,l – некоторые весовые функции, в зависимости от выбора которых различают варианты метода взвешенных невязок,S – область пространства, в которой ищется решение.где- функции, которые называются весовыми.От выбора весовых функций зависит к какому конкретно варианту метода взвешенных невязок мы придем. Наиболее употребимымиявляются метод поточечной коллокации, метод коллокаций по подобластям и метод Галеркина, в котором в качестве весовыхфункций используются сами пробные функции.
Для решения нужно найти неизвестные коэффициенты аm из системыразведя коэффициенты при пробных функциях и свободных членах.Вычислив элементы матрицы и вектора свободных членов, решив полученную систему уравнений, определив неизвестныекоэффициенты внайдем приближенное решение поставленной задачи.Решение задач микроуровня методом взвешенных невязок в инженерной практике крайне затруднительно из-за необходимостивычислять сложные двойные (для плоских задач) и тройные интегралы (для объемных задач) для объектов с криволинейнымиграницами. При этом возникает противоречие между точностью решения, для обеспечения которой необходимо увеличивать степеньаппроксимирующего полинома и сложностью вычисления интегралов.Для разрешения этого противоречия было предложено разбить исследуемую областьна конечные элементы простойформы, чтобы вычисление интегралов по ним не представляло больших сложностей, а необходимой точности достигать увеличениемчисла конечных элементов.
То есть в рамках метода взвешенных невязок необходимо перейти от интеграла по всей области ксумме интегралов по подобластям:где Е – число подобластей одномерной задачи.Пример базисных функций дляМатематическое обоснование такого перехода было выполнено с использованием глобальных базисных функций, равных единице вузле аппроксимации (узле сетки) и нулю во всех остальных узлах. В области КЭ от узла до границы базисные функции равномерноспадают от 1 до 0.
Поскольку всего лишь одна из глобальных базисных функций принимает в узле значение равное 1, а остальныеравны 0, то искомые коэффициентыподстановкиполучают конкретный смысл — они равны значению функции в этом узле. Поэтому этапв аппроксимацию для получения решения будет отсутствовать.При этом определенный интегралпосле раскрытия (или взятия каким либо численным методом) приводит кматематической модели конечного элемента в форме:переменных, Qл - локальный вектор нагрузок.где Kл - локальная матрица жесткости, Vл - вектор фазовыхРазбиение области на конечные элементы — процедура построения сетки в методе конечных элементов.
В отличиеот метода конечных разностей выполняется, как правило, с помощью нерегулярной сетки. При этом во внимание может приниматьсяаприорная информация о градиентах фазовых переменных. Там, где возможны резкие изменения фазовой переменной, сетка строитсяболее густой. При формировании сетки также следует стремиться к получению элементов возможно более "правильной" формы — прииспользовании треугольных элементов избегать треугольников с очень острыми углами, при использовании прямоугольных элементовстремиться сделать элемент близким к квадрату – это позволяет повысить точность решения.При нанесении сетки можно комбинировать элементы, например для обеспечения более точной аппроксимации границ.
На рис.1представлен объект с прямоугольными, треугольными и смешанными конечными элементами. Долгое время широкому распространениюМКЭ мешало отсутствие алгоритмов автоматического разбиения области на «почти равносторонние» треугольники. Эта задача успешнорешена на основании триангуляции Делоне.Рис. 1. Разбиение области на конечные элементы. Зачерненная область показывает погрешность представления области.После ансамблирования получаем математическую модель системы в виде :;.где K - матрица жесткости (глобальная) , V - вектор фазовых переменных, Q - вектор нагрузок (глобальный),- весовыефункции.Матрица является вектором, состоящим из компонент перемещений в вершинах элементов, которые определяются при решении системыуравнений.
Она называется обобщенной матрицей жесткости системы и формируется по особым правилам из матриц жесткостиотдельных элементов. Элементы обобщенной матрицы жесткости, являющиеся коэффициентами алгебраических уравнений, зависяттолько от координат вершин элементов и показателей деформируемости среды. Сложность конечного выражения обобщенной матрицыжесткости не зависит от степени неоднородности исследуемой области, т. е. каждый элемент может иметь свойства, отличающиеся отдругих.При наличии библиотеки КЭ применение МКЭ сводится к следующим операциям (выполняются инженером):1. Создание геометрической модели исследуемой среды (например, детали) с помощью программы геометрического моделирования илипутем изображения вручную на экране дисплея эскиза (чертежа) изделия.2.
Выбор библиотечной модели КЭ, задание внешних нагрузок и значений геометрических и физических параметров, формулировкаграничных условий.Формирование модели в маршруте проектирования. Вычислительный процесс при инженерном анализе состоит из этаповформирования модели и ее исследования. Формирование модели включает также две процедуры – разработку модели отдельныхкомпонентов и формирование модели системы из моделей компонентов.
Инженер, как правило, использует в работебиблиотечные модели компонентов при формировании модели системы. Процедура анализа выполняется автоматически, поалгоритмам, включенным в программу анализа, например, анализ нагрузок в программе ANSYS. Модели компонентов разрабатываютсяспециалистами в прикладных областях, знающими требования к моделям и формы их представления в САПР.Рис. Формирование модели системы из моделей компонентов. Кроме конечно-элементной сетки должны быть определеныхарактеристики материалов изделияДля практического применения МКЭ необходимо предварительно разработать математические модели конечных элементов (КЭ) иреализовать их в библиотеке КЭ программы анализа механической прочности. Основой математической моделиквадратная матрица жесткостичисла24×24.конечного элемента. Размер матрицы есть произведение размерностиузлов, выделенных в модели-го КЭ.
Например, размер-го КЭ являетсяпространства идля КЭ в форме параллелепипеда с восемью узлами равенСледующие операции выполняются программой моделирования:3. Реализация в модели сетки конечных элементов. Тем самым становятся известными координаты узловых точек в модели.4. Приведение имеющихся объемных сил и поверхностных нагрузок к узловым точкам модели.5. Объединение моделей КЭ в общую конечно-элементную модель детали, в которой матрица жесткости К имеет порядок, равный d x b,где b — общее число узлов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
