МУ к лабораторным работам (1238837), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

(Фабера). Какова бы ни была последователь28ность узлов интерполяции, существует непрерывная функция f,для которой последовательность интерполяционных многочленов расходится.Т еор ем а 4. Для каждой функции f, непрерывной на конечном отрезке, существует такая последовательность узлов интерполяции, что соответствующий ей интерполяционный процесс равномерно сходится к f.Т еор ем а 5. Не существует последовательности узлов,для которой интерполяционный процесс был бы равномерносходящимся для всякой непрерывной на отрезке функции.Т еор ем а 6.

Если функция f имеет ограниченную производную на отрезке, то интерполяционный процесс, в котором заузлы принимаются корни многочленов Чебышёва, сходится равномерно к f.Основные термины. Интерполирующую функцию иногданазывают интерполянтом.Гладкий кусочно-многочленный интерполянт называетсясплайном.2.8. Обусловленность задачи построенияинтерполяционного многочлена для функции,заданной таблицейИнтерполяционный многочленnPn ( x )  ck  k ( x),(2.14)k 0где  k (x) — фиксированные функции, а значения коэффициентовck определяются из условия совпадения со значениями приближаемой функции в узлах интерполяции, можно записать в видеnPn ( x ) f k l k ( x),(2.15)k 0для lk ( xi )  0, k  i; l k ( xk )  1; k , i  0, 1,  , n.

l k (x ) иногданазывают фундаментальными полиномами.Придадим значениям функцииf ( x j ) возмущения29f ( x j ). Интерполяционный многочлен Pn ( x, f ) заменитсямногочленом Pn ( x, f  f ).Так как Pn ( x, f  f )  Pn ( x, f )  Pn ( x, f ) в силу линейности (2.15) по f, то возмущение Pn ( x, f ), которое претерпеваетинтерполяционный многочлен, можно оценить как:n| Pn ( x, f ) |  max | f ( x j ) | | l k ( x ) |.(2.16)k 0Это возмущение при заданных узлах интерполяции и фиксированных базисных функциях  k (x) зависит только от f.nВведем в рассмотрение функцию Ln ( x )  | lk ( x) |,кото-k 0рая называется функцией Лебега.За меру чувствительности интерполяционного многочленак возмущениям задания функции в узлах f принимается наименьшее число L n , при котором для каждого f выполнено неравенствоmax | Pn ( x, f ) |  L n max | f ( x j ) |.a  x b(2.17)jОчевидно, что L n  max Ln ( x ).a  xbЧисла L n  L n ( x0 , x1,  , xn , a, b), n  0, 1,  называютконстантами Лебега.

Эти числа растут с ростом n. Их поведение при возрастании n существенно зависит от отрезка [a, b] иот расположения узлов интерполяции на этом отрезке.Для алгебраической интерполяции ( k ( x )  x k ) в случаеравномерно расположенных узловL n  const2n,nт. е. чувствительность результата интерполяции к погрешностямзадания функции в узлах резко возрастает с ростом n. Такие погрешности неизбежны как при получении табличных значений врезультате измерений, так и в результате округлений.Если узлами интерполяции являются корни полинома Чебышёва или точки, где этот полином достигает экстремумов, то30L n  const  ln n, т.

е. с ростом n константы Лебега растут оченьмедленно. В этом случае вычислительная неустойчивость не является препятствием для использования интерполяционныхмногочленов высокой степени.2.9. Классическая кусочно-многочленная интерполяцияПусть функция f (x ) задана таблицей.

Для восстановленияфункции между узлами можно воспользоваться функцией, которая между каждыми двумя соседними узлами является многочленом заданной невысокой степени, например, первой, второй,третьей и т. д.Соответствующая интерполяция называется кусочнолинейной, кусочно-квадратичной и т. п.2.10. Оценка неустранимой погрешностипри приближении функции по ее значениямв узлах интерполяции. Выбор степеникусочно-многочленной интерполяцииПусть функция f (x ) определена на отрезке [0, ] и пусть заданы ее значения в узлах равномерной сетки xk  k / n, k  0, 1,  , n. По таблице f ( x0 ), f ( x1 ), …, f ( xn ), в принципе,нельзя восстановить функцию f (x ) точно, потому что значенияразличных функций могут совпадать в точках xk , k = 1, …, n,т.

е. различные функции могут иметь одинаковую таблицу.Если, о функции известно лишь то, что она непрерывна, тоее нельзя восстановить в точке x  xk , k = 0, 1, …, n, ни с какойгарантированной точностью.Пусть о функции f (x ) известно, что она имеет производные порядка s + 1, причемmax | f ( s 1) ( x ) |  M s  const.(2.18)xУкажем две функцииf ( I) ( x ) sin nxn s 1,f ( II ) ( x)  sin nxn s 1,(2.19)31для которых таблицы f ( I) ( xk )  f ( II ) ( xk ), k = 0, 1, …, n, совпадают (обе таблицы содержат лишь нули) Эти функции уклоняются друг от друга на величину порядка h s 1 :max | f ( I) ( x)  f ( II ) ( x) |  2 maxxxsin nxn s 1 2h s 1 .(2.20)Таким образом, зная лишь оценку s + 1 производной, в принципе нельзя восстановить табличную функцию с точностью,большей, чем O ( h s 1 ). Данная погрешность неустранима.2.11.

Насыщаемость (гладкостью)кусочно-многочленной интерполяцииПусть функция f (x ) определена на отрезке [a, b], и задана еетаблица f ( xk ) в равноотстоящих узлах xk , k  0, 1,  , n; сшагом h  (b  a) / n.Погрешность кусочно-многочленной интерполяции степени s (с помощью интерполяционных многочленов Ps ( x, f kj ) наотрезке xk  x  xk 1 ) в случае, если на [a, b] существует и ограничена f ( s1) ( x) , имеет порядок O ( h s 1 ).Если о функции f (x ) известно лишь, что она имеет ограниченную производную до некоторого порядка q, q  s, то неустранимая погрешность при ее восстановлении по таблицеесть O( h q 1 ).

Можно показать, что при интерполяции с помощью Ps ( x, f kj ) порядок O( h q 1 ) достигается.Если f (x ) имеет ограниченную производную порядкаq + 1, q > s, то погрешность интерполяции с помощью Ps ( x, f kj )остается O(h s 1 ), т. е.

порядок погрешности не реагирует надополнительную, сверх s + 1 производной, гладкость функцииf (x). Это свойство кусочно-многочленной интерполяции называют свойством насыщаемости (гладкостью).2.12. Кусочно-многочленная гладкая интерполяция(сплайны). Локальные сплайны32Классическая кусочно-линейная, кусочно-квадратичная и, вообще, кусочно-многочленная интерполяция заданной степениприводят к интерполирующей функции (интерполянту), котораяв узлах интерполяции, вообще говоря, не имеет производнойдаже первого порядка. Существует два типа гладких кусочномногочленных интерполянтов — локальные и нелокальныесплайны.

Они обладают заданным числом производных всюду,включая узлы интерполяции.Рассмотрим локальные сплайны. Пусть заданы узлы интерполяции xl : xl  xl 1 и значения функции f ( xl ) в них. Зададимнатуральное число s, фиксируем натуральное число j: j ≤ s. Каждойточке xl сопоставим интерполяционный многочлен Ps ( x, f ), построенный по значениям f ( xl  j ), f ( xl  j 1 ), …, f ( xl  j  s ) вузлах xl  j , xl  j 1 , …, xl  j  s . Кусочно-многочленную интерполирующую функцию ( x, s ), имеющую непрерывные производные порядка s, определим равенствами( x, s)  Q2s 1 ( x, k ),(2.21)xk  x  xk 1,k = 0, 1, 2, …где Q2s1( x, k ) — многочлен степени не выше 2s + 1, определяемый равенствамиd m Q2 s 1 ( x , k )dx m d m Ps ( x , f ), при x  x k , m  0, 1,  , s;m  m dx d Ps ( x , f ) , при x  x k 1 , m  0, 1,  , s.dx m(2.22)Верны следующие теоремы.Т еор ем а 7.

Существует один и только один многочленстепени не выше 2s + 1, удовлетворяющий (2.22).Т еор ем а 8. Пусть f (x ) — многочлен степени не выше s.Тогда интерполянт ( x, s ) совпадает с этим многочленом.Т еор ем а 9. Кусочно-многочленная интерполирующая функция ( x, s), определяемая равенством (2.22), в узлах интерполяцииxl совпадает с заданным в них значением f ( xl ), l = 0, 1, …33Кроме того, ( x, s ) имеет всюду в области своего определения непрерывную производную порядка s.Многочлен Q2s1( x, k ) можно записать в видеQ2s 1 ( x, k )  Ps ( x, f )  R2s 1 ( x , k ),(2.23)обозначив через R2 s1 ( x, k ) поправку к классическому интерполяционному многочлену Ps ( x, f ).Рассмотрим здесь наиболее интересный для приложенийслучай, когда s = 2, j = 1, а узлы интерполяции функции составляют равномерную сетку.

Тогда33 f ( xk  2 )3 f ( xk 1) 3 f ( xk )  f ( xk 1 ) ( х  x k )R5 ( x, k )  h2!h3h3х  x k 1 h  3 2( х  x k ) h .(2.24)Эта формула справедлива только при 0 < k < n. На отрезкахa x0  x  x1 и xn 1  x  xn  b поправка: R5 ( x, k )  0.2.13. Нелокальная гладкая кусочно-многочленнаяинтерполяцияПусть задана таблица. Поставим задачу найти на каждом отрезке xk  x  x k 1 кубический многочлен P3 ( x, k ) так, чтобывозникающая при этом на отрезке a  x  b кусочномногочленная функция совпадала с заданной функцией в узлахи имела непрерывные производные до порядка s = 2. Общеечисло неизвестных — 4n.

Число дополнительных условий равно4n – 2. Недостающие условия можно задавать различными способами. Наиболее употребляемыми являются следующие два:d 2 P3 ( x , 0) d 2 P3 ( x, n) 0 — «свободный сплайн»;dx 2dx 2(2.25)d 3P3 ( x, 0) d 3c0,dx3dx3(2.26)d 3P3 ( x, n ) d 3cn 3 .dx3dxЗдесь c0 ( x), cn ( x ) — единственные кубические кривые, которые проходят соответственно через четыре первые и четыре по34следние из заданных точек.Построенная таким образом функция называется кубическимсплайном Шонберга.

Если интерполируемая функция имеет ограниченную производную третьего порядка, то непрерывный с производными до второго порядка сплайн Шонберга сохраняет неулучшаемые аппроксимационные свойства классической, а такжелокальной гладкой кусочно-многочленной интерполяции.Однако сплайны Шонберга теряют свойства локальности,присущие как классической кусочно-многочленной интерполяции, так и локальной гладкой интерполяции: коэффициенты многочлена, задающие интерполянт на каком-либо отрезкеxk  x  xk 1, зависят от значений функции во всех узлах сетки.2.14.

Тригонометрическая интерполяцияЗадача (линейной) тригонометрической интерполяции состоит внахождении тригонометрического многочлена вида2 ( x  x 0 )2 ( x  x 0 ) Q n  cos, sinLLna k cos2k ( x  x 0 )Lk 0nbk sink 12 k ( x  x 0 )L.(2.27)Здесь k и n — натуральные числа, L  x N  x0 — положительное число, [ x 0 , x N ] — отрезок интерполяции, ak и bk — числовые коэффициенты.Т еор ем а 10. (Первый вариант задания узлов интерполяции). Пусть N = 2(n+1), n — натуральное число. При произвольном задании значений функции f m , периодической с периодомL, в узлах сеткиx m  x0 LmNL2N,m = 0, 1, …, N – 1существует один и только один интерполяционный тригонометрический многочлен2 ( x  x 0 )2 ( x  x 0 )Q n  cos, sin, f  LL35na k cos2k ( x  x 0 )Lk 0n 1bk sin2k ( x  x 0 )Lk 1,(2.28)удовлетворяющий равенствам Qn ( xm )  f m , m = 0, …, N – 1.Коэффициенты этого многочлена задаются формуламиa0 ak bk 1 N 1N m 0fm,bn1 1 N 1N2 N 1 2m  f m cos k  ,NN Nm 02 N 1 2m  f m sin k  ,NN Nm1(1) m f m ,m 0k  1, 2,  , n,(2.29)k  1, 2,  , n.Т еор ем а 11.

(Bторой вариант задания узлов интерполяции). Пусть N = 2n. При произвольном задании значений функции f m , периодической с периодом L, в узлах сеткиx m  x0 LmNm = 0, 1, …, (N – 1),существует один и только один интерполяционный тригонометрический многочлен2 ( x  x 0 )2 ( x  x 0 )Q n  cos, sin, f  LLna k cos2k ( x  x 0 )k 0Ln 1bk sin2k ( x  x 0 )Lk 1,(2.30)удовлетворяющий равенствам Qn ( xm )  f m , m = 0, 1, 2, …, (N – 1).Коэффициенты этого многочлена задаются формуламиa0 ak 361 N 1Nan m 02 N 1Nfm ,m 0f m cos2kmN,1 N 1N(1) m f m ,m 0k  1, 2,  , n  1,(2.31)bk 2 N 1Nf m sinm12 kmN,k  1, 2,  , n  1.Т еор ем а 12.

Характеристики

Список файлов книги