Лекция №6. Математическое обеспечение анализа проектных решений (1245000), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Волновое уравнениеПри расчёте параметров устройств СВЧ геометрические размеры устройств становятся соизмеримы с длиной волны и все процессы,протекающие в устройствах, приобретают волновой характер. Для описания параметров можно не принимать во внимание внутреннююструктуру устройства, а ограничиться лишь внешними характеристиками. Тогда любое устройство СВЧ представляется в видемногополюсника, на каждый из входов которого поступает определенный тип волны, распространяющийся в линии.
На каждом входемногополюсника существуют как падающая, так и отражённая волны. Отраженные волны b связаны с падающими a волнами линейнымизависимостями.,,здесь S – матрица рассеяния.Картина поля бегущей волны может быть определена, решая уравнения Максвелла. В многомерном случае однородное волновоеуравнение записывается в виде,где— оператор Лапласа,— пространственная переменная,— фазовая скорость.Уравнение волны внутри волновода получено из уравнения Максвелла:где:напряженности электрического поля E(x,y).• E (x, y) - комплексная амплитуда, представляющая электрическое поле.• ko - волновое число свободного пространства,• w - угловая частота, 2pif.,•- комплексная относительная магнитная проницаемость.•- комплексная относительная диэлектрическая проницаемость.— неизвестная функция,— время,- градиент (направление наискорейшего возрастания)Решая это уравнение, получаем картину поля для комплексной амплитуды E (x, y). Это решение независимо от z и t и только послеумножения настанет бегущими волнами.Вычисленная картина поля справедлива только для одной частоты.
При генерации сигналом возбуждения одной конкретной модыполе будет содержать отраженные волны более высокого порядка, которые возникают из-за неоднородностей в СВЧ структуре. Еслиэти моды более высокого порядка отражаются назад к порту возбуждения или передаются на другой порт без особых потерь или безнераспространяемых типов волн, то могут быть рассчитаны S-параметры, связанные с этими модами.
Если затухание типов волн болеевысокого порядка значительно, то нет никакой необходимости получать S-параметры для этих мод.МКР, МКЭКак уже сказано, моделирование многочисленных физических, биологических, химических явлений часто приводит к решениюлинейных или нелинейных уравнений или систем уравнений в частных производных. Существуют традиционные математическиесредства, позволяющие получить решение в определенных случаях (анализ Фурье, разложение в ряд и т.
п.), но для решенияконкретных проблем, возникающих в науке и технике, невозможно обойтись без использования численных методов.Любое численное моделирование позволяет дополнить или даже заменить прямой эксперимент. Последний часто дорог, егопостановка бывает трудоемкой или вообще невозможной (моделирование устойчивости плотин, землетрясения, исследование солнечныхявлений). Идея численного интегрирования предельно проста и вытекает из геометрического смысла определенного интеграла –значение определенного интеграла численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осьюабсцисс и прямыми х=а, х=b. Способ приближенного вычисления определенного интеграла может быть методом прямоугольников,трапеций или парабол (повышение порядка интерполяции).Всякое приближенное вычисление имеет определенную ценность лишь тогда, когда оно сопровождается оценкой допущенной приэтом погрешности.
Абсолютная величина погрешности Rn будет стремиться к нулю, т.е. точность приближения будет тем больше, чем набольшее число равных частей будет разделен сегмент [a, b]. Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболеегрубый метод приближенного интегрирования. Заметно меньшую погрешность дает метод трапеций. Метод парабол сходитсязначительно быстрее метода трапеций, тогда как с точки зрения техники вычислений оба метода одинаковы.Разработано много методов численного решения уравнений в частных производных.
Наиболее часто используемые из них - методыконечных разностей и конечных элементов. Построение конечно-разностных схем обычно требует небольшого объема вычислений,как правило, меньшего, чем в МКЭ. Достоинствами МКЭ являются гибкость и разнообразие сеток, стандартные приемы построениядискретных задач для произвольных областей, простота учета естественных краевых условий и т.
д. Методы КЭ применимы к болееширокому классу исходных задач, оценки погрешностей приближенных решений получаются при менее жестких ограничениях, чем вметоде конечных разностей.Рис. Численное интегрирование методом прямоугольников, трапеций или парабол.Метод конечных разностей был разработан раньше остальных и, на первый взгляд, является наиболее простым вреализации. Истоки метода связаны с именами Непера (логарифмические таблицы Брадиса), Ньютона, Эйлера, Лапласа иЛагранжа.
Слово «конечные» используется здесь в смысле - «не бесконечно малые», не связанные с предельными переходами.Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихсяусловий во времени и в пространстве. Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменениетемпературы, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад.Идея метода состоит в разбиении прямоугольной сеткой области, в которой решается уравнение, и дискретизациядифференциального оператора. Метод конечных разностей предполагает дискретизацию df уравнений на прямоугольных координатныхсетках (для двух измерений). Главной проблемой метода является построение правильной разностной схемы, которая будет сходиться крешению.
Решая линейную систему уравнений, находят приближенные решения в узлах решетки. Основные трудности связаны с учетомграничных условий, если граница области имеет сложную геометрическую форму.Основные понятия теории разностных схем — понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости.Сходимость разностной схемы означает, что при достаточно малом шаге значения сеточного (приближенного) и точного решения малоотличаются.Аппроксимация на решение означает, что при подстановке точного решения дифференциальной задачи в разностную схему мыполучаем невязку соответствующего порядка малости (идеально бы иметь нуль).Устойчивость означает, что малые возмущения в начальных данных и правой части разностной схемы приводят к равномерно маломуизменению решения.Производная df(x)/dx= lim (fx-f0)/(x-x0).
Обычно x-xi = h(шаг). Тогда производная определяется в зависимости отнахождения соседних точек разбиения (так называемого шаблона). Замещение частных производных в уравнениях матфизикиразностными выражениями позволяет получить приближенное решение системы алгебраических уравнений в узлах сетки.Рис. 1.
Примеры шаблонов для одномерных и двумерных задачНа этом рисунке кружком большего диаметра обозначены узлы, в которых аппроксимируется производная. Для одномерных шаблонов вверхней части рисунка показана аппроксимация производнойсоответствуют аппроксимациив точке, и указанным шаблонам при их просмотре слева направодля равномерной сетки,Аппроксимацию второй производной можно получить исходя из ее определения, — отношение приращения функции к приращениюаргумента, где в качестве функции выступает аппроксимация первой производной.Выражения для конечных разностей формально можно получить из разложения функции в ряд Тейлора:Или более коротко с использованием индексов точек:(1)Отсюда, где— остаток.Отбрасывая остаток, можно получить правую и, аналогично, левую разность:;Погрешность такой аппроксимации определяется старшим членом в отброшенном остатке и в данном случае этот член содержитпервой степени.Более точная аппроксимацию первой производной называется центральной разностью:определяющий погрешность аппроксимации, будет содержатьво второй степени.Графическая интерпретация некоторых конечно-разностных аппроксимаций для производных.В этом случае член,вСуществуют разностные схемы, которые позволяют повысить точность решения за счет более сложной аппроксимации производной,например dV/dt = (2Vn-3Vn-1+Vn-2)h – метод трапеций.Формула явного метода Эйлера представляет собой следующую формулу замены производных в точкеПриприменении явных методов происходит потеря устойчивости вычислений, а это означает, что в решении задачи возникают ложныеколебания с увеличивающейся от шага к шагу амплитудой и быстрым аварийным остановом ЭВМ вследствие переполнения разряднойсетки.
Конечно, ни о какой адекватности решения говорить не приходится.Неявные методытребуют для устойчивости и сходимости малых шагов. Среди неявных разностных методовустойчивы методы Эйлера, методы второго порядка (основаны на комбинированном использовании явной и неявной формул Эйлера) исреди них — метод трапеций. Метод интегрирования СОДУ называют A-устойчивым, если погрешность интегрирования остаетсяограниченной при любом шаге.Алгоритм решения стационарных краевых задач методом конечных разностей :-Нанесение на объект сетки или дискретизация пространства.Нумерация узлов сетки.Запись разностного уравнения для каждого внутреннего узла сетки.Запись уравнений граничных условий для приграничных узлов.Решение системы алгебраических уравнений.Идея метода конечных элементовПри его использовании конструкция, представляющая собой непрерывную среду, заменяется ее моделью, составленной из конечногочисла блоков – элементов, поведение каждого из которых может быть определено заранее.
Взаимодействие элементов между собойпозволяет описать общую картину деформирования системы. Идеализация сплошной среды заключается в замене ее системойпластинчатых элементов, шарнирно соединенных в узлах. Выделенный элемент имеет те же физические свойства, что ирассматриваемая среда в месте расположения элемента. Идентификация напряженно-деформированного состояния сплошной среды исреды, разделенной на элементы, достигается выполнением условия непрерывности на границах между элементами.Алгоритм дискретизации непрерывной функции содержит следующие основные пункты:1. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число областей (элементов). Граничащие элементы имеютобщие узлы.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
