Добровольский М.В. Жидкостные ракетные двигатели, 2005 г. (1240835), страница 28
Текст из файла (страница 28)
4. Условия при в = 0 будут рассмотрены ниже. и»=и=О, Интегральные соотношения энергии и импульсов для пограничного слоя Основываясь на исходных уравнениях (4.30) — (4.35), выведем интегральное соотношение энергии для пограничного слоя*. Умножив уравнение (4.30) на Ьо, уравнение (4.33) на г и сложив результаты, получим д(гри»Ьо) д(грийе) д(гт)в) дв ду ду (4.36) Умножим уравнение (4.30) на полную энтальпию торможения ядра потока Ьо . Поскольку Ьо„не зависит от в и у, то д(три»Ьо ) д(гриЬо ) (4.37) Вычитая из выражения (4.37) равенство (4.36) и вводя обозначения ЬЬо = = Ьо — Ь, Мо„= Ьо„— Ь (где Ь вЂ” полная энтальпия газа при Т „и давлении р в данном сечении), получим ' Вывод интегральных уравнений, решение нх, анализ н получение зависимостей для определения»7„проводятся на основе работ (14, 15). Здесь г — кратчайшее расстояние от оси камеры сгорания до данной точки внутри пограничного слоя; и» и и — проекции осредненной скорости на осях в и у; т — напряжение от силы трения на площадке, перпендикулярной оси у; т)„— нормальный к стенке конвективный тепловой поток; Ьо и Ьо — полная удельная энтальпия торможения и ее пульсационное значение; в — расстояние по образующей камеры сгорания и сопла; у — расстояние по нормали к поверхности.
Граничные условия следующие. 1. При у = 0 (у стенки) имеем 4.4. Интегральные соотношения энергии и импульсов для пограничного слоя 169 — [грго(ЬЬо — ~йо)) + — [гро(ЛЬо„— ЛЬо)~ = — " . (4.38) д д д(гд„) дл ду ду Интегрируем уравнение (4.38) в пределах толщины теплового пограничного слоя Ь,: — [грго(ЬЬо -ЛЬо)1г(у+~ — [грп(ЛЬо -ЛЬо)14'=-) 4~ (439) я ф д Г д 1 д(г9„) д. " ~д " ~ д При принятых нами граничных условиях второй член левой части уравнения (4.39) равен нулю, а правая часть равна Ядт, откуда имеем — [грго(оЬо„— ЬЬоЯЯ = А9 | д дл о или с( — грпэ(АЬо„— ЬЬо)ф = Я9 ал ~ ~ ~~ т о (4.40) иР го лЬо 1 г Р ш [1 ЛЬо1с~, Рэфоо .) л Рл ~ов(. оЬо ) о (4.41) Ифо Величину (4.42) принято называть толщиной потери энергии. Приведем уравнение (4.40) к безразмерному виду, для чего разделим и умножим его на соответствующие не зависящие от у характерные величины: расстояние от оси до стенки Я, плотность на границе ламинарного подслоя р, и скорость в ядре го„.
Кроме того, обе части уравнения (4.40) разделим на р,фв„— коэффициент вязкости газа при эффективной температуре торможения ядра потока т,го„, получим Глава 4. Оллаждение ЖРД 170 Представим число Ке, в виде Рлш бт Ке, = )т фо (4.43) Подставляя выражения (4.42) и (4,43) в уравнение (4.41), получим 1КЕт ттттттатт) = Ы .в Я9,д ™ Ифо (4.44) — 4 45) ' +Ке, +Ке, ваял вГл 1л,фо„~5йо„ где У=в/А, Р =Я/Ь. Поскольку мы свободны в выборе характерного размера, то в дальнейшем примем в качестве Е диаметр критического сечения И . Тогда в уравнении (4.45) Чтобы привести уравнение (4.45) к более удобному для интегрирования виду, образуем безразмерные комплексы: аврРО~вто л Ке Рфо (4.46) ро ш — Лйо Р Ро т (4.47) (4.48) где ро„и ро„— давление и плотность заторможенного ядра потока; и~,„ш— максимально возможная скорость ядра потока при расширении до р, = О; 2 гс = — ср,ф,,р„Тфо гв (4.49) где ср тфлр аэ средняя теплоемкость в интервале температур Т ф — Т фо .
Дифференцируя и умножая обе части этого уравнения на Ы(Яро ), где С— произвольно выбранный характерный размер, имеем 4.4. Интегральные соотношения энергии и импульсов для пограничного слоя 17! Считая с( характерным размером и подставив выражения (4.46) и (4.47) в уравнение (4.45), получим интегральное соотношение энергии (и ) К (и о ) е - Р 450 ' +Ке, +Ке, А, Ро Проведя аналогичные преобразования уравнений (4.30) и (4.31), получим интегральное соотношение импульсов а1 Ке с((1п Я) с Ке а1(1п 11„) Ке„р +Ке + г сБ игл 1-~)„аЪ А„Ро ° ь В* Здесь Ке — число Рейнольдса, полученное по толщине потери импульса 8; М М~ Ке и б определяются из выражений (4.52) о рл го~о 8 Ке (4.53) Ац, = то,о Ро с = Н+1-(1-Тют')Н„ (4.54) (4.55) где Н= — — 1 — — ф, о (4.56) (4.57) (4.58) Как мы увидим далее, решение системы уравнений (4.50) и (4.51) при некоторых условиях удается свести к решению одного нз ннх. Для этого не** *~ обходимо установить связь между величинами А„Аиь Ке,, Ке, входящими в эти уравнения.
1 лава 4. Охлаждение ЖРД 172 Связь между Ке„*, А„А„и Ке* Чтобы найти связь между указанными величинами, выведем соотношения для них, определенные через известные нам величины. Для этого необходимо, в первую очередь, определить профили скоростей и температур (или энтальпий) в пограничном слое. Согласно структурной схеме турбулентного пограничного слоя рассмотрим движение и теплообмен раздельно в турбулентной и ламинарной частях слоя.
Турбулентная часть слоя. При рассмотрении этой части слоя можно пренебречь первыми слагаемыми в выражениях (4.16) и (4.26). Тогда из этих уравнений, вводя длину пути перемешивания 1 по уравнениям (4.23) и (4.24) и учитывая выражения (4.28) и (4.29), получим т=т, =р1 (4.59) д„= д„, = ср,фр1 — — = ср,фр1 —, (4.60) 3 Й~ш™Твф0 2 в(тс в1(~~Т0) ф' ф' ау (ф где (4.61) ЬТ0 = Т,„-Т„,.
(4.62) где к — эмпирическая константа(х = 0,38...0,4). Видоизменяя подстановку Дородницына, введем новую переменную а(п = — — и). У р при (4.63) Для получения профилей скоростей и температур необходимо так задать распределения 1, т и д, поперек пограничного слоя, чтобы можно было интегрировать соотношения (4.59) н (4.60). Расчеты показывают, что, хотя в зависимости от заданного распределения т получаются соответственно различные зависимости 4у) и ш(у) по сечению пограничного слоя, отличие конечных результатов при различных профилях т невелико, так как изменение 1 как бы компенсирует изменение т.
Кроме того, профили т и д„в турбулентной части слоя должны быть заданы так, чтобы на границе с ламинарным подслоем они приняли соответствующие значения т, и д, . (Отметим, что в ламинарном подслое можно принять тл(у) = сопз1 = т, а„л(у) = сопз1 = де„.) Закон изменения длины пути перемешивания определим функцией Кармана: 4.4. Интегральные соотношения энергии и импульсов для пограничного слоя 173 Тогда величина пути перемешивания из равенства (4.62) выразится следую- щим образом: д2о/д~) г рдгш Я д 2 (4.64) где г р дгго дг) Р (4.65) й д 2 Подставляя выражения (4.63) и (4.64) в формулу (4.59), получим 2 2 ( /дЧ) (дгго/д,~г) (4.66) Учитывая приведенные выше соображения о выборе профиля т и исходя из условий, обеспечивающих возможносп интегрирования уравнения (4.66), профиль т зададим так, чтобы выполнялось соотношение т тст 2 — = — = сопз1 = И' . г г ра рвал (4.67) Тогда уравнение (4.66) можно привести к виду )г д' /дЧ2 (Знак минус выбираем в соответствии с физическим смыслом.) Интегрируя уравнение (4.68), получим (4.68) (4.69) д~) х(71+ Ь) го 1 2)+ Ь вЂ” = 1+ — 1п бч+Ь (4.70) где Ь вЂ” постоянная интегрирования.
Интегрируя выражение (4.69) и определяя постоянную интегрирования из условия, что г) = б„при го = го„, получаем уравнение профиля скоростей в турбулентной части слоя: 174 Глава 4. Охлаждение ЖРД где ~ = ига„/И;, (4.71) б„— толщина пограничного слоя в координатах е, т). Используя выражения (4.63), (4.64), (4.68) и (4.69), из уравнения (4.60) получим Чк от ( +ах) ( 0) (4.72) ср,фра' * ЫЧ Зададим теперь профиль д„таким образом, чтобы выполнялось равенство Ч«Чк.л г г ср,фра ср,фл р,а, ЬТ 1 т)+Ь = 1+ — 1и ~5Теат 'тт бтч + а (4.73) где б, „— толщина пограничного слоя в координатах в, т1; 1з Тв„= Т,фа — Т;, ср,ф, гхТе„рл тв ал И', г ктт Чк.л (4.74) Перейдем к рассмотрению движения во второй (ламинарной) части пограничного слоя.
Ламинарньтй поделай. Определим толщину ламинарного подслоя б,. Для случая несжимаемой жидкости она определяется условием Кармана: блотрл — Х* Нл (4.75) где так называемая динамическая скорость (скорость трения) имеет вид (4.76) эмпирическая константа Х = 11,5. Подставляя вместо т величину 14га,lб„из условий (4.75) и (4.76) получим а,ш,р, Х = Ке„ рл (4.77) где ср,ф, — значение ср,ф на границе ламинарного подслоя. Интегрируя уравнение (4.72), получим уравнение профиля температур в турбулентной части пограничного слоя: 4.4. Интегральные соотношения энергии и импульсов для пограничного слоя 175 где Ке, — число Рейнольдса ламинарного подслоя, р, — коэффициент вязкости на границе ламинарного подслоя.
При течении несжимаемой жидкости массовый расход 9Л можно выразить через единицу ширины ламинарного подслоя в виде а,,р, 2 (4.78) Из сопоставления выражений (4.77) и (4.78) имеем 29Л Ке, = —. рл (4.79) Применив равенство (4.79), полученное для несжимаемой жидкости, в случае течения газа запишем 2 ршо9 =Х . (4.80) рл ь"'л Введем новую независимую переменную Ы~) = — '~ф. рл р (4.81) Предполагая, что в ламинарном подслое т„= т = сопзь и д,, = д = сопз1, и используя равенства (4.15) и (4.18), определим дИ~ Й0 т =)л — =а„—, ду 011 а(ьт,) а(ьт,) д„= ср,фр су дГ1 Ср эфрл (4.82) (4.83) Интегрируя выражения (4.82) и (4.83), получим ш = — 3~, рл гол ачл~ т,„ ь" л (4.84) ьт, = 9" 1, ьт„= 9" а„„ (4.85) ср фрл Ср эфрл где а„„вЂ” толщина ламинарного подслоя в координатах в, и; го„и ЬТо„— значения и и ЬТо на границе ламинарного подслоя.
176 Глава 4. Охлаждение ЖРД Используя выражения (4.81), (4.84) и учитывая исходные уравнения (4.34), (4.35), имеем Ь, Ьв, 0И = рпгсрг = р — лиг — сй) = Р 12 Рл )гл о О рвв ьм Р, ™~-~~ '~ сй~= "- '~ гф,) (4.86) где л = лр — показатель в выражениях (4.35). При п = 0,7 считаем (Т,ф7Т,ф„)" ' = 1, и тогда из уравнения (4.86) получаем 82 (4.87) 212, Подставляя полученное выражение в (4.80) и учитывая условие (4.67), имеем Х)г чл р,)рг,ал (4.88) В плоскости в,у толщина ламинарного подслоя определяется следующим образом: в1в вГв бл = — а1Ч = — ОгЧ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
