Преображенский В.П. Теплотехнические измерения и приборы (1240837), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Доверительный интервал для о при выбранной вероятности Р = 0„95 и значении о = 0,5 найдем по формуле (1-4-Ю)г 7р-— — (ггда; lгао) =-(0,554; 0,848) — (0,4; 0,8). При точных измерениях важно знать, сколько нужно сделать наблюдений измеряемой величины Х, чтобы в результате независимых равноточных измерений получить приближенное равенство Х = Х с требуемой точностью и надежностью. Определение числа измерений для заданной точности среднего квадратического отклонения производится соответственно соображениям, изложенным ниже.
Задаются вероятностью того, что среднее квадратическое отклонение п„для большого числа наблюдений находится в некоторых границах, опирающихся на оценку среднего квадратического отклонения и при малом числе наблюдений. д Подробные сведения а распределении уа и о методах нахождения доверительного интервала для о„содержатся в 11, 4). Пусть, например, ставится вопрос о наименьшем числе измерений для опрееяевия среднего квадратического откаонеяяя о по небояыпому ряду наблгоденвй с дисперсией ог при нероятностн 0,95 дая опюшения верхней границы к нижнейг 2,4 ()вгйг — — 2,4).
Учитывая выражения (1-4-18) и (1-4-19), имеем: и-1=-д(хг=йгу1; — = — =2,4. хг ха По табл. П1-4-2 дяя вероятностей Р, =- 0,025 и Р, = 0„975 находим дая заданного отношения йгаг)гг = 1,697/0,709 =- 2,4 и наименьшее число наблюдений и =- 12. Если взять не столь широкие границы, то число наблвздений оказывается более зггачителыгыю Пусть прь вероятности 0,95 границы установиены в -~-0,1. Определим число измерений для заданных условий, пользуясь формулой 14): у lг 1р+)г 2 (п — 2) — 1 Ха й — гр+ Рг2 (и — 2) — 1 Для Ц = 1.1, й, ==- 0,9 и гр =- 1,96, отвечающего вероятности 0,95, имеем: Р 2 (и — 2) — ! =- — ' — 1,= — '-" — 1,96=19,6, 2,222 2,222 0,222 Р 0,222 откуда и = 194.
С уменьшением ширины доверительной границы значительно растет число наблюдений. Поэтому для достижения желательной точности измерений необходимо заботиться не только о числе, но и о точности измерений отдельных наблюдений, отражающейся на значении оценки среднего квадратического отклонения а. Наблюдения, не заслуживающие доверии. Выше было сказано, что наблюдения, содержащие грубые погрешности, должны быть отброшены как не заслунсивагощие доверия.
Поэтому необходимо уточнить, в каких же случаях сильно отклоняющиеся результаты измерения должны быть отброшены. На практике часто пользуются простым предложением отбрасывать результаты наблюдения, содержащпе большие погрешности, т. е. превышающие За или 4о. Однако этот прием нельзя считать достаточно строгим, так как погрешности являются случайными и потому появление большой погрешности само по себе не зависит от числа наблюдений.
При малом числе наблюдений для определения, какие наблюдения из ряда подлежат отбрасыванию, применяют критерий В. И. Романовского, основанный на распределении Стьюдента. Пусть при измерении некоторой постоянной величины получено и + 1 ре,зультатов наблюдения х„х„..., х„, х„,, При этом п значений результатов наблюдения измеряемой величины не вызывают сомнений в отношении соответствия их закономерному ряду, а одно наблюдение х„ы кажется сомнительным в этом ряду. Определим для ряда наблюдений от х, до х„среднее арифметическое значение г=! и оценку среднего квадратического отклонения я сг = ~/ ~~ (х, — Х„)* 1=! Далее, исходя из степени достоверности, которая должна быть обеспечена, зададимся вероятностью Р, того, что разность 1х„„— — Х„) не превышает некоторое допускаемое значение ва, определяемое по формуле в„= 1„0.
Значения га для различных Р„и п приведены в табл. 1-4-4. Таблица 1-44 Значения Га для различных Ра и л о,ге оха о,ог о,ог с,аоа о,са оха орта 2 3 4 б 6 7 8 9 Если за (х„„— Х„, наблюдение хаы подлежит исключению из ряда, как не заслуживающее доверия. П р и не р 3. В дополнение к наблюдениям, данные которых приведены и табл, 1-4-3, было пронедепо тринадцатое наблюдение, аначение которого хта=- 3440,4 мкВ, а отклонение от среднего х,а — Х„=+4,0 мки.
Оценка среднего каадратическога отклонения по реаультатам 12 наблюдений (табл. 1-4-3) г — — =0,6 . кВ. и Задаааясь Рь = 0,005 по табл. 1-4-4, для л == 12 находим Га — — 4,62 и определяем: аа=-4,62 ° 0,6=2,3 мкВ. Тринадцатсе наблюдение, для которого х — Хта = +4,0 мкВ, подлежит исключению иа ряда„ так как 4 > 2.3.
Оценка погрешности среднего взвешенного. В некоторых случаях при определении значения измеряемой величины приходится иметь дело с обработкой рядов прямых измерений различной достоверности, т. е. измерений, производимых с различной степенью точности или с различным числом наблюдений в каждом ряду и т. п. Вследствие этого не представляется возможным принять за наиболее достоверное значение нзмеряемон величины среднее арифметическое из всех полученных результатов измерения. В этом случае необходимо ввести понятие о весе измерения как о числе, служащем мерой степени доверия к результату измерения. При этом, чем больше вес измерения (степень доверия к результату), тем большее число ему приписывается. Учет различной достоверности результатов измерений отдельных рядов приводит к определению так называемого «среднего взвешенного» Х,, по формуле Х,Р,+Х,Р,+...+Х Р„ (1-4-21) Рв+ Рв+ ° "+ Рт где Х) — средние значения для отдельных групп наблюдений Ц = = 1 —: т); р, — соответствующие им веса измерений ()' =- 1 —: т).
Веса измерений, произведенных с различной степенью точности чаще всего устанавливают обратно пропорциональными дисперсии с" ,(Р) — -- 1~о,"). В некоторых случаях (например, при равноточных измерениях с различным числом наблюдений в каждом ряду) веса устанавливаются пропорционально числу наблюдений в каждом ряду, взятых для вычисления среднего арифметического каждого ряда измерений. Вес ряда с наименьшим количеством наблюдений для удобства принимают за единицу, а веса остальных рядов находят как частное от деления числа наблюдений в данном ряду на число наблюдений ряда, вес которого принят за единицу.
Для оценки точности среднего взвешенного пользуются средним квадратическим отклонением, вычисляемым по формуле .~~ Ру (Х) Хс.в) /=-1 (1-4-22) С" с.в (Рс — () Х Р) )=1 где т — число рядов измерений. Доверительные границы и доверительный интервал среднего взвешенного при заданной доверительной вероятности определяют аналогично рассмотренному вьцие. Оценка точности косвенных измерений. В косвенных измерениях определение значения искомой величины у производится на основании прямых измерений других величин, связанных с у функциональной зависимостью й=-~(Хм Х„..., Х~в), (1-4-23) где Х» (» =- 1 —: т) — средние арифметические значения пряьвях измерений с одинаковым числом отдельных наблюдений Хя, Хм, ...
"., Х„, (1 = 1 —: и). При определении искомой величины у полагаем, что результаты ~змерения величин Х свободны от систематических погрешностей. Погрешность результата косвенного измерения величины у зависит от погрешности результатов прямых измерений независимых друг от друга величин Х,.
Для оценки точности результата косвенного измерения величины у применяют среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле оэ — — ~~ (=.) а',-(-~ — ) о",-)-...+( ~ ) с'~, (1-4-24) где а„а.„..., о,„— средние квадратические отклонения результатов измерения величин Х„ Х„ ..., Х ..
В зависимости от требований к измерениям может быть задана различная доверительная вероятность. Обозначая для выбранной доверительной вероятности Р через е, погрешности величин Хэ, связанные с а„~ или а„ равенством ом е„=(р —.= 1ро, 1 л и подставляя е в формулу (1-4-24), получаем: в, =фl ( — ~) е,'-)-~ — ) е~+...+( — ) в„. (1-4-25) Погрешности а„и в, в формулах (1-4-24) н (1-4-25) выражаются в тех же единицах, что и искомая величина р. Если непосредственно измеряемые величины являются по своей природе разнородными, то пользуются относительными погрешностями этих величин.
При использовании оценок средних квадратических отклонений а~~ значение погрешносги результата косвенного измерения также будет приближенно. Приведенные выше формулы для определения погрешности результата косвенного измерения р могут быть использованы и в том случае, если у находится по отдельным значениям прямых измерений, т.
е. у'=1(хо хг ° хл) В этом случае должно быть известно значение среднего квадратического отклонения. 1-5. Основные сведения о метрологических характеристиках средств измерений При оценке качества и свойств средств измерений большое значение имеет знание их метрологических характеристик, позволяющих выполнить оценку погрешносгей при работе как в статическом, так и динамическом режиме. Класс точности н допускаемые погрешности. Класс точности средств измерений является обобщенной нх характеристикой, определяемой пределами допускаемых основной и дополнительных погрешностей, а также другимп свойствамп средств измерений, влияющими на точность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
