МУ к лабораторным работам (1238837), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Способы конструирования квадратурных формулРассмотрим простейшие, но широко используемые в практических вычислениях формулы: прямоугольников (с центральнойточкой), трапеций, Симпсона. Способ их получения состоит вследующем. Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на N частейточками xn (n  0, 1,  , N ).Положим hn  xn 1  x n , так чтоN 1hn  b  a.n 0В дальнейшем будем называть xn — узлами, hn — шагами интегрирования. Иногда отрезок от xn до xn 1 будем именоватьэлементарным отрезком. В частном случае шаг интегрированияможет быть постоянным: h  (b  a) / N . Также будем использовать обозначение f n  f ( xn ).45После введения шагов интегрирования искомый интегралможно представить в видеN 1 xn 1I n 0N 1f ( x) dx In,(3.1)n0xnx n 1где I n f ( x ) dx.xn3.2.1.

Формула прямоугольников. Считая hn малым параметром, заменим I n в (3.1) площадью прямоугольника с основанием hn и высотой f n 1 / 2  f ( x n  h n / 2). Тогда придем к локальной формуле прямоугольников~I n  hn f n1 / 2 .(3.2)Суммируя в соответствии с (3.1) приближенные значения повсем элементарным отрезкам, получаем формулу прямоугольников для вычисления приближения к I:~ N 1I   hn f n1/ 2 .(3.3)n 0В частном случае, когда hn  h  const, формула прямоугольников принимает видN 1~I  h  f n 1/ 2 .(3.3а)n 0За м еча ние.

Можно конструировать аналогичные формулы,используя в качестве высоты элементарных прямоугольниковзначение f ( x) не в середине отрезка, а на границе (левой илиправой). Но в этом случае существенно ухудшается точностьприближения вычисляемого интеграла.3.2.2. Формула трапеций. На элементарном отрезке [ x n , x n1 ]заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом первой степени:fff ( x)  f n  n 1 n ( x  x n ).xn 1  xn46Выполняя интегрирование на отрезке, приходим к локальнойформуле трапеций:~I n  1 ( x n 1  x n )( f n 1  f n )  1 hn ( f n 1  f n ).(3.4)22За м еча ние. Название формулы связано с тем, что интеграл поэлементарному отрезку заменяется площадью трапеции с основаниями, равными значениям f (x ) на краях отрезка, и высотой, равной hn .Суммируя (3.4) по всем отрезкам, получаем формулу трапеций для вычисления приближения к I:~ 1 N 1I h ( f  f n1 ).2  n n(3.5)n 0В случае постоянного шага интегрирования формула принимает вид:~ h N 1I  ( f n  f n1 )  h [ f 0  2 f1  2 f 2    2 f N 1  f N ].22n0(3.5а)~О точности приближения I к I см.

п. 3.3.3.2.3. Формула Симпсона. На элементарном отрезке[ x n , xn 1 ], используя значение функции в центре отрезка, заменим подынтегральную функцию f (x ) интерполяционнымполиномом второй степени:f ( x )  P2 ( x )  f n 1/ 2 f n 1  f nhn x  xn 1  xn  22f  2 f n 1 / 2  f n xn 1  xn  n 1x .22( h 2) 2nНапомним, что мы обозначили: hn  xn 1  xn , f n  f ( xn ), азначение в полуцелой точке f n1/ 2  f ([ x n  x n1 ] / 2).Вычисляя интеграл от полинома на отрезке [ x n , xn 1 ],приходим к локальной формуле Симпсона:~hI n  n ( f n  4 f n1/ 2  f n 1 ).6(3.6)47Суммируя (3.6) по всем отрезкам, получаем формулу Симпсонадля вычисления приближения к I:~ 1 N 1I   hn ( f n  4 f n 1/ 2  f n1 ).6(3.7)n0Для постоянного шага интегрирования hn  const  h  (b  a) / N формула Симпсона принимает видN 1~I  h  ( f n  4 f n 1 / 2  f n 1 )  h ( f 0  4 f1 / 2  2 f1  66n 0 4 f 3 / 2  2 f N 1  4 f N 1 / 2  f N ).(3.8)За м еча ние.

Последнюю формулу иногда записывают без использования дробных индексов, в виде~ hI  ( f 0  4 f 1  2 f 2  4 f 3    2 f N  2  4 f N 1  f N ).(3.8а)3К этой записи приходим, если под локальной формулой пониматьрезультат интегрирования по паре элементарных отрезков:xn 1~~I n   P2 ( x) dx  h ( f n1  4 f n  f n 1 ),3xn 1~где P2 ( x) — интерполяционный полином второй степени дляf (x ) на [ x n 1, xn 1 ], построенный по значениям в точкахxn 1, xn , xn 1. Суммируя локальные приближения по всемпарам, получим (3.8а).

Разумеется, число пар на [a, b] в этомслучае должно быть целым, т. е. N — четным.Формулы, используемые для приближенного вычисленияинтеграла, называются квадратурными.3.3. Погрешность квадратурных формулОдин из возможных способов оценки точности построенныхформул состоит в следующем. Рассмотрим интеграл по элементарному отрезку:x n 1In xn48f ( x ) dx.Выберем на этом отрезке какую-либо «опорную» точку x = z иразложим подынтегральную функцию в ряд по формуле Тейлора относительно этой точки:f ( x)  f ( z )  f ( z )( x  z )  1 f ( z ) ( x  z )2    R( x  z ),2R ( x  z ) — остаточный член используемой формулы Тейлора.Вычисляя интеграл от последней суммы, получаем представление I n в виде:I n  f ( z )hn  Ahn2  Bhn3  ...

xn 1R( x  z ) dx,(3.9)xnгде коэффициенты A, B, … зависят от значения производных вточке z: f (z ), f (z ), …Заметим далее, что каждая из рассматриваемых квадратурных формул (прямоугольников, трапеций и Симпсона) в пределах элементарного отрезка [ x n , xn 1] может быть представленаследующим образом:~I n  h n [ r f n  s f n 1 / 2  q f n 1 ](3.10)со своими коэффициентами r, s, q.Заменяя в (3.10) каждое из значений функции f по формулеТейлора относительно той же точки z, получим представление~приближенного значения I n в виде, аналогичном (3.9):~~I n  f ( z )hn  A1hn2  B1hn3    R.(3.11)Сравнивая представления (3.9) и (3.11), обнаруживаем, что кроме первых слагаемых в (3.9), (3.11) совпадает еще некоторое количество (p – 1) слагаемых, так что A  A1, B  B1, … Несовпадающие слагаемые характеризуют ошибку квадратурной формулы. Оценивая величины этих слагаемых, приходим к оценкедля локальной (на интервале [ x n , xn 1] ) погрешности~| In  In |  Dmax[ xn , xn 1 ]p 1| f ( p ) | hn ,где D — числовая константа, а f ( p ) — p-я производная функции f (x).49Суммируя локальные погрешности по всем интервалам,получим требуемую оценку погрешности рассматриваемойформулы интегрирования:~| I  I |  D (b  a)M p h p ,(3.12)где M p  max | f ( p ) | по всему отрезку [a, b] (если шаг интегрирования не постоянен, т.

е. hn  const, то h  max hn ).nСтепень p в (3.12) принято называть порядком точностиквадратурной формулы.Для рассмотренных квадратурных формул полученные таким образом оценки погрешности имеют вид:~M h2|I I | 2(b  a) — для формулы прямоугольников;24~M h2|I I | 2(b  a) — для формулы трапеций;12~M h4|I I | 4(b  a) — для формулы Симпсона в случае,2880когда используются узлы с дробным индексом (3.8) иM 4 h4~| I I|(b  a) — для (3.8а).180За м еча ние 1. Для формулы трапеций приведенную оценкуможно было бы получить, интегрируя по элементарным отрезкам выражение для остаточного члена соответствующего интерполяционного полинома.За м еча ние 2. Полученные оценки погрешности, как следует изих вывода, зависят от гладкости подынтегральной функции. Например, при наличии 4-х (и выше) производных y f (x ) формулаСимпсона обеспечивает 4-й порядок точности.

Если же f (x ) только трижды непрерывно дифференцируема на [a, b], то точностьформулы Симпсона на порядок уменьшается.Если известны оценки для абсолютных величин соответствующих производных, то, используя (3.12), можно apriori (допроведения расчета) определить шаг интегрирования h = const,при котором погрешность вычисленного результата гарантировано не превышает допустимого уровня погрешности . Для это50го, как следует из (3.12), достаточно решить относительно h неравенство D (b  a) M p h p  .Однако типичной является ситуация, когда величины нужных производных не поддаются оценке. Тогда контроль за точностью вычисляемых результатов можно организовать, проводявычисления на последовательно сгущающейся сетке узлов интегрирования.3.3.1. Контроль за точностью вычисляемого значения интеграла. Пусть шаг интегрирования h = const, I (h) — вычисленное с шагом h приближение к I.Если, далее вычислено также приближенное значениеI (h / 2) с шагом h / 2, то в качестве приближенной оценки погрешности последнего вычисленного значения можно рассматривать величину| I ( h / 2)  I |  | I ( h / 2)  I ( h ) | .На практике, при необходимости вычислить результат стребуемой точностью () вычисления повторяются с последовательно уменьшающимся (вдвое) шагом до тех пор, пока невыполнится условие| I ( h / 2)  I ( h ) |  .3.3.1а.

Экстраполяция Ричардсона. Пусть, как и в предыдущем пункте, h = const, I (h ) — вычисленное с шагом h приближение к I. Пусть использован метод порядка p, тогда можнооценить значение интеграла по элементарному отрезку:I  I (h)  ch p  O(h p 1 ).Измельчив шаг вдвое, получаемhI  I ( h / 2 )  2c  2p O(h p1 ),откуда главный член погрешности в первой формуле можнооценить как:ch p I ( h )  I (h / 2 )21 p  1,51а для приближения интеграла I с порядком O(h p 1 ) имеем:I2 p 1 I ( h / 2)  I (h )2 p 1  1 O(h p 1 ).На основе алгоритма экстраполяции Ричардсона возможеналгоритм автоматического выбора шага, несколько отличный отописанного ниже.3.3.2.

Характеристики

Список файлов книги