Преображенский В.П. Теплотехнические измерения и приборы (1240837), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Значения 1р для наиболее употребительных доверительных вероятностей при и — ь оо приведены в табл. 1-4-1. В инженерной практике предпочтение отдаегся вероятности 0,95 и 0,997. Табл н па 1-4-1 Значеннн гр нлн нанбоаее употребительных неронтноетей прн и-ьсо 0,99 0,9979 0,90 0,90 об гр 2,33 Оценка точности результата измерения, Для оценки достоверности результата измерения, принимаемого равным среднему значению Х, применяют показатель точности, аналогичный показателю точности результата наблюдения.
При этом согласно теории погрешностей оценка среднего квадратического отклонения результата измерения о- в )7 и раз меньше оценки среднего квадратического х отклонения результата наблюдения (1-4-7). Таким образом, при числе намерений и оценка среднего квадратического отклонения результата измерения (1-4-8) 7=! Доверительные границы погрешности результата измерения указываются следующим образом: нижняя граница --ах или Х вЂ” ах, верхняя граница +а или Х + а;з за пределы которых с вероятностью 0,683 не выйду~ погре1пности результата измерения или среднее арифметическое значение Х. Доверительный интервал представляют в виде 7 =(Х вЂ” а-; Х+а-).
В зависимости от назначения измерений может быть задана и другая доверительная вероятность. В зтом случае доверительные границы записываются как — 1ра; или Х вЂ” 7ра- и +1рах или Х + + (еа-з а доверительный интервал Ур = (Х вЂ” 1рах1 Х+ (рай), Таблица 1-4-2 Вероятности (1 — Р) появлении погрешностей, ирааыаеа~ои1их ах, 2оу, Зох Число иеиереииа Ч осло иеиереиии аох аох 2 5 7 10 0,500 0,423 0,374 0,356 0,343 0,071 0,064 0,062 0,050 Ое146 0,012 0,010 0,008 0,007 0,003 0,295 0,184 0,116 0,092 0,077 0,205 0,095 0,030 0,024 0,015 0,339 0,334 0,331 0,330 0,317 12 15 18 20 Оценка точности результата измерения при малом числе наблюдений. На практике, как правило, число измерений конечно и в больптинагве случаев не превышает 15 — 20 отдельных наблюдений, а при ответственных измерениях — нескольких десятков.
При малом числе набпюденнй (л --. 20) и условии, что распределение погрешностей отдельных измерений следует нормальному, пользуются для определения 1р таблицей, основанной на распределении Стьюдента. Измерения при малом числе наблюдений чаще дают преуменьп1енное значение средней квадратической погрешности по сравнению с погрешностью для достаточно большего ряда тех же измерений. Распределение Стьюдента, упрощенно говоря, учитывает зто обстоятельство, и при одинаковой доверительной вероятности значение 1 = о/а больше в распределении Стьюдента, чем в нормальном.
Иными словами, вероятность появления, например, одинаково больших погрешностей в распределении Стьюдента, т. е. при малом числе измерений, — больше. В табл. 1-4-2 приведены вычисленные по распределению Стыодеита, вероятности (1 — Р) появления погрешностей, превышающих а-, 2а-„- и Зах в зависимости от числа измерений и. Распределение < тьюдента с и степенями свободы определяется следующим выражением: г + — ~г~ ( +2) 1 аа Г ~-",-~ (1-4-9) где Г (х) — гамма-функция: Г(х)=~ а'-'е-"йг; о 1 Х вЂ” х Выражение (1-4-9) позволяет решить вопрос о вероятности неравенств — 1р ( 1( 1р, Гр ) 0 для любого значения Гр.
Вероятность Р того, что — Гр 1( Гр, определяется так: 'Р 1р Р=Р ( — Тр~Г(1р)= ) п(Г, й) бт=-2 $ о(Г, й) сЮ. (1-4-10) -гр о (1-4-12) е=(гох, получаем из уравнения (1-4-11) Р (Х -- е ~ Х ( Х + з) = Р; (1-4-13) при этом е будет зависеть от л, Р и значений х„х„, хм ..., х„, которые входят в а через а .
Выражение (1-4-13) позволяет достаточно точно произвести оценку. приближенного равенства Х = Х. При практическом применении распределения Стьюдента погрешность а среднего арифметического значения (результата измерения) прн малом числе наблюдений (л:= 20) н заданной доверительной вероятности Р определяется из значений а или а —, вычисленных по формулам (1-4-7) или (1-4-8), с помощью выражения е=г, — =1нох.
(1-4-14) х. Значения 1р для наиболее употребительных доверительных вероятностей Р и различных х = и 1 приведены в табл, П1-4-1. Из (1-4-10) следует равносильная вероятность 8р Р(Х Ггпх~Х~Х+Мх)=Р=2 1 с (1, й) й. (1-4-11) о Если задана вероятность, то, пользуясь выражением для Р, можно найти положительное число 1р, которое будет зависеть только от Р и л. Полагая При п -ь оо (и 200) распределение Стьюдента сходится с нормальным. Для оценки среднего арифметического значения Х, принимаемого как окончательный результат измерения, указываются доверительные границы и доверительный интервал при выбранной доверительной вероятности.
Доверительные границы указываются следующим образом: нижняя граница Х вЂ” е, верхняя граница Х + + е илн сокращенно Х -+. е. Доверительный интервал выражается в виде Ур=(Х вЂ” е; Х+е), где е определяется формулой (1-4-14) и выражается в единицах измеряемой величины. Если е выражается в долях среднего арифметического значения измеряемой величины, то доверительные границы указываются следующим образом: ье Х (1 — ро)а во =(Р = х П р и м е р 1. В табл.
1-4-3 приведены данные 12 измерений терно-э. д. с. платннородий-платинового термоэлектрического термометра при температу)ю рабочего конца 419, 58'С и свободных попцов 0'С. Результаты измерений ие содерткат систематических погрешностей. Используи формулу (1-4-о), получаем среднее арифметическое значение Х = — х! = 3436,4 В.
— 1 чЬ! л а=! чайные отклонения результатов наблюдений х! — Х и их квадрзты (х! — т)з гриведены в табл. 1-4-3. 2', Т з блица 1-4-3 Данные измерении терно-з.дхь платииородий-платинового термоэлектрического термометра при темгературе рабочего конца 419,58'С и свободных юнцов 0'С Случайньм отклонен и их хаадратм Случайимеотнлоненин и их квадраты Термо-э.д.с. (л.), мив Терно-э.д.с. (л), мив ! — х ('; — х)' (л! — х 3436,8 3435,8 3437,0 3436,1 3436,7 3437,2 +0,4 — 0,6 +0,6 03 +0,3 +0,8 0,16 0,36 0,36 0,09 0,09 0,64 7 8 10 11 12 3436,0 3436,! 3436,7 3436,7 3435,6 З436 1 — 0,4 — 0,3 — 0,3 0,16 0,09 0,09 0,09 0,64 0,09 Средние квадратические отклонения результатов наблюдения и измерения определяются соответственно по 4армулам (1-4-7) н (1-4-8): j о= 1~, — „~~ (кг — Х)е = "~ — '=0,5 в; ( — 1) ,7 р' И г = ! о 0,5 и —.
= — '=0,14 мкВ. х Р.й ). 12 Истинное значение терно-э. д. с. Х термоэлектрического термометра можно приближенно положить равным найденному среднему арифметическому значению Х, т. е. Х = Х. Для оценки достоверности этого равенства зададим доверительную вероятность Р = 0,95 н найдем доверительные границы, соответствуюптие этой вероятности.
По табл. П1-4-1 дзя Р =- 0,95 н а =- и — 1 = 1! накодиы ГР = 2,2. Согласив выражению (1-4-14) получим: а=г 5- =2.2 0,1~=0,308 0,3 мкВ. х В соответствии с принятым условием, т. е. с вероятнссгью 0,95, мы можем утверждать. что истинное значение термо-э. д. с. заключено между доверительными границами: Х вЂ” е =. 3436,4 — 0,3 = — 3436,1 ми В; Х+а=3436,4.+0,3=3436,7 мки, или Х Х = 3436,4 -~- 0,3 мкВ. Неточность оценки среднего квадратического отклонения н необходимое число наблюдений.
Как было сказано выше, среднее квадратическое отклонение и (нли дисперсия а') при ограниченном числе наблюдений может быть определено только приближенно. При этом оценка и будет отличаться от среднего квадратического отклонения оа неограниченно больпюго ряда тех же измерений тем больше, чем меньше произведено наблюдений. В математической статистике доказывается, что оценка среднего квадратического отклонения а (илн пз), найденная при малом числе наблюдений в предположении нормального распределения, позволяет судить о среднем квадратическом отклонении а„(или а„-) неограниченно большого ряда тех же наблюдений и найти доверительный интервал для а„ с заданной вероятностью Р: (1-4-16) Р(й,а( п„~ Аза) =-Р.
Коэффициенты )г, и кз для вероятности Р находят из условий (~а тп) 2 1 — Р (1-4-16) Р(.-й;) = — ','". (1-4- » Значения й, и й. определяются из выражений (1-4-18) при Ц, отвечающем вероятности Р, = (1 — Р)72, А = — и — 1; А, = ~/ и— ,— (1-4-19) пРи 2а длЯ Р, = (1 + Р) 72, А =- п — 1. Для определения значений 71 н у;, отвечающих соответственно вероятностям Рд =- (1 — Р) 72 и Р, =. (1 + Р) !2 и числу' степеней свободы А = и — 1, пользуются таблицами распределения та, которые обычно составляются только до А =- 80, так как при степенях свободы более 30 распределение )(а может быть выражено через нормальное '.
Доверительный интервал Ур для среднего квадратического отклонения п„находят по выражению Ур=(А а; А,п). (1-4-20) Козф))ициенты Ад и А, для наиболее часто выбираемых вероятностей Р (0,90; 0,95; 0,98; 0,99), которым соответствуют вероятности Р, ==- (1 — Р)!2 (0,05; 0,025; 0,01; 0,005) и Р, = (1 + Р)72 (0,95; 0,975; 0,99; 0„995) со степенями свободы А == и — 1, даны в табл. П1-4д2. Следует отметить, что при малом числе измерений границы доверительного интервала, заключающие внутри себя а„, не расположены равносторонне по отношению к вычисленному значению среднего квадратического отклонения.
При достаточно больпдом числе измерений можно ожидать, что а„лежит в равносторонних границах. П р и м е р 2. Определить доверительный интервал для о,„характеризующий неточность определения приблюкенного значения а, по дайным примера 1, если известно, что распределение близко к нормальному. Выбнраеы вероятность Р = — 0,95. По таба. П1-4-2 находим при гг = п — 1 =-11 для Р, =- (! — Р) /2 = 0,025 значение йд = — 0,709; для Ра = — (1 + Р) !2 = 0,975 значение й,:=. 1,697.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
