Преображенский В.П. Теплотехнические измерения и приборы (1240837), страница 5
Текст из файла (страница 5)
з В математической статистике и теории вероитиостей среднее значение величины нри неограниченно большом числе отдельных наблюдений называют математическим ожиданием. Обычно, кроме случайных погрешностей, на точность измерения могут влиять снстематические погрешности. Измерения должны проводиться так, чтобы систематических погрешностей не было. ц дальнейшем при применении предложений и выводов, вытекаюгцих из теории погрешностей, и обработке результатов наблюдения будем полагать, что ряды измерений не содержат систематических погрешностей, а также из них исключены грубые погрешности.
Теория случайных погрешностей, а вместе с тем н суждение о закономерностях, которым подчиняются случайные погрешности, основывается на двух аксиомах, базирукхцихся на опытных данных 121. Аксиома случайности. При очень большом числе измерений случайные погрешности, равные по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто, т. е. число отрнцательнь!х погрешностей равно числу положительных. Аксиома распределения. Маяые погрешности случаются чаще, чем большие. Очень большие погрешности не встречаются.
Пусть неизвестное истцниое значение некоторой неизменной величины есть Х. При измерении втой величины получено п независимых друг от друга результатов наблюдений х„х.„к„..., х„. Измерения выполнены одним н тем же прибором н с одинаковой тщательностью, т. е. одинаково точными н свободными от систематической погрел- носта. Предположим, что каждому измерению сопутствует случайная погрешность б„б„..., б„— различная по значению и по знаку.
Следователыю, для каждого результата наблюдений можно написать выражение вида 6! =- х; — Х и затем получить совокупность уравнений для ряда измерений: б = — Х; б =х,— Х; (1-4-1) Ь„= к„— Х Предположим, что в выполненных измерениях число, сумма и числовые значения положительных случайных погрешностей приблизительно равны числу, сумме и значениям отрицательных погрешностей. Другими словами, распределение случайных погрешностей — равностороннее по отношени!о к среднему значению измерений Х.
Таким образом, по предположению, (1-4-2) и потому л — 1 чт Х Х=-- у хг. (1-4-3) о,=х,— Х; (1-4-4) В соответствии с аксиомой случайности Выше отмечалось, что отклонения в измерениях или погрешности являются случайными, т. е. значение (размер) их для каждого отдельного измерения нельзя предвидеть. Позтоыу представляется естественным применять к ним те общие законы для случайных явлений (или величин), которые рассматриваются в теории вероятностей и математической статистике '.
Закон нормального распределения случайных погрешностей выражается следующим уравнением: м 7(6)= ... а о„1/2н (1-4-5) где 1 (6) — плотность распределения вероятностей; а„ вЂ” среднее квадратическое отклонение результата наблюдения при большом числе измерений (и -+ оо); е — основание натуральных логарифмов; е = 2,7183. На рис. 1-4-1 закон распределения случайных погрешностей, выражаемый уравнением (1-4-5), представлен в виде симметричной т Лиц, интерес1тощихся более поиробныии сведенияии о теории ногреннгостей, отсылаеи к специаньныи пособник 11 — 4,71.
Это равенство позволяет считать, что среднее арифметическое значение Х (или математическое ожидание М) является наиболее близким к истинному значению измеряемой величины Х, какое только можно получить из имеющихся опытных данных. Сделанное допущение о справедливости (1-4-2) и приводит к справедливости выражения (1-4-3). После того как найдено среднее зваченне Х (1-4-3) для р яда наблюдений хо х„..., х„, для изучения погрешностей необходимо найти случайные отклонения ог каждого результата наблюдения от среднего значения Х: кривой, которую называют кривой нормального (гауссовского) раса еделения случайных погрешностей.
аблюдения, проведенные при болыпом числе повторных измерений в одних и тех же условиях, показывают, что для результатов этих набпюдений частота появления тех или иных значений случайных погрешностей подчиняется устойчивым закономерностям. Если через т, обозначить частоту появлений значения погрешносгн 6; при общем нх числе и, то отнсипение т,/л есть отаосительная частота появлений значения 6ь При неограниченно большом гЯ числе наблюдений (и -ь оо) зто отношение равнозначно понятию вероятности, т. е.
может рассматриваться как стдтистнческая вероятность (р„— -- т;/л) появле- лп лл ния погрешности 6; прп повторении измерений в неизменных 1 условиях. Общность понятий Ю частоты и вероятности подробно „ал ""л- и а и рассматривается в курсах'теории вероятностей. Рис. 1-4-1. Кривая нормального рас- Вероятность того, что по- иределения случайных погрешностей. грешности не превосходят численно некоторого значения ~ 6 (, т. е. лежат в пределах от — 6 до +6, может быть найдена (учитывая симметричность кривой нормального распределения) путем интегрирования уравнения (1-4-5): ог р 2 1 ~е хо„' а6 Р'2я,1 о„' о Производя замену переменной Ио„= 1, получаем: 8 м Р=2 .
1е и Ю=Ф(1). р 26 Для функции г Ф(1)= ) е ' о(, о (1-4-Е) которую принято называть нормальной функцией распределения, составлены таблицы для различных значений 1(1, 2, 4). Возвращаясь к рис. 1-4-1, найдем точки перегиба кривой и состветствУющие им значениЯ вЂ” 6а и +ба. ДлЯ этого пРиРавнаем втоРУю производную уравнения (1-4-5) нулю и найдем, что перегиб кривой происходит в двух точках, симметрично расположенных по обе стороны от оси ординат 1' (6), при значениях +-ба = -+.аа.
Полученные точки перегиба разделяют область часто встречающихся случай"ых погрешностей от области погрешностей, редко встречающихся. Рнс. Ь4-2. Кривые нормального распрепе пения случайных погрешностей, соответ стиуюшие трем ратличныи значениям ол а = — ~~(х,— Х)в, (1-4-7) где и — число наблюдений; х,— значение величины, полученное при 1-м наблюдении; Х среднее арифметическое значение (результат измерений).
Яля неограниченно большого ряда измерений 68,3в е всех случайных погрешностей ряда лежит ниже данного значения а„и 31,7е выше вго. Параметр ал однозначно характеризует форму кривой распретелентгя случайных погрешяостей. Ордината 1" (6) кривой распредепения, соответствующая Ь = — О, обратно пропорциональна а„; три увеличении а, ордината1 (0) уменьшается (рис. 1-4-2). Так как площадь под кривой распределения всегда равна единице, то при увелнченпи а„кривая распределения 3 (рис. 1-4-2) становится более плоской, чем кривая 2, растягиваясь вдоль осп абсцисс. С другой тараны, при уменьшении а„кривая распределения 1 вытягивается вверх, одновременно сжиФг) маясь вдоль оси абсцисс. Таким образом, малому значению а„соответствует преоблат йлв дание малых случайных пс грешностей, а вместе стем и большая точность измерения данной величины; при большом же а„ большие случайные погрешности встречаются У ~ел значительно чаще, следова-сг тельно, точность измерения 0 меньше.
Конечная цель анализа выполненных измереяий состоит в определении погрешности результата наблюдения ряда значений измеряемой величины х„х„..., х, и погрешности их среднего арифметического значения, принимаемого как окончательный результат нзмереяия, относительной частоты погрешностей и вероятности. Оценка точности результата наблюдения. Для оценки точности результата наблюдения служит среднее квадратическое отклонение результата наблюдения а„(квадрат этой величины, т.
е. а"„, называется рассеянием или дисперсией результата наблюдения и обозначается обычно символом Р). В реальных условиях мы имеем дело с конечными рядами наблюдаемых значений измеряемой величины, так что, определяя о прн ограниченном числе наблюдений, можем найти только приблпженное значение или оценку этого отклонения, определяемого по формуле Выражение (1-4-7) при ограниченном числе наблюдений дает несмещенную оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдений 11). Для получения полного представления о точности и надежности оценки случайного отклонения результата наблюдения должны быть указаны доверительные границы, доверительный интервал и доверительная вероятность.
При изьестном о доверительные границы казываются следутощнм образом: нижняя граница — о или о, верхняя граница +о или Х + о. (сокращенно -+-о или Х -+- о), за пределы которых с вероятностью Р = 0,683 (или 68,3%) не выйдуг значения случайных отклонений х; — Х или результатов отдельных наблюдений х; ряда измерений. Доверительный интервал выражается в виде Тр = (Х вЂ” о; Х+ о). В зависимости ог целей измерения могут задаваться н другие доверительные границы: — гро или Х вЂ” 1ро и +1ро илн Х + (ро. Чтобы избежать при определении значения величины )р=агпФ( — ) обратного интерполирования табличной функции Ф (1) (1-4-6), пользуются специально составленной таблицей (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
