МУ к лабораторным работам (1238837), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Уста21новите режим «Вычисление ряда с заданной точностью » иубедитесь, что результат будет тем же. Попытайтесь объяснитьнаблюдаемое явление. В случае затруднений обратитесь к разделу меню «Учебник». Меняя длину мантиссы (число К), убедитесь, что наблюдаемый эффект возникает тем раньше, чем меньше это число.Установите режим «Вычисление ряда с заданной точностью » и задайте точность очень грубую, например   3. Объясните наблюдаемую картину.Задайте интервал для t  [0, 20], длину мантиссы K = 20,число членов ряда n  24. Оцените, какой вклад в наблюдаемую погрешность вносит ошибка метода и какая ошибка возникает из-за мантиссы конечной длины.

Задайте режим «Вычисление ряда с заданной точностью » (в этом режиме программа сама выбирает минимально необходимое число членовряда для вычисления значения функции при каждом t с заданной точностью) и задайте достаточно высокую точность.Объясните, почему наблюдаемая погрешность намного превышает заданную точность.Используя информацию с экрана, оцените величину максимального по модулю члена ряда для t = 20, приняв в качествегипотезы, что наблюдаемая погрешность возникла при вычислении только одного максимального члена ряда.Найдите номер m максимального по модулю члена ряда.Для этого можно воспользоваться связью между an 1 -м и an -мчленами ряда:| a n 1 |  | a n |t22 n ( 2 n  1).Найдя m, оцените | a m | .

Сравните полученный результат сранее найденным значением | am | .Установите   10 5. Почему в этом случае погрешностьносит пилообразный характер?Перейдите к пункту меню «Методы–Дифференцирование».Установите длину мантиссы (начните с максимальной).

Задайтеначальный шаг h для вычисления производной. Выберите формулу первого порядка аппроксимации и функцию, для которойбудет вычисляться производная. Последовательно уменьшаяшаг h, проследите, как ведет себя погрешность метода и по22грешность, связанная с использованием конечной арифметики.Уменьшайте шаг до тех пор, пока на графике производной непоявятся аномальные эффекты; посмотрите, что произойдет придальнейшем уменьшении шага.

Постарайтесь объяснить наблюдаемые явления. Изменяя длину мантиссы, исследуйте, какоевлияние оказывает на них эта характеристика ЭВМ.Установив режим «Выбор точки», получите на экране зависимость погрешности вычисления производной от шага,сравните ее с теоретической. С помощью инструментария программы Вы можете вывести на экран отдельные фрагменты этойзависимости в более крупном масштабе (пункт меню «Запуск–Масштабирование»). Определите, при каком шаге h погрешность минимальна.

Установите, какова эта погрешность. Каквлияет на эти величины длина мантиссы? Сравните результаты стеоретическими оценками.Изменение масштабов в окне, где отображена погрешность, осуществляется либо с помощью мыши, либо с использованием клавиатуры. При этом рамка лупы управляется кнопками Home, End, PageUp, PageDown. Перемещается рамка лупы с помощью стрелок.Проделайте это же задание, используя формулы численного дифференцирования второго и четвертого порядка точности.Сравните все три метода по оптимальному шагу, при которомдостигается минимум погрешности, по величине этой погрешности.

Сравните с теоретическими оценками.1.10. Библиографическая справкаПодробнее элементарная теория погрешностей рассмотрена в[1, 32]. Некоторые аспекты вычислений с конечной арифметикой можно найти в [5]. Анализ влияния конечноразряднойарифметики на результаты вычислений в задачах линейной алгебры проведен в [6].23Л АБОР АТ ОРН АЯ РАБОТ А 2ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ2.1. ВведениеРабота позволяет изучить основные свойства процесса интерполяции функций, заданных таблицей. Для функций с различнымидифференциальными свойствами иллюстрируются особенностипроцесса глобальной алгебраической и тригонометрической интерполяции.

Изучается погрешность алгебраической и тригонометрической интерполяции, сходимость, устойчивость и насыщаемость гладкостью интерполяционного процесса на различных системах узлов интерполяции: равноотстоящие узлы, корниполиномов Чебышева, экстремумы полиномов Чебышева.

Рассматривается кусочно-многочленная гладкая интерполяция двухтипов — локальные и нелокальные сплайны, а также негладкаякусочно-линейная, кусочно-квадратичная, и кусочно-кубическаяинтерполяция.2.2. Задача интерполяцииЗадача интерполяции состоит в нахождении обобщенного многочленаnPn ( x) c k  k ( x ),(2.1)k 0где  k (x ) — фиксированные функции, а значения коэффициентов определяются из условия равенства со значением приближаемой функции в узлах интерполяцииk  0, 1,  , n.Pn ( xk )  f k ,(2.2)на интервале [a, b], a  x0  x1    x n  b, в которых заданы значения функции f ( x j ), назыНабор точек24xjвают сеткой.

Множество точек x j иногда также называют узлами сетки или узлами интерполяции.Мы будем называть сетку равномерной, еслиx j 1  x j  const ,a  x0 ,j  0, 1,  , n  1;b  xn .Если  k ( x)  x k , то соответствующая интерполяция называется алгебраической, если  k — тригонометрические функции, то говорят о тригонометрической интерполяции.Если построенный многочлен (2.2) используется для восстановления функции на всем отрезке [a, b], то говорят о глобальной интерполяции. Если же для восстановления функциимежду каждыми двумя соседними узлами строится многочлензаданной невысокой степени, то говорят о кусочномногочленной интерполяции.Если значения функции f(x) заданы в узлах x j на интервале [a, b], a  x0  x1    x n  b, то говорят, что функция f(x)задана таблицей.2.3.

Алгебраическая интерполяцияТ еор ем а 1. Пусть задан n + 1 узел x0 , x1, …, xn , среди которых нет совпадающих, и значения функции в этих узлахf ( x0 ), f ( x1), …, f ( xn ). Тогда существует один и толькоодин многочлен Pn ( x)  Pn ( x, f , x0 , x1,  , xn ) степени не вышеn, принимающий в узлах xk заданные значения f ( x k ).Интерполяционный многочлен можно записать (и соответственно вычислить) различными способами представляя его в виде разложения по степеням x (в форме Лагранжа и в формеНьютона), или в виде разложения по ортогональным многочленам.2.4.

Непосредственное вычисление коэффициентовинтерполяционного полиномаПолином степени n можно записать в виде25Pn ( x)  a0  a1x  a2 x 2  ...  an x n ,(2.3)где a0 , …, an — неопределенные коэффициенты. Их можноопределить из n+1 условия:a0  a1 x0  a 2 x02    a n x0n  f ( x0 ),a0  a1 x1  a 2 x12    an x1n  f ( x1 ),.............................................................a0  a1 xn  a2 xn2    a n xnn  f ( xn ).(2.4)Определитель системы (2.4) есть детерминант Вандермонда, известный из курса линейной алгебры.

Его значение в случае, когда выполняются условия теоремы 1, отлично от нуля,что доказывает существование и единственность полинома. Эталинейная система во многих случаях является плохо обусловленной. Последнее связано с тем, что последовательные степени 1,x, x 2 , …, x n «почти линейно зависимы» на интервале 0 < x < 1.Напомним, что обусловленность линейной системы Ay = b определяется числом  || A ||  || A 1 ||,(2.5)которое определяет относительную погрешность решения системыв зависимости от относительной погрешности правой части b:|| δy |||| y ||||δb |||| b ||(2.6).Матрицу A будем называть сингулярной, если в рамках системы вычислений с плавающей точкой на данной машине выполняется равенство     1.2.5. Интерполяционный полином в форме Лагранжа.Интерполяционный многочлен в форме НьютонаВведем вспомогательные многочленыlk( x  xn ) ( x (x x x0) )( x( x xxk 1)()( xxxkx1) .)  (x  x )k0kk 1kk 1knМногочлен Pn (x), заданный равенствомPn ( x)  Pn ( x, f , x 0 , x1 ,  , x n )  f ( x 0 ) l 0 ( x ) 26(2.7) f ( x1 ) l1 ( x )    f ( x n ) l n ( x ),(2.8)есть интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.Употребляются и другие виды записи интерполяционногомногочлена.

Часто используется запись в форме Ньютона.Определим разностные отношения (иногда употребляетсятермин «разделенные разности»). Пусть функция f (x ) в точкахx a , xb , xc , xd и т. д. принимает значения f ( xa ), f ( xb ),f ( xc ), f ( xd ).Разностные отношения нулевого порядка f ( xk ) функцииf (x ) в точке xk определяют, как значение функции в этой точкеf ( xk )  f ( xk ), k = a, b, c, d … Разностные отношения первогопорядка f ( xk , xt ) функции f (x ) для произвольной пары точекxk и xt определим через разностные отношения нулевого порядка:f ( x k , xt ) f ( xt )  f ( x k )xt  x k.(2.9)Разностное отношение f ( x0 , x1,..., x n ) порядка n определим через разностное отношение порядка n  1, положив:f ( x0 , x1 ,  , xn ) f ( x1 ,  , x n )  f ( x 0 ,  , x n  1 ).x n  x0(2.10)Интерполяционный многочлен в форме НьютонаPn ( x, f , x0 , x1, , xn ) с использованием введенных разностныхотношений может быть записан как:Pn ( x, f , x0 , x1, , xn )  f ( x0 )  f ( x0 , x1 )( x  x0 )  f ( x0 , x1, x2 )( x  x0 )( x  x1 )    f ( x 0 , x1 ,  , x n )( x  x 0 )  ( x  x n1 ).(2.11)Если x0  x1    xn , то соответствующую интерполяциюназывают интерполяцией вперед; в случае x0  x1    x n интерполяцию называют интерполяцией назад.2.6.

Формула для погрешностиалгебраической интерполяции27Оценим погрешность Rs ( x )  f ( x )  Ps ( x, f ), xk  x  x k 1,возникающую при приближенной замене f (x ) алгебраическиммногочленом Ps ( x , f ). В основе оценки лежит следующая общая теорема о формуле погрешности.Т еор ем а 2. Пусть f (t ) — функция, определенная на некотором отрезке   t   и имеющая производные до некоторого порядка s + 1 включительно.Пусть t 0 , t1, …, t s — произвольный набор попарно различных точек из отрезка [, ]; f (t 0 ), f (t1 ), …, f (t s ) — значения функции f (t ) в этих точках; Ps (t ) — интерполяционныймногочлен степени не выше s, построенный по этим значениям.Тогда погрешность интерполяции Rs (t )  f (t )  Ps (t ) представляется формулой:R s (t ) f ( s 1) ( z )( s  1)!(t  t 0 )(t  t1 )  (t  t s ),(2.12)где z  z (t ) — некоторая точка интервала [ , ].2.7.

О сходимости интерполяционного процессаНа отрезке a ≤ х ≤ b будем рассматривать бесконечную последовательность узлов интерполяцииx11x12 , x22x13 , x23 , x33.............................(2.13)x1n , x2n , x3n ,  , xnn.............................и соответствующую последовательность интерполяционныхмногочленов Pn ( x, f ), построенную для некоторой функцииf (x), принимающей конечное значение.Т еор ем а 3.

Характеристики

Список файлов книги