МУ к лабораторным работам (1238837), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Счет с автоматическим выбором шагов интегрирования. Можно применять указанное правило для контроля локальной погрешности на каждом элементарном интервале. Приэтом длина очередного интервала hn  xn 1  x n , посредствомпоследовательного уменьшения (или увеличения!) начальнойдлины вдвое, устанавливается такой, чтобы выполнялось условиеh n~(h)( h / 2)| In  In |  | In  In|,(b  a )так чтоh b na  b  a n hn  .nПреимущество способа вычисления интеграла с автоматическим выбором шага состоит в том, что он приспосабливаетсяк особенностям подынтегральной функции: в областях резкогоизменения функции шаг уменьшается, а там, где функция меняется слабо, — увеличивается.3.4. Приемы вычисления несобственных интеграловРассмотрим сходящиеся интегралы следующих двух типов:bf ( x ) dx, причем f (x )   при x  a (первый тип);af ( x) dx (второй тип).aЗа м еча ние.

Второй интеграл, вообще говоря, может быть све52ден к первому заменой переменной интегрирования t  1/ x. Поэтому пока будем говорить об интегралах первого типа.Очевидно, непосредственное использование квадратурныхформул трапеций и Симпсона для вычисления таких интеграловневозможно (так как точка x = a является для этих формул узломинтегрирования). По методу прямоугольников вычисления формально провести можно, но результат будет сомнительным, таккак оценка погрешности теряет смысл (производные подынтегральной функции не ограничены).Продемонстрируем приемы, которые позволяют получать вподобных случаях надежные результаты, на примере интеграла1I cos xx0dx.а) Иногда подходящая замена переменной интегрированияпозволяет вообще избавиться от особенности.В рассматриваемом примере после замены x  t 2 получаем1I  2  cos t 2 dt ,0и интеграл вычисляется с требуемой точностью по любой изквадратурных формул.б) Та же цель (избавление от особенности) достигаетсяиногда предварительным интегрированием по частям:1I 0cos xx1dx  2 x cos x120x sin x dx.0Последний интеграл формально может быть вычислен стандартным образом, но оценка погрешности для любой квадратурной формулы будет иметь лишь первый порядок, так как приx = 0 не существует вторая производная от подынтегральнойфункции.

Проводя еще раз интегрирование по частям, придем кинтегралу от дважды непрерывно дифференцируемой функции,который с гарантированной точностью может быть вычислен поформулам трапеций или прямоугольников.в) Если упомянутыми простыми средствами избавиться отособенности не удается, то прибегают к универсальному методу53выделения особенности. В рассматриваемом случае представиминтеграл в виде суммы двух интегралов:I  I1  I 2 ,I1  0cos xx1dx ,I2  cos xxdx.Второй интеграл особенности не содержит и вычисляетсяпо любой квадратурной формуле. Вопрос о выборе величины обсуждается ниже.Первый интеграл с требуемой точностью вычисляем аналитически, используя представление подынтегральной функциив окрестности особой точки (x = 0) в виде отрезка ряда по степеням x, который получим после замены cos x соответствующимрядом Тейлора: 1 x 2  x 4    ( 1) m x 2 mI1  02!( 2 m)!4!xdx  2   1 2  5 / 2  1 2  9 / 2    (1) m4! 92! 511 2m1 / 2 .( 2 m)! 2 m1 2Важно, что подобное аналитическое представление в малой окрестности особой точки можно получить практически во всех конкретных случаях.

Как это сделать — зависит от квалификациивычислителя.Допустим, что мы решили ограничиться в полученномпредставлении первыми m слагаемыми. При этом для данногопримера мы допускаем погрешность, которая не превосходитпоследнего приведенного в записи для I1 слагаемого в силу того, что ряд для  — знакопеременный.

Следовательно, для выбора двух параметров ( и m) имеем следующий критерий11 2m1 / 2  ( 2 m)! 2 m1 / 22(3.13)(  / 2 отводится в качестве допустимого уровня погрешностипри вычислении I 2 ).Таким образом, один из параметров (m или ) можно задавать по своему усмотрению, второй – определяется из неравенства (3.13). При этом нужно принять в расчет следую54щее соображение.Если   1, то существенно ухудшается оценка погрешности для любой квадратурной формулы, которую мы предполагаем использовать для вычисления I 2 , так как в качестве коэффициента при h p (где p — порядок точности выбранной формулы) фигурирует максимальное на отрезке [, 1] значение p-йпроизводной от подынтегральной функции, которое при x   врассматриваемом случае имеет порядок  ( p  0,5) .Кроме того, при вычислении интеграла I 2 придется вычислять подынтегральную функцию f (x ) от аргумента либоравного  (для формул трапеций и Симпсона), либо очень близкого к  (для формулы прямоугольников с центральной точкой).Но значение f () при малом  может быть настолько большим(в рассматриваемом случае f () ~ 1 /|  | ), что абсолютная по-грешность функции f () не позволит вычислить интеграл стребуемой точностью при заданной длине мантиссы и выбранном шаге интегрирования.Следовательно, целесообразно задать «не слишком малое» (например,   0,1 ), а затем m найти из условия (3.13).За м еча ние.

Разумеется, если поиск последовательных членовразложения подынтегральной функции затруднителен, то приходится ограничиваться доступными членами. В этом случае изусловия типа (3.13) находится параметр .Рассмотрим пример вычисления интеграла второго типа:2e  x dx.0Можно, как уже отмечалось, свести его к интегралу первого типа. Но мы воспользуемся универсальным приемом выделенияособенности. Особенность состоит в том, что верхний пределинтегрирования — бесконечность.

Представим интеграл в видесуммы двух интегралов: I  I1  I 2 , где I 1 — интеграл по конечному отрезку [a, A]; I 2 — интеграл по [ A,  ]. ВычислениеI1 при заданном A затруднений не вызывает.Выберем теперь A так, чтобы в пределах допустимой по55грешности вторым интегралом можно было пренебречь, т.

е.так, чтобы | I 2 |   / 2. Например, учитывая, что при A  12e  x dx A22x e  x dx  1 e  A ,A2и требуя, чтобы выполнялось условие1 e  A2  1 ,22найдем A | ln  | .3.5. Контрольные вопросы и упражнения1.1. Получить оценки для погрешности квадратурной формулытрапеций.1.2. Выполнить то же задание для формулы прямоугольников (сцентральной точкой).1.3. То же для формулы Симпсона.2. Описать алгоритм автоматического выбора шага, основанный на экстраполяции по Ричардсону.3.6. Порядок выполнения работы1.1.

Вычислить с постоянным шагом h = 0,1; 0,02 приближенноезначение интеграла1I   x (10 x  1) (10 x  2) dx0по формулам:а) прямоугольников;б) трапеций;в) Симпсона.1.2. Сравнить фактическую погрешность с теоретической (точное значение интеграла I = 36.)1.3. Теоретически оценить шаг h, при котором погрешность результата для используемой квадратурной формулы не превышает   10 4.

Сравнить найденное значение h с шагом, который вырабатывается по заданному  автоматически при счете с56уменьшающимся шагом.2. Выполнить задания п. 1.1–1.3 для1Iln x dx.0,01(Точное значение: I  0,01 (1  ln 100)  1  0,94395 ).3. То же задание для интеграла1I   e 4 x sin 40x dx.0Объяснить результат, полученный при счете с автоматическимконтролем точности (режимы с уменьшающимся шагом и с автоматическим выбором шага), когда начальное значение h = 0,1.Каким должно быть начальное значение h в этом случае?(Точное значение интеграла I  0,426089.)4.

По основным квадратурным формулам (прямоугольников,трапеций, Симпсона) вычислить интеграл2Iх | x | dx1с шагом h = 0,1; 0,05; 0,02 и с шагом h = 1/4; 1/8; 1/16, 1/32.15. Вычислить интеграл I   (1  x3 / 2 ) 1 ln x dx.0У ка з а ние. См. п. 3.4.3.7. Библиографическая справкаО методах численного интегрирования см. [1–3, 5, 8, 9, 10]. Отметим, что большей точности метода при небольшом количестве точек (узлов сетки) позволяют достигать квадратурные формулы Гаусса. Про них можно прочитать в [5], теоретические основы методов Гаусса разбираются в [9, 10].57Л АБОР АТ ОРН АЯ РАБОТ А 4ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕСИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ4.1.

ВведениеВ этой работе Вы познакомитесь с численными методами решения систем линейных алгебраических уравнений. Все рассматриваемые методы ориентированы на решение систем уравненийбольшой размерности. Подобные системы возникают на практике, например, при интегрировании уравнений в частных производных эллиптического типа.Везде далее будем рассматривать линейное пространствоmR . Будем также считать, что x, x k , k = 0, 1, 2, …, являютсяэлементами пространства R m . Кроме того, под А будем понимать тот или иной линейный оператор, действующий из R m вR m.Запишем систему линейный уравнений в следующем виде:Ax  f .(4.1)Предполагается, что определитель матрицы A отличен от нуля,так что решение существует и оно единственно.Численные методы решения системы (4.1) делятся на двегруппы: прямые и итерационные.В прямых методах точное решение находится за конечноечисло арифметических действий.

Примерами прямых методовявляются метод Гаусса и метод сопряженных градиентов.Каждый итерационный метод состоит в том, что при решении системы (4.1) указывается рекуррентное соотношение, которое по заданному произвольно «нулевому» приближению x 0решения x позволяет вычислить первое, второе, …, p-е приближение x p (p = 1, 2, 3, …) решения x.Иногда необходимо решить уравнение (4.1), в котором A— линейный оператор, не заданный явно в виде матрицы.

В58этом случае прямые методы в отличие от итерационных, могутбыть неприменимы.В данной работе для итерационных методов дается наглядная иллюстрация изменения нормы разности двух последовательных приближений. Эффективность различных методов (втом числе прямых) можно сравнить по затратам машинного времени (необходимая информация выводится на экран), котороенеобходимо для достижения заданной точности, т. е. до тех пор,пока не будет выполнена оценка|| x  x n ||  .Задача отыскания точного решения уравнения (4.1) не диктуется, как правило, запросами приложений.

Обычно допустимоиспользование приближенного решения, известного с достаточной точностью. Поэтому во многих случаях для вычислениярешения уравнения (4.1) точным методам целесообразно предпочесть тот или иной итерационный метод.Итерационный процесс должен быть построен так, чтобыпоследовательность приближений x k стремилась к решению xуравнения (4.1). Тогда для любого  > 0 существует номерn  n() такой, что || x  x n ||  . Задавая  > 0 достаточно малым, можно воспользоваться n-м приближением x.Представлены следующие девять методов:1) Гаусса;2) сопряженных градиентов;3) простых итераций;4) с оптимальным параметром;5) с оптимальным набором параметров;6) Зейделя;7) трехслойный метод Чебышева;8) минимальных невязок;9) скорейшего спуска.4.2.

Характеристики

Список файлов книги