МУ к лабораторным работам (1238837), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

188при работе с системой ОВМРедактирование (188). Вывод списка графиков на экран (189).Список литературы ...................................................................... 1916ПРЕДИСЛОВИЕПредлагаемое учебное пособие включает описание лабораторныхработ по вычислительной математике с использованием разработанного на кафедре вычислительной математики МФТИ практикума «Основы вычислительной математики». Теоретической основой практикума служит книга В.

С. Рябенького «Введение ввычислительную математику» [1]. При подготовке практикуманашли свое отражение и другие учебники, созданные на кафедре[2–4]. Конечно, предлагаемое пособие не заменяет собой учебник,так как содержит лишь краткие теоретические справки по темампредлагаемых работ. Для более подробного изучения материалатребуется знакомство с другими источниками. Список рекомендованной литературы приведен в конце книги.Изучение вычислительной математики в последнее времятесно связано с практикой на ЭВМ. Примером таких «машинноориентированных» курсов служат недавние переводы книг [5,6].

Можно отметить, что выбор основных тем для практикумавполне соответствует современным тенденциям [5].Предлагаемое пособие в корне отличается от зарубежныханалогов. Так, в книге Дж. Каханера, К. Моулера и С. Нэша [5] вкачестве вычислительной основы использованы программы изнаучной библиотеки SLATEK министерства энергетики США,написанной на фортране. Книга Дж.

Голуба и Ч. Ван Лоуна [6],как и большинство других зарубежных учебников, ориентирована на использовании MATLAB. С одной стороны, это является достоинством «компьютеризированных» курсов, рассчитанных на профессионалов (не обязательно вычислителей) — знакомствостудентовсширокораспространеннымипрофессиональными пакетами. С другой стороны, при такомподходе страдает методическая сторона, поскольку ни одинприкладной пакет не содержит неустойчивый метод, не слишком удачную аппроксимацию и т. п. Вместе с тем, эффекты,проявляющиеся при неудачном выборе метода, незнание границего применимости могут привести к «открытиям» в соответствующих предметных областях. Вопросы, которые по определению не подлежат реализации в прикладных пакетах, находятсвое место в рамках лабораторного практикума.7Хорошо подобранные примеры и задания, прямое моделирование изучаемых процессов дают возможность освоить наиболее известные методы, традиционно используемые при решении научных и практических задач на ЭВМ, понять границы ихприменимости.

Графические возможности ЭВМ позволяют впонятной и наглядной форме познакомиться с характернымиэффектами, возникающими при численном решении задач.Практикум можно использовать для проведения лекционных исеминарских занятий, практических работ на ЭВМ, при самостоятельном изучении вычислительной математики. Отличительнымичертами пакета являются: наличие контекстно-зависимой подсказки, гипертекстовой системы помощи, интерактивного графического интерфейса, прямое моделирование исследуемых задач свозможностью интерактивного изменения параметров моделирования.Пакет состоит из 13 работ, каждая из которых содержиткраткую справку, контрольные вопросы, порядок выполнениялабораторной работы и краткие рекомендации по работе с программой. К большинству работ также приложена краткая библиографическая справка по теме работы.

Практикум разработанв 1992 г. на кафедре вычислительной математики МФТИ и с техпор успешно применяется при проведении занятий по вычислительной математике в МФТИ, МЭИ и других вузах. Он послужил основой первого в России электронного учебника, созданного под эгидой Российского НИИ информационных систем [7].Авторы выражают благодарность выпускникам МФТИ, которые в свои студенческие годы отдали много времени и сил нанаписаниепрограммпрактикума.ЭтоВ. В. Байков,Д. Л.

Будько,К. Б. Бухаров,А. Ю. Езерский,А. Б. Константинов,С. А. Корытник,Ю. П. Кравченко,Ю. Д. Крикунов, Д. В. Лунев, В. А. Торгашев, А. А. Тренихин,Г. Л. Химичев.Авторы благодарны издательству МЗ-Пресс за возможность осуществления данного проекта.Лабораторный практикум доступен по адресу в Интернете:http://cs.mipt.ru/nummeth.Желаем Вам успешного освоения курса вычислительнойматематики и надеемся, что наш практикум поможет сделать егоболее приятным и увлекательным.8Л АБОР АТ ОРН АЯ РАБОТ А 1ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ1.1. ВведениеВ этой работе Вы познакомитесь с основными источниками возникновения погрешности.

На специально подобранных примерах изучите влияние конечной арифметики на достоверность результатов, получаемых при численном решении задачи. В частности, для функции, представляемой сходящимся рядомТейлора с теоретически бесконечным радиусом сходимости,вычислить ее значение с заданной точностью путем суммирования ряда удается лишь для сравнительно небольших значенийаргумента. Реальный «радиус сходимости» весьма невелик, и онсильно зависит от числа значащих цифр, используемых дляпредставления чисел в ЭВМ.Вычисление производной с использованием формул численного дифференцирования также таит в себе много интересного. Все это Вы узнаете, если проделаете предлагаемую работу, но прежде чем Вы начнете ее выполнять, советуем ознакомиться с данной теоретической справкой, которая, конечно же,ни в коей мере не заменяет учебника.Выполнение этой работы необходимо для понимания реальной ситуации, в которой используются рассматриваемые вдругих работах численные методы решения задач.1.2.

Погрешности вычислений. Теоретическая справкаНапомним некоторые понятия, связанные с погрешностями. Если a — точное значение некоторой величины, a * — ее приближенное значение, то абсолютной погрешностью величины a *обычно называют наименьшую величину  ( a * ), про которуюизвестно, что| a *  a |   ( a * ).9Относительной погрешностью приближенного значенияназывают наименьшую величину ( a * ), про которую известно,что(a *  a )a* ( a * ).В любой вычислительной задаче по некоторым входным данным требуется найти ответ на поставленный вопрос.

Для вычисления значения функции y  f ( x ) при x  t входными данными задачи служат число x и закон f, по которому каждому значению аргумента x ставится в соответствии значение функции y  f (x ).Если ответ можно дать с любой точностью, то погрешностьотсутствует. Но обычно ответ удается найти лишь приближенно. Погрешность задачи вызывается тремя причинами.Первая — неопределенность при задании входных данных,которая приводит к неопределенности в ответе. Ответ может бытьуказан лишь с погрешностью, которая называется неустранимой.Проиллюстрируем понятие неустранимой погрешности напримере.

Пусть функция f ( x ) известна приближенно, например, она отличается от sin x не более чем на величину   0 :sin ( x )    f ( x )  sin ( x )  .(1.1)Кроме того, пусть значение аргумента x  t получается приближенным измерением, в результате которого получаемx  t * , причем известно, что t лежит в пределахt *    t  t *  ,(1.2)где   0 — число, характеризующее точность измерения (дляопределенности будем считать, что функция sin t на отрезке(1.2) монотонно возрастает).Величиной y  f (t ) может оказаться любая точка отрезкаy  [a , b ] (см. рис. 1), где a  sin ( t *  )  , b  sin ( t *  )  .Понятно, что, приняв за приближенное значение величиныy  f ( x ) любую точку y * отрезка [a, b], можно гарантироватьоценку погрешности:| y  y* |  | b  a | .10(1.3)Эту гарантированную оценку погрешности нельзя существенноулучшить при имеющихся неполных входных данных.Рис. 1Самая малая погрешность, получается, если принять за yсередину отрезка [a, b], положив|ba |y *  y *опт .2Тогда справедливая оценка* || y  y опт|ba |2.(1.4)Таким образом, 0,5b – a и есть та неустранимая (неуменьшаемая) погрешность, которую можно гарантировать приимеющихся неопределенных входных данных в случае самогоудачного выбора приближенного решения y *опт .

Оптимальнаяоценка (1.4) ненамного лучше оценки (1.3). Поэтому не только о* , но и о любой точке y *  [a, b] условимся говоточке y оптрить, что она является приближенным решением задачи вычисления числа y (t ), найденным с неустранимой погрешностью, авместо 0,5b – a из (1.4) за величину неустранимой погрешности примем (условно) число b – a.Вторая причина возникновения погрешности состоит втом, что при фиксированных входных данных ответ вычисля11ется с помощью приближенного метода.

Возникает погрешность, связанная с выбором метода — погрешность методавычислений. Проиллюстрируем это понятие на следующемпростом примере.Положим y *  sin t * . Точка y* выбрана среди других точек отрезка [a, b] (см. выше по поводу неустранимой погрешности), так как она задается при помощи удобной для дальнейшего формулы.Воспользуемся разложением функции sin t в ряд Тейлора:sin t  t t33!t55!(1.5)Для вычисления значения y * можно выбрать одно из следующих выражений:y *  y1*  t * ,y *  y *2  t * y *  y n* nk 0t* 33!(1.6),(1) kt * ( 2k  1)( 2 k  1)!.Выбирая для приближенного вычисления y * одну из формул(1.6), тем самым выбираем метод вычисления.Величина | y *  y *n | — погрешность метода вычисления.Фактически выбранный метод вычисления зависит от параметра n и позволяет добиться, чтобы погрешность метода была меньше любой наперед заданной величины за счет выбораэтого параметра.Очевидно, нет смысла стремиться, чтобы погрешность метода была существенно (во много раз) меньше неустранимой погрешности.

Характеристики

Список файлов книги