Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.Л. Теория ракетных двигателей. 1980 г. (1241533), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ниже, на примере гомогенных продуктов сгорания, кратко рассматриваются типичные методы расчета. ккь методы, осноВАнные ИА Решении системы НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Система уравнений химического равновесия представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений. Во многих случаях, когда в число учитываемых индивидуальных веществ диссоциированной и ионизованной смеси включаются все возможные вещества, для которых имеется необходимая информация (термодинамические функции в нужном диапазоне температур), .система может состоять из нескольких десятков и сотен уравнений.
Сложность и трудоемкость решения подобных снстем общеизвестна. Предложены различные методы решения систем уравнений химического равновесия: итераций, проб и ошибок, сведения системы уравнений к одному нли небольшому 'числу уравнений высокого порядка и др. Однако наибольшее распространение для расчета состава продуктов сгорания получил метод Ньютона из-за простоты вычислительной схемы и хорошей сходимости последовательных приближений. (5. 19) В качестве неизвестных в системе уравнений (5.9), (5.14) и (5.15) целесообразно выбрать не сами искомые величины числа молей п„и число М„а их логарифмы, т. е.
1ппч и 1пМ,. Использова- ние таких неизвестных автоматически обеспечивает выполнение не- равенств (5.5). Предположим, что выбраны некоторые приближенные значе- ния неизвестных !пйь 1пйв... !панч„!пМ,. Запишем каждое из урав- нений (5.9), (5.14) и (5.15) в виде функций еу„(р, Т, 1плч, 1пМ,)=0, 1=1, 2, 3... 1+и+1 и разложим зтн функции в ряд Тейлора в окрестности значений 1пйч, 1пМ», отбросив члены второй и более высоких степеней: ч» (р Ть 1пв ~ !ПМВО)=ф» (~О~ Тц 1п пю 1п Мт)+~ ) пи+ ( '!)~~(,'т» ), й,=о, (5. 1Т) где Ьм=!пМ,— 1пМ,; Лт=1пач — 1пй .
Подставляя в уравнение (5.17) вместо юр» уравнения (5.9), (5.14) и (5.15), получаем ь| — )„'а„р,= — а~, ~~Ра„в,а,+п,й,— й,а, = в,в;, / ;)'„,й,= — ь„'~ й„ (5. 18) где Ь~ — — 1п пт — ~~~~~ и» 1п й, + 1п К~', йя=(п~ ~~~'цп1+%) — !вМт )айат' т йр — — !п ~~~~й — 1пйч В,= ~~~~а,~п~+по а Таким образом, нз исходной системы нелинейных алгебраичес- ких уравнений получена система уравнений (5.18), линейных отно- сительно неизвестных поправок Лю Лм.
Решение ее дает значения указанных поправок. Значения неизвестных уточняются по фор- мулам 1пп~"=1пй +а~; 1пМ'„"=1пМ,+Ь,. (5. 20) Найденные значения 1пп~~ ~, 1п М~ и используют в уравнениях (5Л8) и формулах (5.19) вместо 1плч н 1пМт для расчета новых поправок Л и Ьм.,Затем вновь по формулам (5.20) вычисляются значения !па~! ~, 1пМ.,~ ~ и т. д. Итерации продолжаются до дости- (2) (2) жения заданной точности, т. е.
до удовлетворения условия ~~~ !»»! ~(м, (5. 21) где в — заданная малая величина. б! Расчет равновесного состава гомогенной смеси прн заданных р, Т илн и, Т производят в следующем порядке. 1. Для всех учитываемых компонентов смеси при заданной температуре по справочным данным находят значения констант равновесия или через термодинамические функции, необходимые для расчета 1пКь вычисляют их. 2. Задают значения неизвестных пч, М, в нулевом приближении. При выполнении расчетов на ЭВМ этн величины можно задать приближенно, приняв например, их все равными заданному суммарному давлению.
3. По формулам (5.19) рассчитывают коэффициенты системы 'линейных уравнений (5.18) — йд йо Ьр, Вь ~~~~ п . 4. В результате решения системы линейных уравнений находят поправки Ль Лт и Лм, затем по формулам (5.20) уточняют неизвестные. 5. Используя неравенство (5.21), контролируют точность достижения решения, принимая при расчетах на ЭВМ со=10 — '. Если йтеравеаство не удовлетворяется„повторяют расчет (см.
с п. 3) с использованием уточненных значетеий неизвестных. При решении системы уравнений (5.9), (5.14) и (5.15) методом Ньютона последовательные приближения в некоторых случаях могут не сходиться, что является недостатком метода. Поэтому разработаны и применяются специальные приемы, направленные на улучшение сходимосги метода, например ограничение поправок Лч, Лм с помощью множителя — коэффициента шага. Опыт расчета равновесного состава продуктов сгорания ракетных топлив показывает, что метод Ньютона практически всегда обеспечивает получение решения.
и а. и мнтоды поиска экстинмимд Для нахождения неизвестных значений чисел молей ль лэ, па,...,лч, удовлетворяющих химическому равновесию, в качестве функции, принимающей экстремальное значение, обычно используют термо,динамический потенциал (6 или г). Однако выбор этой величины для поиска экстремума не является единственно возможным. Например, если известны некоторые приближенные значения чисел молей йч, то после их подстановки в уравнение (5.9), (5.14) и (5.15) правые части этих уравнетптй принимают, соответственно, значения бь бт и б„.
Очевидно, что при стремлении йч к точным значениям функция с т Ф(р, Т, л )= )~~8 +~й;+й 1 Ф стремится к минимальному (в данном случае к нулю) значению, так как при й = л значения бь бь бр равны нулю. Задачи отыскания экстремума функции рассматриваются в спепнальном разделе прикладной математики, иааываемом нелинейной онтнмиеацией. Рааработан рнд численных методов решения таких задач. Однако методы нелинейной оптимнеапии иа-за их сложности, больших затрат времени на ЭВМ в применении к расчету химического,равновесии оказались менее аффективными по сравнению с друьими методами, понтону они практически не используются. Из методов поиска экстремума, применяемых для расчета химического равновесия, наибольшее распространение получили различные варианты метода наискорейшего спуска (градиентного метода) 179).
Основным недостатком градиентного метода является замедление сходимости процесса итераций при приближении к решению. Это замедление может быть существенным, если числа молей отдельных индивидуальных компонентов близки к нулю, Зль ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА СОСТАВА ГЕТЕРОГЕННЫХ ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ 1. При наличии конденсированных (жидких или твердых) компонентов в смеси парциальные давления их газовой фазы принимают равными давлениям насыщенного пара этих веществ. Величина давления насыщенного пара может быть найдена из условия фазового равновесия, т.
е. равенства химических потенциалов одного н того же вещества в газовой и конденсированной фазах: (з) (к) или 1 з — ТБ~,=! — Тф — Гт )ар"), н ~» Хдс ~» ~»з откуда 1пр"= )(о ((ог где р»" — давление насыщенного пара; дополнительный индекс з относится к свойствам вещества в конденсированном состоянии. При сформулированных ранее допущениях давление р»" для данного вещества зависит лишь от температуры и является известной величиной.
Новыми неизвестными становятся числа молей веществ в конденсированном состоянии и ', которые следует учитывать в уравнениях сохранения вещества. Как и для гомогенной смеси, число молей топлива М, выбирается таким образом, чтобы для газовой фазы гетерогенной смеси выполнялось условие и»к~=р . Следовательно, для газовой фазы веществ — ». (з) и в конденсированном состоянии и к)=р".
2. На расчет равновесия в гетерогенных системах накладывает ограничения правило фаз Гиббса, записываемое в виде г=() — Ф+ 2 — )г, (5. 23) где г — количество термодинамических степеней свободы; Ф— число фаз, т. е. число частей системы, обладающих однородным составом и разделенных физической границей; (( — число независимых химических реакций в системе. В нашем случае необходимыми термодипамическими степенями свободы являются р и Т, т. е, г=2, число индивидуальных веществ д равно !+т, число независимых химических реакций )с=!.
Это обусловливает равенство Ф=т, т. е. число фаз не должно превышать числа химических элементов, из которых образована система. Без учета образования растворов каждое вещество в конденсированном состоянии образует новую фазу. Так как одна из фаз является газообразной, число конденсированных фаз Ф, для случая с=2 не должно превышать (лт — 1): ~а ~~ пз (5. 24) В третьем томе сиразочника 1791 приведен метод определения состава гетерогенной свеон, который позволяет получить решение практически для любых смесей, в том числе и в тех случаях, когда возникают ограничения из-за правила фаз Гиббса.
Метод основан на формальной замене конденсированных частлц «большими» газообразными молекулами, включающими Ф молекул конденсата. Следовательно, гетерогенная система формально заменяется гомогенной, в котоой частгпгы конденсата — «большие» молекулы — создают парниальное давление. ля такай условной гомогенной системы применяются обычные методы расчета равновесного состава. 3. При расчете состава после каждого приближения необходимо производить проверку на возможность появления илн исчезновения конденсированной фазы для тех веществ, которые могут находиться в конденсированном состоянии. Для этого используются следующие условия: для газообразных компонептов— 1пря) 1пр"; для компонентов в конденсированном состоянии— 1пи~ ~!пш, где ш — заданная малая величина.
Если выполняется первое неравенство, то д-й компонент следует считать находящимся в конденсированном состоянии. Для этого компонента па=и~~~+а~', число молей в газовой фазе п~~ю равно н р» и исключается из числа неизвестных, искомым считается число молей в конденсированном состоянии п~~' . При выполнении второго неравенства г1-й компонент считается находящимся только в газовой фазе, пе =О, а искомым становится со парциальное давление рч, т. е. пч=рч. б.б. ХАРАКТЕРИСТИКИ РАВНОВЕСНОГО СОСТАВА Послетого как равновесиыйсостав (числа молей пчдн~, пч~ «) н число !Ит определены с необходимой точностью, вычисляются характеристики смеси в состоянии равновесия. Мольные доли газообразных компонентов рассчитывают по соотношению ' =п~~ '/тт'=Р Л .
(5. 25) Содержание конденсированных веществ смеси удобнее характеризовать не числами молей лам, полученными в расчете, а массо- (5. 32) (5. 35) ТЕРА(ОДИНАА1ИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА .ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ 6.1. ИСХОДНЫЕ ДАННЪ|Е Равновесный химический состав продуктов сгорания при некоторых значениях температуры Т и давления р может быть определен в следующей форме: в смеси присутствуют 1+т индивидуальных веществ (у=1, 2, 3,..., 1+т), при атом некоторые вещества одновременно находятся в газообразном и конденсированном со~ стоянии (число молей соответственно, п~|а» и п~~ »).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
