Синярев Г.Б., Добровольский М.В. Жидкостные ракетные двигатели. Теория и проектирование, 1957 г. (1240838), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Подсчитаем теперь приток дополнительной массы газа в рассматриваемый объем за время Ы. За 1 сек. через сечение 1 — 1 втекает масса р,)ага; следовательно, за Ы (т. е. за то время, за которое произошло подсчитанное выше увеличение массы в данном объеме)— масса р,1зид!. Приравняв увеличение массы газа между сечениями 1 — 1 и П вЂ” П, происшедшее за время д1, дополнительному поступлению массы за это время через сечение 1 — 1, найдем, что ь р)(ах= р~1зшл! (П1.
15) или, разделив обе части равенства на !з1, Ьх ьр — =р~зтв. а! Ьх Заменив здесь согласно предыдущему — через скорость звука а, а! получим окончательно первое искомое уравнение ара= рази. (Ш. 16) Второе уравнение, необходимое для исключения из уравнения неизвестной величины ьш, получим, применив закон Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.
Сила, под действием которой частицы газа между сечениями 1 — 1 и П вЂ” П приходят в движение, есть умноженная на плошадь ! разность давлений зр, т. е. 1зр. Ско- рость этих частиц возрастет за время з! от нуля до Ь ш, поэтому средам нее ускорение равно —. Масса, получающая ускорение, равна ат р.,!Ьх. Таким образом, закон Ньютона приводит нас к равенству р,р !ах — = !ар (1и. 17) Ьх или, после деления на 1 и замены — через а,— к равенству зт рсрпаи= Ьр Так как р отличается от р, на малую величину ар, то отличие р„от р, будет того же порядка малости. Поэтому, заменив в написанном выше уравнении р, через р„мы допустим погрешность, не ббльшую той, которая уже внесена прежними допущениями.
Тогда второе искомое уравнение примет вид (П1. 18) р~азш=бр. 108 (Ш. 19) Рр Р Но р,=р+Ьр и р,= р,+а р, поэтому предыдушее соотношение можно переписать в виде Р+Ьр р+ар р или в виде ар 1+ —, Р Р Р р ар р 1+ — ' Р Сократив обе части равенства на —, получим Р Р (1П. 20) 1+— Ьр Р ар 1+— Р ар ар или Р Р откуда ар л (П!. 21) ар Итак, при изотермическом законе сжатия в звуковой волне мы получаем ар Р 3 Р (П1.
22) нли (П!. 23) Эта формула была получена в 1'687 г. Ньютоном, Вскоре, однако, опытами было установлено, что эта теоретическая формула Ньютона дает при нормальных атмосферных условиях примерно процентов иа двадцать заниженные значения скорости звука.
Объяснить это расхождение удалось ~в 1810 г. Лапласу. Он предположил, что звуковые колебания распространяются в газе нс по изотермическому, а по адиабатическому закону. дело в том, что изотермическими могут быть 109 Помножив уравнение (111. 18) на уравнение (111. 16), получим з ЛР а =— кр Необходимая для вычисления скорости звука величина — завиар Ьр сит от закона сжатия газа, т. е, от характера того термодинамического процесса, который в нем происходит. Если считать, что сжатие газа в звуковой волне происходит изотермически, то по уравнению изотермического процесса должно соблюдаться равенство Р~ Р Р~ Р (1П. 24) или я+ ар л (е+ аг)' Этому выражению можно еще придать вид 1+— ар Р Р Р или (111. 25) Разложив правую часть равенства в ряд, получим (1+' — ~) =1+юг — ~+ ( — ') +... (1П.26) Изменение плотности в звуковой волне ар чрезвычайно мало по сравнению с начальной плотностью р.
Даже для весьма сильных звуковых волн отношение — имеет величину порядка 0,004. Поэтому ар мы не совершим большой погрешности, оставив в разложении только первые два члена — единицу и й — (в случае бесконечно малых ар колебаний эта погрешность в точности равна нулю).
Итак, отбросив (ввиду их малости) все члены ряда начиная с члена, содержащего квадрат величины —, найдем, что ьг Р 1+ — 1+ив ар ар Р Р илн — =А— аэ аг (11!. 27) 110 только очень медленные колебания, при которых успевает происходить выравнивание температур в областях сжатия и разрежения до температуры в невозмущенном газе. Поэтому формула Ньютона может применяться только к таким звуковым волнам, частота которых близка к нулю.
При быстрых колебаниях (с большими значениями частоты) заметный теплообмен не успевает произойти и адиабатический закон дает лучшее соответствие с опытом. Прямые измерения блестяще подтвердили предположения Лапласа. Вычислим —, следуя Лапласу. При адиабатическом процессе ар Ьр должно соблюдаться равенство Следовательно, при адиабатическом процессе распространения звука Р а= А~. (Ш. 28) или Эта формула Лапласа дает значения скорости звука при нормальных атмосферных условиях (760 мм рт. ст. и 15' С) на !8,8ч/Р большие, чем формула Ньютона, и, как уже указывалось, хорошо подтверждается прямыми измерениями.
Скорость звука в реагирующем газе Распространим теперь полученные результаты о величине скорости звука на случай химически активной газовой смеси. Как известно, в такой смеси связь между давлением и плотностью определяется зависимостью — =сопят или Р Р~ Р 3$ Р "' ИЭ (1П. 29) Следовательно, скорость звука в реагирующей смеси газов в соот- ветствии с (П1. 28) составит а' я —. Р Р Зависимость скорости звука от температуры фоРмулу (1!1. 30) удобнее представить в другом виде. Воспользовавшись уравнением состояния а =йКТ, получим ЯТ а'=п„,~ . (И1.
30) Данная величина скорости звука будет иметь место только до тех пор, пока химические реакции, приводящие к изменению состава смеси и переходу химической энергии в тепловую (или обратно), будут протекать настолько быстро, что они успеют полностью произойти за тот короткий период, когда через газ проходит возмущение, а следовательно, процесс в звуковой волне определяется показателем изоэнтропы и,.
Если по какой-либо причине скорость химических реакций замедлится и газ не будет совсем менять своего состава при изменении давления и температуры в звуковой волне, то процесс в газе будет определяться показателем адиабаты А и скорость звука в такой газовой смеси должна вычисляться по формуле (111. 28) или (Ш. 31) а для адиабатического процесса с показателем адиабаты я Скорость звука в движущемся газе Квадрат скорости звука в реагирующем газе определяется по формуле (Ш. 31) а'= Пи(11т, Т. С другой стороны, величина полного теплосодержания реагирую- щей газовой смеси равна I, = с' T= ""' АКТ. Ииз Сравнивая эти две формулы, мы получим связь между аз и 1, .( = (1П. 33) лиз — 1 й Таким образом, квадрат скорости звука в реагирующей газовой смеси является мерой полного теплосодержания его.
Для газа постоянного состава соответственно аз я 1= —— « вЂ! я ' Воспользовавшись уравнением (Ш. ЗЗ), можно преобразовать уравнение закона сохранения энергии (Ш. 5), выразив в нем полное теплосодержание по формуле (П1. ЗЗ). Сделав эту подстановку, по- лучим — + — = сопз1 (1П. 35) 2л лиз — 1 гА или, сократив на величину —, Ю зиа из — + сопз1. яиз (П1. 36) 112 а = 3/йу<Т. (Ш.32) Как видно из этих формул, скорость звука зависит от температуры газовой смеси, ее состава и показателя изоэнтропы или адиабаты.
Для данной смеси, независимо от изменения ее состава, с небольшой ошибкой мы можем считать постоянными величины !с и и, Тогда скорость звука будет зависеть только от температуры и возрастать с ее увеличением. Скорость звука в камере сгорания ЖРД достигает очень больших значений. Так, при л„,=1,18; !т=ЗО кгм/кг'С и Т=ЗООО' абс. (эти данные примерно соответствуют составу и температуре продуктов сгорания топлива азотная кислота+керосин) скорость звука составит а=~/1,18 . 9,81 ° 30.3000=1020 м/сея. Выразив величину постоянной св уравнении (П1. 36) через величину скорости звука в неподвижном газе аз, т.
е. тогда, когда в=О, получим 2 сопз! = (1П. 37) лиз Подставив это выражение в формулу (1П. 36), будем иметь 2 (1П. 38) 2 лез — 1 Лиз — 1 Так как величина ав для газа данных начальных условий постоянна и не зависит от изменения скорости потока, то из рассмотрения уравнения (111.38) мы видим, что с увеличением пс при адиабатическом течении газа скорость звука падает. При других процессах истечения изменение скорости звука может быть определено по уравнениям (П1. 31), (1П. 32); оно будет зависеть от характера.
изменения в процессе течения газа его температуры Т. Максимальная скорость газа Если процесс расширения газа можно было бы вести до абсолютного давления в газовом потоке, равного нулю, то в соответствии с формулой (П. 30) температура газа также сажала бы равной нулю, а следовательно, и полное теплосодержание газа было бы равно нулю. Это состояние газового потока характеризовалось бы полным пере ходом всего полного теплосодержания газа в кинетическую энергию. Очевидно, что полученная при таком расширении газа скорость является максимально возможной для данного начального состояния газа. В соответствии с этим перепад теплосодержаний й1,=1„х — 1„з в формуле (П1.
9), пошедший на увеличение скорости, при условиях нашей задачи (1,з — — 0) будет равен д1,=1„! = 1в„ где 1.!=1нб — теплосодержание неподвижного газа. Величина максимальной скорости нс газа определится по формуле ./ 2л (П1. 39) Величина максимальной скорости газа может быть подсчитана также по формуле (1П. 38). Действительно, если температура газа станет равной нулю, то и скорость звука в нем, очевидно, также будет равна нулю, т. е. а=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
