Добровольский М.В. Жидкостные ракетные двигатели, 2005 г. (1240835), страница 29
Текст из файла (страница 29)
о (4.89) Преобразуем входящую в равенство (4.89) величину Т,ф(Т фар В соответствии с выражениями (4.29) и (4.61) имеем г Твг.г + аТО Рл 7ф ' 2ср,флр (4.90) г 7эф.л аг Твгх + гвТвл гв 2ср,ф,р где ср ф р среднее значение ср ф в интервалетемператур Т,ф — Тфв. Разделив числитель и знаменатель правой части уравнения (4.90) на Т,фр, введя обозначение 4.4. Интегральные соотношения энергии и иипульсое для пограничного слоя 177 П>оэ Пэ,о щ 2 ср эф.сроэ Тэфо о (4.91) где ср,ф,р„— среднее значение ср,ф в диапазоне температур Т,ф — Т,ьс„, и предполагая Ср эф.ср оэ ср,ф (4.92) после преобразований получим Т „+(1 — Т,„„) — (3,„ (4.93) 7э .л пэл эсХ вЂ” = — а.
л ° пэ„ (4.94) Аналогично, в силу равенства (4.85), используя д, определенное из форму- лы (4.74), и Ь„, — из формулы (4.88), получим сэ70л эс Х вЂ” = — ал. '-~ТОоэ 'от (4.95) Из уравнений (4.74) и (4.85) имеем А~О Рлте ил рро з Ч. сЭТОоэ сэтРл (4.96) Подставив теперь выражения (4.94) — (4.96) в равенство (4.93), а полученное выражение для Т,ф/Тэф„— в формулу (4.89) и используя (4.88), после преобразований выведем окончательную формулу для 8„(величиной ~3фпт/пэ )г пренебрегаем): бл — — Фбч„ (4.97) ГдЕ Тстл = Тс„,„/Тэфо„.
Определим теперь входящие в уравнение (4.93) величины пэл/то„, ЬТО,//лТО„, ЬТО/ЬТО„. Из выражения (4.84), подставив значение т, полученное из выражения (4.67), и используя равенства (4.71) и (4.88), имеем Глава 4. Охлаждение ЖРД 178 где Т„, (1-Т„„) кХал — (Т„„)л" (4.98) хуал(п+1)(1 — Т „) Т „+(1 — Т„,) С другой стороны, найдем 1л из выражений (4.64), (4.68), (4.69) при 11 = 5„„1 = 1„р = р„предполагая г/Я = 1: 1, = мал(бял +Ь).
(4.100) Решая уравнения (4.99) и (4.100) совместно относительно Ь, с учетом равенства (4.97) получим Ь=бчл — -1 > (4.101) или Ф бчл + Ь бчл ал Поскольку Ь < б„„следовательно, Ь ~ б и Ь ак б,. Позтому в суммах (б+ Ь) и (б, + Ь), входящих в выражения (4.70) и (4.73), величиной Ь можно пренебречь. Тогда, учитывая равенства (4.102) и (4.88), имеем бчл + Ь бчлФ Фурл 5 + Ь бал ал рл5'„5 (4.103) Подставив в (4.103) значение И', из выражения (4.71) и учитывая, что согласно равенству(4.35) р, = ц,фв (Тлф,л), где Т,ф = Тлфл)Тлфе,, получим бал+ Ь ЦФХ(Тф..)" (4.104) 5+Ь на, Вел где п~<юрлб Кеь = Ифо (4.105) Зная теперь б„можно определить постоянную интегрирования Ь в уравнениях (4.70) и (4.73).
Длина пути смешения на границе ламинарного подслоя выражается формулой 1л нбл (4.99) 4.4. Интегральные соотношения энергии и импульсов для пограничного слоя 179 Используя аналогичные преобразования, запишем бал+ Ь бчлФ Ф)(14 ~Ф2»(Тэф.л) (4.106) г г э б, +Ь б,а, а, р,6',б, ха, Кео, где го~~ Рлбч Кео, = Н фОш (4.107) Сопоставляя формулы (4.105) и (4.107) с уравнениями (4.53) и (4.43), опрелл ° л делающими Ке, и Ке, получим б Ке = Кеь —, б' ° л б, Ке, =Кеа —.
'б, (4.108) (4.109) Зная профили скоростей и температур в турбулентной части слоя и ламинарном подслое, произведем сопряжение соответствующих профилей путем подстановки отношения го,/го из уравнения (4.94) и отношения (бчл+ Ь)/(б + Ь) из равенства (4.104) в уравнение (4.70). После преобразований имеем сФу(Тэф ) е» 2 хха, хал е (4.110) Аналогично (см. уравнения (4.95), (4.106), (4.73)) выразим РФ)»(Тлф~) е»' Кео, = Х а2 ЕХХа л (4.111) 2 (4.112) Выражение для а, можно получить из уравнения (4.65): Входящие в уравнения (4.110) и (4.111) значения Тф л и а, можно определить следующим образом.
Согласно равенствам (4.29), (4.61), (4.91), используя уравнения (4.92), (4.94) и (4.95), выражение для Т,ф, можно привести к следующему виду: Глава 4. Охлаждение ЖРД 180 р р, р,тл р, Т,ф,. Ро Рс Ро Тэфо Ро (4.114) Преобразовывая теперь уравнение (4.47) с учетом выражений (4.114), (4.74) и (4.71), получим ,~т„д„ (4.115) эл ал Аналогично, из уравнения (4.54) с учетом выражений (4.114), (4.71) и (4.67) найдем «,/Т=„,, (4.116) элал М М Для определения Ке, и Й.е найдем предварительно выражения для вычисления толщин потери энергии б, и импульса б.
Заменив в уравнении (4.42) переменную, введенную соотношением (4.63), получим лп ь~э б, = — 1 — Ж)= — 1 — — й), (4.117) где б„, — толщина теплового пограничного слоя в координатах з, т1. Подставляя в выражение (4.117) значения пэ/пэ„из формулы (4.70) и ЬТв!АТ из формулы (4.73) и предполагая ввиду малости Ь, что б+ Ь = б и б, + Ь = б„а также что б = б„, получим ь, б = — 1п — а э1 — — 1П вЂ” аэ1. (4.118) Тэф.л ал— (1 — Тссх)) ~3„н Кол Т,ф,.+ ' -2", ' ~г При известных или заданных величинах Т „, ~3лн г, и са, решая совместно уравнения (4.112) и (4.113), можно найти Т ф и а„зная их, можно определить также Кеа, и Кев.
Используя все полученные выше зависимости, определим теперь интере- М М сующие нас величины А„А, Ке,, Ке и с через известные нам величины и через с и г„. Согласно уравнению состояния (4.34) имеем 4.4. Интегральные соотношения энергии и импульсов для пограничного слоя 181 Применяя правило интегрирования по частям, найдем т (4.119) Аналогично, из уравнения (4.52) после преобразований имеем (4.120) Для определения Ке и Ке, подставим в равенство (4.108) выражения (4.110), (4.120) и получим фХ(2;, )" (1- — ~е». ИП2 Ехха„ л (4.121) Аналогично, подставив в равенство (4.109) соотношения (4.111) и (4.119), составим выражение ах1гх.,) (! — -) ' И 22 ~ ЕхХач (4.122) Определив предварительно Н, и Н из уравнения (4.55), получим формулу для безразмерной величины 2 1-- -11-Тс,,) — е"' » 2 (4.123) Таким образом, мы получили формулы (4.115), (4.116), (4.121) и (4.122), выражающие переменные, входящие в интегральные соотношения энергии (4.50) н импульсов (4.51), через известные нам величины и через с и Г .
Подставляя эти выражения в уравнения (4.50) и (4.51), придем к системе двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными с и ся. Можно найти приближенное решение этой системы для общего случая движения в пограничном слое, однако для практических расчетов теплообмена в ЖРД удобнее воспользоваться приближенной формулой ~, — с =0,5. (4.124) Использование равенства (4.124) позволяет свести решение системы уравнений (4.50) и (4.51) к решению одного уравнения. Глава 4. Охлаждение ЖРД 182 4.5. Решение интегрального соотношения энергии Ранее нами получено следующее интегральное соотношение энергии (4.50): ЫКе," *. 41(1п Я) *.
Н(1пгйо ) Ке р ' +Ке, +Ке, — А, ' ,. Ке,* =~~(Т „,~3„,6 ) А =.1г(Т .. ~3 ° с, ). (4125) Совместное решение уравнений (4.115) и (4.122) при заданных различных значениях Т „позволяет исключить Р, и найти связь между Ке, и А, при различных значениях ~3 . Выразив эту зависимость графически, можно л\ подобрать приближенную формулу связи между Ке, и А,. В диапазоне изменений Т „= 0...1, ~3 ге = 0...0,8 и 1д Ке,* = 2,5...б 4,14Ке, А, =(1+1,5(Тх) ' ) 1и (4.126) с ~2 4,4 1+ (Т,„, +0,04) 1+ 1,5(Т .г) Введем обозначения: Ь, =1+1,5(Тегг) ' (4.127) 4,14Ке, (4.128) Ч2, =1п с 2 4,4 1 + 1г 5 (Т г.г ) 4,4 а, = — 1+ —" (Т,, +0,04) ' 4144, Ь, (4.129) Рассмотрев выражения (4.115) и (4.122), определяющие Ке„и А„отметим, что входящие в эти формулы величины Тва„, а„и Ф являются функциями от Т „~3 „, с, и 6 .
Следовательно, учитывая зависимость (4.124), связывающую г, и Г„можно сказать, что Ке, и А, являются функциями только трех величин: Т „, ~344 и с„т. е. 183 4.5. Решение интегрального соотношения энергии Тогда формула (4.126) приобретает вид А, = Ь,у„откуда Ке, =а,ет' (4.130) Подставим выражения (4.128) и (4.130) в интегральное соотношение энергии (4.50) и приведем его к виду ц~~И(а,е™ )+ у~а,ен"с1 1п(ЙАБо„) = ~~ ~3 — сБ.
(4.131) Ь, Ро Далее, для определения !1 и сьЬо„используем равенства Я = В/2 и ЛЬо„= Ьо„- Ьеэ = ср эф (Тфощ — Тет г) = ср эфТэфосо (1- Тесе)1 (4.132) ц~~с1(е"')+ ц~~эет'И1п(а,В(! — Т,,)) = ~ !)и — сП; (4.133) а,Ьэ Ро Для удобства решения уравнения (4.133) введем обозначение г, =(Ч(~ — 2у, +2)ен'. (4.134) Нетрудно убедиться в том, что (4.135) (4.136) где — — + (4.137) При практическом диапазоне изменения у, в пределах 7...15 соответствующее зависимости (4.137) изменение lс, невелико и составляет 1,32...1,15. Поэтому вполне допустимо считать /с, = сопя! = 1,2.
Подставив равенства (4.135) и (4.136) в уравнение (4.133), получим Ыг, + г,7с,И1п(а,д(1 — Т„,,)) = " ~3ш — с!У, аЬ, Ро где ср,ф — эффективная теплоемкость в интервале температур Т,„— Тэфо . Считаем ее постоянной по длине камеры, т. е. не зависящей от я. Подставив выражение (4.132) в уравнение (4.131), произведя дифференцирование и поделив все на а„получим 184 Глава 4. Отлаждение ЖРД нли а(ат.О(1 — Т „)) ' Ке Р (а,В(1 — Т,)) атЬт Ро откуда имеем тт(ят(а,В(1 — Т „)) ')= (а,) ' (л3(1 — Т „)) '13 — ЫТ. (4.138) Вт Ро Интегрируя уравнение 14.138), находим 1 г,= (а,д(1 — Т „)) ' В, + ( " (а,) ' (В(1 — Т„,)) ' 13в — ал, ат Ро ° о (4.139) где В, — постоянная интегрирования, которая при Т = 0 рассчитывается по формуле В, =ят(а,В(1 — Т „)) '~ (4.140) Определение л, в условиях ЖРД Учитывая особенности рабочего процесса, проходящего в ЖРД, можно произвести следующие упрощения уравнения 14.139).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
